蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.9圓周角(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題2.9圓周角（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】圓周角的概念頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.【要點(diǎn)提示】圓心角和圓周角的區(qū)別與聯(lián)系不同點(diǎn)；頂點(diǎn)不同，圓周角的頂點(diǎn)在圓心，圓心角頂點(diǎn)是圓心；（2）弧所對(duì)的角不同：弧所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，而所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)；相同點(diǎn)：角的兩邊都和圓相交.【知識(shí)點(diǎn)二】圓周角定理文字語(yǔ)言：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；符號(hào)語(yǔ)言：如下圖，所對(duì)的圓周角有，所對(duì)的圓心角為，【要點(diǎn)提示】（1）因?yàn)閳A心角的度數(shù)等于它的對(duì)弧的度數(shù)，所以圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度的一半；（2）在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，那么它們所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.【知識(shí)點(diǎn)三】圓周角定理的推論1、文字語(yǔ)言：直徑所對(duì)的圓周角是直角，90度圓周角所對(duì)的弦是直徑；2、符號(hào)語(yǔ)言：如下圖，（1)為的直徑，;(2）在中，AB為的直徑.【要點(diǎn)提示】（1）說(shuō)明一條弦是直徑，可以轉(zhuǎn)化去證明這條弦所對(duì)的圓周角是直角；（2）在已知弦是直徑時(shí)，考慮所對(duì)圓周角是直角，已知圓周角是90度時(shí)，考慮它所對(duì)的弦是直徑.【知識(shí)點(diǎn)四】圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的定義：一個(gè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).如下圖：；【要點(diǎn)提示】（1）任何一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接四邊形；（2）不是所有的四邊形都有外接圓，只有這個(gè)四邊形滿足對(duì)角互補(bǔ)時(shí)才有外接四邊形.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】圓周角概念的辨析【例1】（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各圖中，為圓周角的是（）A．B． C． D．【變式1】（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·期中）如圖，在圖中標(biāo)出的這5個(gè)角中，所對(duì)的圓周角是（

）A． B．和 C．和 D．和【變式2】（2021·河北滄州·一模）如圖，是上一個(gè)定點(diǎn)，將直角三角板的角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，兩邊與相交，設(shè)交點(diǎn)為，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三角板，直至其中一個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖所示能反映與關(guān)系的為（）A．B．C． D．【題型2】利用圓周角定理進(jìn)行求值或證明【例2】（23-24九年級(jí)下·江西九江·期中）課本再現(xiàn)如圖1，的直徑為，弦為，的平分線交于點(diǎn)．（1）分別求和的長(zhǎng)．拓展延伸（2）如圖2，若于點(diǎn)，連接．①求證：直線垂直平分．②求的長(zhǎng)．【變式1】（2024·湖南·中考真題）如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式2】（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，是的直徑，是的弦，若，則．【題型3】利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等求值【例3】（21-22九年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，點(diǎn)P在上，．（1）求證：；（2）若，求的半徑．【變式1】（2024·陜西西安·一模）如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn),且，．則的長(zhǎng)為（）

A． B． C．2 D．【變式2】（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在上，，，則°．【題型4】利用圓周角定理的推論求值或證明【例4】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，是的直徑，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的半徑及的長(zhǎng)．【變式1】（2024·陜西西安·三模）如圖，為的的兩條直徑，點(diǎn)E為弧的中點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·江蘇無(wú)錫·三模）如圖所示，為的直徑，點(diǎn)在上，且，過(guò)點(diǎn)的弦與線段相交于點(diǎn)，滿足，連接，則等于．【例5】（2024·安徽合肥·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，過(guò)點(diǎn)C作，使得，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：．（2）若，求的長(zhǎng)．【變式1】（23-24九年級(jí)上·山東濱州·期中）如圖，過(guò)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是第三象限內(nèi)上一點(diǎn)，，則的半徑為（

）A．4 B．5 C．6 D．【變式2】（2024·浙江溫州·三模）如圖，已知中，，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑作，連接交于點(diǎn)，則的最小值為．【題型6】利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求值或證明【例6】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，．

