彈性力學(xué)數(shù)值方法：數(shù)值積分：高斯積分法則

彈性力學(xué)數(shù)值方法：數(shù)值積分：高斯積分法則1彈性力學(xué)基礎(chǔ)1.1應(yīng)力與應(yīng)變的概念在彈性力學(xué)中，應(yīng)力（Stress）和應(yīng)變（Strain）是兩個(gè)核心概念，它們描述了材料在受力作用下的響應(yīng)。1.1.1應(yīng)力應(yīng)力定義為單位面積上的內(nèi)力，通常用符號(hào)σ表示。在三維空間中，應(yīng)力可以分為正應(yīng)力（σ）和剪應(yīng)力（τ）。正應(yīng)力是垂直于材料表面的應(yīng)力，而剪應(yīng)力則是平行于材料表面的應(yīng)力。應(yīng)力的單位是帕斯卡（Pa），在工程中常用兆帕（MPa）或千帕（kPa）表示。1.1.2應(yīng)變應(yīng)變是材料在應(yīng)力作用下發(fā)生的形變程度，通常用符號(hào)ε表示。應(yīng)變分為線(xiàn)應(yīng)變（ε）和剪應(yīng)變（γ）。線(xiàn)應(yīng)變描述了材料在某一方向上的伸長(zhǎng)或縮短，而剪應(yīng)變描述了材料在某一平面上的剪切形變。應(yīng)變是一個(gè)無(wú)量綱的量。1.2彈性方程的建立彈性方程是描述彈性體在外力作用下變形和應(yīng)力分布的數(shù)學(xué)模型。在彈性力學(xué)中，最常用的彈性方程是胡克定律（Hooke’sLaw）。1.2.1胡克定律胡克定律表述為：在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)為材料的彈性模量。對(duì)于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，ε是應(yīng)變，E是彈性模量。在三維情況下，胡克定律可以擴(kuò)展為：σ這里，σ_{ij}和ε_(tái){kl}分別是應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的分量，C_{ijkl}是彈性常數(shù)，描述了材料的彈性性質(zhì)。1.2.2平衡方程平衡方程描述了彈性體內(nèi)部力的平衡條件，即在任意體積內(nèi)，作用力的矢量和為零。在三維空間中，平衡方程可以表示為：?其中，f_i是體積力的分量，x_j是坐標(biāo)分量。1.2.3幾何方程幾何方程描述了應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。在小變形情況下，幾何方程可以簡(jiǎn)化為：?這里，u_i是位移分量。1.3有限元法簡(jiǎn)介有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值方法，用于求解復(fù)雜的彈性力學(xué)問(wèn)題。它將連續(xù)的彈性體離散為有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元用一組節(jié)點(diǎn)來(lái)表示，然后在每個(gè)單元內(nèi)近似求解彈性方程。1.3.1單元與節(jié)點(diǎn)在有限元模型中，單元（Element）是彈性體的離散化部分，而節(jié)點(diǎn)（Node）是單元之間的連接點(diǎn)。單元可以是線(xiàn)性的、三角形的、四邊形的、六面體的等，具體取決于問(wèn)題的幾何形狀。1.3.2形函數(shù)形函數(shù)（ShapeFunction）用于在單元內(nèi)部插值節(jié)點(diǎn)的位移。對(duì)于線(xiàn)性單元，形函數(shù)通常是線(xiàn)性的；對(duì)于高階單元，形函數(shù)可以是多項(xiàng)式的。形函數(shù)的選取直接影響了有限元解的精度。1.3.3虛功原理有限元法基于虛功原理（VirtualWorkPrinciple），即在彈性體的任何虛位移下，外力所做的虛功等于內(nèi)力所做的虛功。虛功原理是有限元法求解彈性力學(xué)問(wèn)題的理論基礎(chǔ)。1.3.4矩陣方程有限元法最終將彈性力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一組矩陣方程，形式為：K這里，[K]是剛度矩陣，{u}是位移向量，{F}是外力向量。通過(guò)求解這個(gè)矩陣方程，可以得到彈性體的位移，進(jìn)而計(jì)算出應(yīng)力和應(yīng)變。1.3.5示例代碼：使用Python實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的一維彈性問(wèn)題importnumpyasnp