（1）求的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．【變式1】（2021九年級(jí)·安徽·專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．2 D．4【變式2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，連接，若，則的度數(shù)為°．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·安徽·中考真題）如圖，是的外接圓，D是直徑上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)E，交于另一點(diǎn)F，．（1）求證：；（2）設(shè)，垂足為M，若，求的長(zhǎng)．【例2】（2023·青海西寧·中考真題）如圖，是⊙O的弦，半徑，垂足為D，弦與交于點(diǎn)F，連接，，．

求證：；若，，，求的長(zhǎng)．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)下·陜西·階段練習(xí)）如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例2】（2024·浙江溫州·三模）如圖，是矩形的外接圓，的角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．連結(jié)，，，已知．（1）證明：為等腰直角三角形．（2）若點(diǎn)C平分弧，求的面積．（3）當(dāng)?shù)哪骋贿叺拈L(zhǎng)度是的2倍時(shí)，求的長(zhǎng)．專題2.9圓周角（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】圓周角的概念頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.【要點(diǎn)提示】圓心角和圓周角的區(qū)別與聯(lián)系不同點(diǎn)；頂點(diǎn)不同，圓周角的頂點(diǎn)在圓心，圓心角頂點(diǎn)是圓心；（2）弧所對(duì)的角不同：弧所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，而所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)；相同點(diǎn)：角的兩邊都和圓相交.【知識(shí)點(diǎn)二】圓周角定理文字語(yǔ)言：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；符號(hào)語(yǔ)言：如下圖，所對(duì)的圓周角有，所對(duì)的圓心角為，【要點(diǎn)提示】（1）因?yàn)閳A心角的度數(shù)等于它的對(duì)弧的度數(shù)，所以圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度的一半；（2）在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，那么它們所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.【知識(shí)點(diǎn)三】圓周角定理的推論1、文字語(yǔ)言：直徑所對(duì)的圓周角是直角，90度圓周角所對(duì)的弦是直徑；2、符號(hào)語(yǔ)言：如下圖，（1)為的直徑，;(2）在中，AB為的直徑.【要點(diǎn)提示】（1）說(shuō)明一條弦是直徑時(shí)，可以轉(zhuǎn)化到去證明這條弦所對(duì)的圓周角是直角；（2）在已知弦是直徑時(shí)，考慮所對(duì)圓周角是直角，已知圓周角是90度時(shí)，考慮它所對(duì)的弦是直徑.【知識(shí)點(diǎn)四】圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的定義：一個(gè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).如下圖：，【要點(diǎn)提示】（1）任何一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接四邊形；（2）不是所有的四邊形都有外接圓，只有這個(gè)四邊形滿足對(duì)角互補(bǔ)時(shí)才有外接四邊形.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】圓周角概念的辨析【例1】（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各圖中，為圓周角的是（）A．B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了圓周角定義．頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義．根據(jù)由圓周角的定義逐項(xiàng)判定即可．解：A、的邊不是與圓相交所得，所以不是圓周角，故此選項(xiàng)不符合題意；B、的邊、都不是與圓相交所得，所以不是圓周角，故此選項(xiàng)不符合題意；C、的頂點(diǎn)沒(méi)在圓上，所以不是圓周角，故此選項(xiàng)不符合題意；D、符合圓周角定義，是圓周角，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式1】（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·期中）如圖，在圖中標(biāo)出的這5個(gè)角中，所對(duì)的圓周角是（

）A． B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)圓周角的定義逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可解答．本題考查了圓周角的定義，熟記定義“頂點(diǎn)在圓上，兩邊和圓相交的角叫圓周角”是解題的關(guān)鍵．解：是所對(duì)的圓周角，是所對(duì)的圓周角，是所對(duì)的圓周角，是所對(duì)的圓周角，不是圓周角，故選：C．【變式2】（2021·河北滄州·一模）如圖，是上一個(gè)定點(diǎn)，將直角三角板的角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，兩邊與相交，設(shè)交點(diǎn)為，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三角板，直至其中一個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖所示能反映與關(guān)系的為（）A．B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角的定義及特點(diǎn)即可求解．解：依題意可知∠BMA是圓周角，弦AB為∠BMA所對(duì)的弦，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三角板時(shí)，∠BMA的大小不變，故弦AB長(zhǎng)度不變，即y不隨的變化而變化，故選A．【點(diǎn)撥】此題主要考查圓周角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角的定義．【題型2】利用圓周角定理進(jìn)行求值或證明【例2】（23-24九年級(jí)下·江西九江·期中）課本再現(xiàn)如圖1，的直徑為，弦為，的平分線交于點(diǎn)．（1）分別求和的長(zhǎng)．拓展延伸（2）如圖2，若于點(diǎn)，連接．①求證：直線垂直平分．②求的長(zhǎng)．【答案】（1）；；（2）①見(jiàn)解析；②【分析】本題考查了勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理：（1）根據(jù)圓周角定理得，在和中，利用勾股定理即可求解；（2）①連接，延長(zhǎng)交與點(diǎn)，根據(jù)等角對(duì)等邊可證得，再根據(jù)可證得，進(jìn)而可證得，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可求證結(jié)論；②由（1）得：，由①得：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，進(jìn)而可得，根據(jù)即可求解；添加適當(dāng)?shù)妮o助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．解：（1）為的直徑，，在中，，，，是的角平分線，，，在中，，；（2）①連接，延長(zhǎng)交與點(diǎn)，如圖：為的直徑，，是的角平分線，且，，，，（公共邊），，，，,直線垂直平分;②由（1）得：，由①得：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，．【變式1】（2024·湖南·中考真題）如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可知，即可得到答案．解：根據(jù)題意，圓周角和圓心角同對(duì)著，，，．故選：C．【變式2】（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，是的直徑，是的弦，若，則．【答案】58【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形兩銳角互余．連接，由是的直徑可得，又由可得，進(jìn)而即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．解：連接，∵是的直徑，∴，又∵，∴，故答案為：．【題型3】利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等求值【例3】（21-22九年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，點(diǎn)P在上，．（1）求證：；（2）若，求的半徑．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)9【分析】本題主要考查了勾股定理，同弧所對(duì)的圓周角相等，平行線的判定：（1）根據(jù)同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得，再由條件可得，然后可得；（2）設(shè)，則，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．（1）證明：∵，，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，設(shè)，則，在中：由勾股定理得，在中：由勾股定理得，∴，解得∴的半徑為9．【變式1】（2024·陜西西安·一模）如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn),且，．則的長(zhǎng)為（）

A． B． C．2 D．【答案】C【分析】本題考查圓中同一條弧所對(duì)的各個(gè)角的關(guān)系以及垂徑定理的逆運(yùn)用，還涉及勾股定理的運(yùn)用，需能夠準(zhǔn)確推理論證出所需用的條件．關(guān)鍵在于找到要求線段與已知條件之間隱含的邏輯論證關(guān)系，進(jìn)而順利求出的長(zhǎng)度．解：如圖，連接，