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.01#截面積，單位：m^2

#定義單元屬性

L=1.0#單元長(zhǎng)度，單位：m

n_elements=10#單元數(shù)量

#定義外力

F=1000#單位：N

#定義節(jié)點(diǎn)和單元

nodes=np.linspace(0,n_elements*L,n_elements+1)

elements=np.array([(i,i+1)foriinrange(n_elements)])

#計(jì)算剛度矩陣

K=np.zeros((n_elements+1,n_elements+1))

fori,(n1,n2)inenumerate(elements):

k=E*A/L#單元?jiǎng)偠?/p>

K[n1,n1]+=k

K[n1,n2]-=k

K[n2,n1]-=k

K[n2,n2]+=k

#應(yīng)用邊界條件

K[0,:]=0

K[-1,:]=0

K[:,0]=0

K[:,-1]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#定義外力向量

F_vec=np.zeros(n_elements+1)

F_vec[-1]=F

#求解位移向量

u=np.linalg.solve(K,F_vec)

#計(jì)算應(yīng)力

stress=np.array([E*(u[i+1]-u[i])/Lforiinrange(n_elements)])

#輸出結(jié)果

print("位移向量：",u)

print("應(yīng)力：",stress)這段代碼演示了如何使用有限元法求解一維彈性問(wèn)題。首先，定義了材料屬性、單元屬性和外力。然后，通過(guò)節(jié)點(diǎn)和單元的定義，構(gòu)建了剛度矩陣[K]。應(yīng)用邊界條件后，使用線(xiàn)性方程求解器求解位移向量{u}。最后，根據(jù)位移計(jì)算了應(yīng)力。通過(guò)這個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們可以看到有限元法的基本流程：定義材料屬性、單元屬性、外力，構(gòu)建剛度矩陣，應(yīng)用邊界條件，求解位移向量，計(jì)算應(yīng)力。在實(shí)際應(yīng)用中，有限元法可以處理更復(fù)雜的三維問(wèn)題，包括非線(xiàn)性材料、復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件。2彈性力學(xué)數(shù)值方法：數(shù)值積分：高斯積分法則2.1數(shù)值積分的基本概念數(shù)值積分是數(shù)值分析中的一個(gè)重要分支，它主要研究如何通過(guò)數(shù)值方法近似計(jì)算定積分。在彈性力學(xué)的數(shù)值方法中，如有限元法，經(jīng)常需要計(jì)算復(fù)雜的積分，而這些積分往往無(wú)法通過(guò)解析方法求解。數(shù)值積分提供了一種有效的方法來(lái)處理這類(lèi)問(wèn)題，其中最常用和最有效的方法之一就是高斯積分法則。2.1.1定積分與數(shù)值近似定積分可以表示為函數(shù)fx在區(qū)間a,b2.2高斯積分的理論基礎(chǔ)高斯積分法則是一種基于多項(xiàng)式插值的數(shù)值積分方法，它通過(guò)選擇特定的積分點(diǎn)和相應(yīng)的權(quán)重，可以以極高的精度近似積分。高斯積分法則的核心在于，對(duì)于一個(gè)給定的積分區(qū)間和積分次數(shù)，存在一組特定的積分點(diǎn)和權(quán)重，使得對(duì)于所有次數(shù)不超過(guò)2n2.2.1高斯積分點(diǎn)的選擇高斯積分點(diǎn)的選擇是基于正交多項(xiàng)式理論的。對(duì)于一個(gè)給定的積分區(qū)間?1,1和一個(gè)權(quán)重函數(shù)w?高斯積分點(diǎn)就是這些正交多項(xiàng)式的根，而權(quán)重則可以通過(guò)求解特定的線(xiàn)性方程組得到。對(duì)于不同的權(quán)重函數(shù)wx，可以得到不同的高斯積分法則，如高斯-勒讓德積分（wx=2.2.2高斯積分的公式對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)fx和積分區(qū)間??其中，xi是高斯積分點(diǎn)，w2.2.3高斯積分的擴(kuò)展高斯積分法則可以很容易地?cái)U(kuò)展到任意區(qū)間a,b，只需要通過(guò)變換x=2.3高斯積分點(diǎn)的選擇選擇高斯積分點(diǎn)和權(quán)重是高斯積分法則的關(guān)鍵。對(duì)于一個(gè)給定的積分次數(shù)n，高斯積分點(diǎn)xi和權(quán)重w2.3.1高斯-勒讓德積分點(diǎn)和權(quán)重以高斯-勒讓德積分法則為例，假設(shè)我們選擇n=2，即使用兩個(gè)積分點(diǎn)進(jìn)行積分。高斯-勒讓德積分點(diǎn)和權(quán)重可以通過(guò)求解勒讓德多項(xiàng)式的根和相應(yīng)的線(xiàn)性方程組得到。對(duì)于xw2.3.2高斯積分的示例假設(shè)我們需要計(jì)算函數(shù)fx=x2在區(qū)間xf然后，我們使用高斯-勒讓德積分法則，選擇n=xw最后，我們計(jì)算高斯積分的近似值：0===2.3.3高斯積分的代碼示例下面是一個(gè)使用Python計(jì)算上述示例中高斯積分的代碼：importnumpyasnp

defgauss_legendre(f,a,b,n):

#高斯-勒讓德積分點(diǎn)和權(quán)重

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)

#將積分區(qū)間轉(zhuǎn)換為[-1,1]

x=(b-a)/2*x+(a+b)/2

#計(jì)算高斯積分的近似值

integral=np.sum(w*f(x))

returnintegral

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#計(jì)算積分

integral=gauss_legendre(f,0,2,2)

print("高斯積分的近似值為：",integral)在這個(gè)代碼示例中，我們使用了numpy庫(kù)中的leggauss函數(shù)來(lái)計(jì)算高斯-勒讓德積分點(diǎn)和權(quán)重，然后通過(guò)變換將積分區(qū)間從0,2轉(zhuǎn)換為2.4結(jié)論高斯積分法則是一種高效且精確的數(shù)值積分方法，它通過(guò)選擇特定的積分點(diǎn)和權(quán)重，可以以極高的精度近似積分。在彈性力學(xué)的數(shù)值方法中，高斯積分法則被廣泛應(yīng)用于有限元法的積分計(jì)算，極大地提高了計(jì)算效率和精度。通過(guò)上述原理和示例的介紹，我們對(duì)高斯積分法則有了更深入的理解。3彈性力學(xué)數(shù)值方法：數(shù)值積分：高斯積分法則應(yīng)用3.1維高斯積分3.1.1原理一維高斯積分是一種數(shù)值積分方法，用于近似計(jì)算函數(shù)在給定區(qū)間上的定積分。它基于選擇一組特定的積分點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的權(quán)重，使得積分的近似值在多項(xiàng)式函數(shù)上達(dá)到最高精度。對(duì)于一個(gè)函數(shù)fx在區(qū)間??其中，wi是第i個(gè)積分點(diǎn)的權(quán)重，xi是第i個(gè)積分點(diǎn)的位置。對(duì)于更一般的區(qū)間3.1.2示例假設(shè)我們需要計(jì)算函數(shù)fx=x2在區(qū)間importnumpyasnp

#定義函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#高斯積分點(diǎn)和權(quán)重，這里使用2點(diǎn)高斯積分

x_gauss=np.array([-0.57735027,0.57735027])

w_gauss=np.array([1,1])