則，又∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為，則，，在中，，即，解得：，∴．故答案為：C．【變式2】（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在上，，，則°．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和，平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，連接，根據(jù)圓周角定理得到，利用平行線性質(zhì)求出的度數(shù)，根據(jù)等邊對(duì)等角，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出結(jié)果即可．解：如圖，連接，，，，在中，，故答案為：．【題型4】利用圓周角定理的推論求值或證明【例4】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，是的直徑，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的半徑及的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)半徑為，BF為【分析】（1）根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等得，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得，再結(jié)合，可得出，即可得證；（2）根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得，在中，得，得出的半徑，再根據(jù)，得，繼而得到，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得出，解得：，即可得解．解：（1）證明：∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∵是的直徑，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，在中，，∴的半徑為，∵，∴，在中，，設(shè)，則，∵在中，，∴，解得：，∴，∴的半徑為，的長(zhǎng)為．【點(diǎn)撥】本題考查同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，直角三角形兩銳角互余，等角對(duì)等邊，勾股定理，等積法等知識(shí)點(diǎn)．掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2024·陜西西安·三模）如圖，為的的兩條直徑，點(diǎn)E為弧的中點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)圓周角定理得到，在根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)求出，由三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)點(diǎn)E為弧的中點(diǎn)，求出，由圓周角定理即可求解．解：連接，，，，，，，點(diǎn)E為弧的中點(diǎn)，，，故選：C．【變式2】（2024·江蘇無(wú)錫·三模）如圖所示，為的直徑，點(diǎn)在上，且，過(guò)點(diǎn)的弦與線段相交于點(diǎn)，滿足，連接，則等于．【答案】/20度【分析】本題主要考查了垂徑定理、圓周角、三角形外角的定義和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角的相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)題意可得，，易知，進(jìn)而可得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．解：∵為的直徑，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【例5】（2024·安徽合肥·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，過(guò)點(diǎn)C作，使得，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：．（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）如圖，連接，根據(jù)推出，再證明，，進(jìn)而證明，即可證明．（2）先證明是的直徑，得到．由（1）可得．在中求出；在中，．（1）證明：如圖，連接．，，．，，．，，，．在與中，，．（2）解：如圖，連接．，是的直徑，．由（1）可得．，．在中，；在中，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了弧，弦，圓周角之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，勾股定理，90度圓周角所對(duì)的弦是直徑，直徑所對(duì)的圓周角是直角，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24九年級(jí)上·山東濱州·期中）如圖，過(guò)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是第三象限內(nèi)上一點(diǎn)，，則的半徑為（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】B【分析】由題意知，由，可得為的直徑，由四點(diǎn)共圓，可求，則，然后求直徑，求半徑即可．解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵，∴為的直徑，∵四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，∴半徑為5，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了的圓周角所對(duì)的弦為直徑，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，含的直角三角形，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．熟練掌握的圓周角所對(duì)的弦為直徑，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，含的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2024·浙江溫州·三模）如圖，已知中，，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑作，連接交于點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】連接，由以為直徑作，得，，即可得動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，在一直線上時(shí)，根據(jù)，即可求解．解：中，，，，連接，由以為直徑作，，，，，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，為圓心，當(dāng)，，在一直線上時(shí)，即的最小值為故答案為：．【題型6】利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求值或證明【例6】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，．

（1）求的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)圓的半徑長(zhǎng)是4．【分析】（1）證明，則，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到；（2）證明是等邊三角形，則，得到，則，則，再利用直角三角形的性質(zhì)即可到答案．（1）解：∵，∴，∵平分，

∴，∵

，∴

，∴，，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形．∴．∴；（2）∵，

∴是圓的直徑，∵，

∴

，∴是等邊三角形，∴，∴

，

∴，∵，

∴，∴，∴，∵，∴，∴圓的半徑是4．【點(diǎn)撥】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，得到是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021九年級(jí)·安徽·專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】連接OD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A=60°，得出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OD=OA=AD=2，求出直徑AB即可．解：連接OD，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等邊三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A+∠C=180°是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，連接，若，則的度數(shù)為°．【答案】【分析】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，根據(jù)題意得到，，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等和圓周角定理即可得到．解：∵是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，∴，∴故答案為：第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·安徽·中考真題）如圖，是的外接圓，D是直徑上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)E，交于另一點(diǎn)F，．（1）求證：；（2）設(shè)，垂足為M，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)．【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識(shí)，掌握這些性質(zhì)以及定理是解題的關(guān)鍵．（1）由等邊對(duì)等角得出，由同弧所對(duì)的圓周角相等得出，由對(duì)頂角相等得出，等量代換得出，由角平分線的定義可得出，由直徑所對(duì)的圓周角等于可得出，即可得出，即．（2）由（1）知，，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，的值，進(jìn)一步求出，，再利用勾股定理即可求出．解：（1）證明：∵，∴，又與都是所對(duì)的圓周角，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵是直徑，∴，∴，故，即．（2）由（1）知，，∴，又，，∴，，∴圓的半徑，∴，在中．，∴即的長(zhǎng)為．【例2】（2023·青海西寧·中考真題）如圖，是⊙O的弦，半徑，垂足為D，弦與交于點(diǎn)F，連接，，．

求證：；若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由垂徑定理，得

，由圓周角定理，得；（2）可證得；中，勾股定理求得，于是.（1）證明：∵

是的半徑∴，

（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。啵ㄍ』虻然∷鶎?duì)的圓周角相等）（2）解：∵

又∵∴（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相