#區(qū)間變換

a,b=0,2

x_transformed=0.5*(b-a)*x_gauss+0.5*(b+a)

w_transformed=0.5*(b-a)*w_gauss

#計(jì)算積分

integral=np.sum(w_transformed*f(x_transformed))

print("一維高斯積分結(jié)果：",integral)3.1.3描述上述代碼中，我們定義了函數(shù)fx=x2，并選擇了2點(diǎn)高斯積分的積分點(diǎn)和權(quán)重。通過(guò)區(qū)間變換，我們將3.2維高斯積分3.2.1原理二維高斯積分是將一維高斯積分?jǐn)U展到二維空間，用于計(jì)算函數(shù)在二維區(qū)域上的積分。對(duì)于一個(gè)函數(shù)fx,yc其中，wi和wj分別是x和y方向上的積分點(diǎn)的權(quán)重，xi3.2.2示例假設(shè)我們需要計(jì)算函數(shù)fx,y#定義二維函數(shù)

deff(x,y):

returnx**2+y**2

#二維高斯積分點(diǎn)和權(quán)重，這里使用2點(diǎn)高斯積分

x_gauss=np.array([-0.57735027,0.57735027])

y_gauss=np.array([-0.57735027,0.57735027])

w_gauss=np.array([1,1])

#區(qū)間變換

a,b=0,2

c,d=1,3

x_transformed=0.5*(b-a)*x_gauss+0.5*(b+a)

y_transformed=0.5*(d-c)*y_gauss+0.5*(d+c)

w_x_transformed=0.5*(b-a)*w_gauss

w_y_transformed=0.5*(d-c)*w_gauss

#計(jì)算積分

integral=np.sum(w_x_transformed[:,None]*w_y_transformed*f(x_transformed[:,None],y_transformed))

print("二維高斯積分結(jié)果：",integral)3.2.3描述在二維高斯積分中，我們首先定義了函數(shù)fx,y=x3.3高斯積分在有限元分析中的應(yīng)用在有限元分析中，高斯積分用于計(jì)算單元的剛度矩陣和載荷向量。由于有限元分析中的積分通常涉及復(fù)雜的幾何形狀和高維空間，高斯積分提供了一種高效且精確的數(shù)值積分方法。3.3.1描述在有限元分析中，每個(gè)單元的剛度矩陣和載荷向量通常需要通過(guò)積分來(lái)計(jì)算。這些積分可能涉及單元的幾何形狀、材料屬性以及外力分布。高斯積分通過(guò)選擇有限數(shù)量的積分點(diǎn)和權(quán)重，能夠在保證計(jì)算精度的同時(shí)，顯著減少計(jì)算量，特別是在處理高維空間的積分時(shí)。例如，對(duì)于一個(gè)四邊形單元，其剛度矩陣的計(jì)算可能涉及在單元內(nèi)部進(jìn)行的雙積分。使用二維高斯積分，我們可以選擇適當(dāng)?shù)姆e分點(diǎn)和權(quán)重，將這個(gè)雙積分轉(zhuǎn)化為一系列點(diǎn)上的函數(shù)值的加權(quán)求和，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。在實(shí)際應(yīng)用中，高斯積分點(diǎn)和權(quán)重的選擇取決于單元的形狀和積分的精度要求。通常，對(duì)于簡(jiǎn)單的單元形狀，如矩形或三角形，2點(diǎn)或3點(diǎn)高斯積分就足夠了。而對(duì)于更復(fù)雜的單元形狀，可能需要更多的積分點(diǎn)來(lái)保證計(jì)算精度?？傊?，高斯積分在有限元分析中是一種非常重要的數(shù)值積分方法，它能夠有效地處理復(fù)雜的積分問(wèn)題，提高計(jì)算效率，同時(shí)保持計(jì)算精度。4高斯積分的優(yōu)化與挑戰(zhàn)4.1積分精度與誤差分析高斯積分是一種數(shù)值積分方法，它通過(guò)在積分區(qū)間內(nèi)選取特定的點(diǎn)（稱(chēng)為高斯點(diǎn)）和相應(yīng)的權(quán)重，來(lái)近似計(jì)算定積分。這種方法在處理多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)特別有效，因?yàn)樗梢跃_地計(jì)算多項(xiàng)式的積分，只要積分函數(shù)的階數(shù)不超過(guò)高斯點(diǎn)的階數(shù)。4.1.1精度提升高斯積分的精度可以通過(guò)增加高斯點(diǎn)的數(shù)量來(lái)提升。例如，對(duì)于一個(gè)一維積分，使用兩個(gè)高斯點(diǎn)可以精確計(jì)算至三次多項(xiàng)式的積分，而使用三個(gè)高斯點(diǎn)則可以精確計(jì)算至五次多項(xiàng)式的積分。這種精度的提升是基于高斯積分的構(gòu)造原理，即選取的高斯點(diǎn)和權(quán)重可以使得積分公式對(duì)于一定階數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)是精確的。4.1.2誤差來(lái)源盡管高斯積分在多項(xiàng)式函數(shù)上具有高精度，但在處理非多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，誤差主要來(lái)源于兩個(gè)方面：一是函數(shù)在高斯點(diǎn)處的近似，二是積分區(qū)間的劃分。對(duì)于非多項(xiàng)式函數(shù)，高斯積分只能提供一個(gè)近似值，其精度取決于高斯點(diǎn)的數(shù)量和函數(shù)在這些點(diǎn)上的行為。此外，如果積分區(qū)間非常大或函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有劇烈變化，可能需要更多的高斯點(diǎn)來(lái)保證積分的精度。4.1.3誤差分析誤差分析是評(píng)估高斯積分近似精度的關(guān)鍵步驟。一種常見(jiàn)的方法是使用余項(xiàng)公式，該公式可以給出積分近似值與真實(shí)值之間的差值。例如，對(duì)于一維高斯積分，余項(xiàng)公式通常涉及積分函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。通過(guò)分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以估計(jì)積分的誤差，并據(jù)此選擇合適的高斯點(diǎn)數(shù)量。4.2高階高斯積分高階高斯積分是指在積分公式中使用更多高斯點(diǎn)的方法，以提高積分的精度。在實(shí)際應(yīng)用中，特別是在彈性力學(xué)的有限元分析中，高階高斯積分對(duì)于處理復(fù)雜的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和非線(xiàn)性材料行為至關(guān)重要。4.2.1高斯點(diǎn)的選擇高斯點(diǎn)的選擇是基于正交多項(xiàng)式理論。對(duì)于一維積分，高斯點(diǎn)是勒讓德多項(xiàng)式的根。在二維和三維積分中，高斯點(diǎn)的選擇更加復(fù)雜，通常需要使用雅可比多項(xiàng)式或其他正交多項(xiàng)式的根。高斯點(diǎn)的數(shù)量和位置決定了積分公式的精度和適用范圍。4.2.2權(quán)重計(jì)算每個(gè)高斯點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)權(quán)重，權(quán)重的計(jì)算基于正交多項(xiàng)式的性質(zhì)。在一維情況下，權(quán)重可以通過(guò)求解勒讓德多項(xiàng)式的積分來(lái)獲得。在多維情況下，權(quán)重的計(jì)算通常需要數(shù)值方法，如迭代算法或直接求解線(xiàn)性方程組。4.2.3示例代碼以下是一個(gè)使用Python實(shí)現(xiàn)的一維高斯積分的示例代碼，計(jì)算函數(shù)fx=ximportnumpyasnp

deff(x):

"""被積函數(shù)"""

returnx**2

defgauss_quadrature(f,a,b,n):

"""一維高斯積分"""

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)#獲取高斯點(diǎn)和權(quán)重

x=(b-a)/2*x+(b+a)/2#將高斯點(diǎn)映射到積分區(qū)間

w=(b-a)/2*w#調(diào)整權(quán)重

returnnp.sum(w*f(x))#計(jì)算積分

#計(jì)算f(x)=x^2在[-1,1]上的積分，使用3個(gè)高斯點(diǎn)

integral=gauss_quadrature(f,-1,1,3)

print("積分結(jié)果:",integral)4.2.4解釋在這個(gè)示例中，我們首先定義了被積函數(shù)fx=x2。然后，我們使用4.3特殊幾何形狀下的高斯積分在處理特殊幾何形狀，如三角形、四邊形、球體等，高斯積分需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。這是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)的高斯積分公式通常適用于矩形或立方體形狀的積分區(qū)間。4.3.1角形積分對(duì)于三角形積分，可以使用基于雅可比多項(xiàng)式的高斯積分公式。三角形通常被參數(shù)化為兩個(gè)變量的函數(shù)，積分公式需要在兩個(gè)變量上進(jìn)行雙重積分。4.3.2邊形積分四邊形積分可以通過(guò)將四邊形分割成兩個(gè)三角形，然后分別對(duì)每個(gè)三角形應(yīng)用高斯積分來(lái)實(shí)現(xiàn)。另一種方法是使用專(zhuān)門(mén)針對(duì)四邊形的高斯積分公式，這些公式通?；陔p變量的正交多項(xiàng)式。4.3.3球體積分球體積分通常在球坐標(biāo)系中進(jìn)行，使用基于勒讓德多項(xiàng)式的高斯積分公式來(lái)處理徑向積分，以及基于勒讓德多項(xiàng)式和切比雪夫多項(xiàng)式的高斯積分公式來(lái)處理角度積分。4.3.4示例代碼以下是一個(gè)使用Python實(shí)現(xiàn)的二維高斯積分的示例代碼，計(jì)算函數(shù)fx,yimportnumpyasnp

deff(x,y):

"""被積函數(shù)"""

returnx**2+y**2

defgauss_quadrature_2d(f,a,b,c,d,n):

"""二維高斯積分"""

x,w_x=np.polynomial.legendre.leggauss(n)#獲取x方向的高斯點(diǎn)和權(quán)重

y,w_y=np.polynomial.legendre.leggauss(n)#獲取y方向的高斯點(diǎn)和權(quán)重

x=(b-a)/2*x+(b+a)/2#將x方向的高斯點(diǎn)映射到積分區(qū)間

y=(d-c)/2*y+(d+c)/2#將y方向的高斯點(diǎn)映射到積分區(qū)間

w_x=(b-a)/2*w_x#調(diào)整x方向的權(quán)重

w_y=(d-c)/2*w_y#調(diào)整y方向的權(quán)重

integral=0

foriinrange(n):

forjinrange(n):

integral+=w_x[i]*w_y[j]*f(x[i],y[j])#計(jì)算積分

returnintegral

#計(jì)算f(x,y)=x^2+y^2在單位正方形[0,1]x[0,1]上的積分，使用3個(gè)高斯點(diǎn)

integral=gauss_quadrature_2d(f,0,1,0,1,3)

print("積分結(jié)果:",integral)4.3.5解釋在這個(gè)二維高斯積分的示例中，我們首先定義了被積函數(shù)fx,y通過(guò)上述討論和示例，我們可以看到高斯積分在處理不同幾何形狀和高階積分時(shí)的靈活性和強(qiáng)大能力。然而，選擇合適的高斯點(diǎn)和權(quán)重，以及對(duì)積分精度和誤差的分析，仍然是應(yīng)用高斯積分時(shí)需要仔細(xì)考慮的問(wèn)題。5實(shí)例分析與實(shí)踐5.1高斯積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用案例在彈性力學(xué)的數(shù)值方法中，高斯積分法則被廣泛應(yīng)用于有限元分析中，特別是在處理復(fù)雜的幾何形狀和材料特性時(shí)。高斯積分通過(guò)在積分區(qū)間內(nèi)選取特定的積分點(diǎn)和權(quán)重，能夠以較少的計(jì)算量獲得較高的積分精度。下面，我們通過(guò)一個(gè)具體的彈性力學(xué)問(wèn)題來(lái)探討高斯積分的應(yīng)用。假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的梁，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為b，厚度為h，材料的彈性模量為E，泊松比為ν。梁受到均勻分布的載荷q作用，我們需要計(jì)算梁的撓度。在有限元分析中，梁的撓度可以通過(guò)求解微分方程得到，而微分方程的求解往往涉及到對(duì)梁截面的應(yīng)力和應(yīng)變進(jìn)行積分。這里，我們使用高斯積分來(lái)簡(jiǎn)化這一過(guò)程。5.1.1代碼示例importnumpyasnp

#定義高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

gauss_points=np.array([-np.sqrt(1/3),np.sqrt(1/3)])

gauss_weights=np.array([1,1])

#定義梁的參數(shù)

L=1.0

b=0.1

h=0.05

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

q=1000#均勻分布載荷，單位：N/m

#定義積分函數(shù)

defintegrate(f,a,b):

total=0

fori,xiinenumerate(gauss_points):

x=(b-a)/2*xi+(b+a)/2

total+=(b-a)/2*gauss_weights[i]*f(x)

returntotal

#定義應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系函數(shù)

defstress_strain(y):

I=b*h**3/12#截面慣性矩

returnq*y**2/(2*I*E)

#計(jì)算梁的撓度

defdeflection():

#撓度公式中的積分部分

integral=integrate(stress_strain,-h/2,h/2)

#撓度公式

returnintegral*L**3/(6*E*b*h**3)

#輸出結(jié)果

print("梁的撓度為：",deflection())5.1.2例子描述上述代碼中，我們首先定義了高斯積分點(diǎn)和權(quán)重，然后定義了梁的幾何和材料參數(shù)。integrate函數(shù)實(shí)現(xiàn)了高斯積分，其中f是被積函數(shù)，a和b是積分區(qū)間的端點(diǎn)。stress_strain函數(shù)根據(jù)梁的幾何和材料參數(shù)計(jì)算應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。最后，deflection函數(shù)通過(guò)調(diào)用integrate函數(shù)計(jì)算梁的撓度。5.2使用高斯積分解決復(fù)雜彈性問(wèn)題在處理更復(fù)雜的彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，如三維結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析，高斯積分的優(yōu)越性更加明顯。三維問(wèn)題中的積分往往涉及到三維空間中的積分，高斯積分法則可以擴(kuò)展到多維空間，通過(guò)在每個(gè)維度上選取高斯積分點(diǎn)和權(quán)重，可以有效地簡(jiǎn)化積分過(guò)程。5.2.1代碼示例importnumpyasnp

#定義三維高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

gauss_points_3d=np.array([[-np.sqrt(3/5),0,np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),0,np.sqrt(3/5)],

[-np.sqrt(3/5),0,-np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),0,-np.sqrt(3/5)],

[-np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),0],

[np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),0],

[-np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),0],

[np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),0],

[0,np.sqrt(3/5),0],

[0,-np.sqrt(3/5),0],

[0,0,np.sqrt(3/5)],

[0,0,-np.sqrt(3/5)]])

gauss_weights_3d=np.array([5/9,8/9,5/9,8/9,5/9,8/9,5/9,8/9,5/9,5/9,5/9,5/9])

#定義三維彈性問(wèn)題的積分函數(shù)

defintegrate_3d(f,a,b,c,d,e,f):

total=0

fori,(xi,yi,zi)inenumerate(gauss_points_3d):

x=(b-a)/2*xi+(b+a)/2

y=(d-c)/2*yi+(d+c)/2

z=(f-e)/2*zi+(f+e)/2

total+=(b-a)/2*(d-c)/2*(f-e)/2*gauss_weights_3d[i]*f(x,y,z)

returntotal

#定義三維應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系函數(shù)

defstress_strain_3d(x,y,z):

#假設(shè)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線(xiàn)性，這里僅作示例

returnx**2+y**2+z**2

#計(jì)算三維結(jié)構(gòu)的應(yīng)力

defcalculate_stress():

#假設(shè)積分區(qū)間為[-1,1]x[-1,1]x[-1,1]

returnintegrate_3d(stress_strain_3d,-1,1,-1,1,-1,1)

#輸出結(jié)果

print("三維結(jié)構(gòu)的應(yīng)力為：",calculate_stress())5.2.2例子描述在三維彈性問(wèn)題中，我們定義了12個(gè)高斯積分點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的權(quán)重。integrate_3d函數(shù)實(shí)現(xiàn)了三維高斯積分，其中f是被積函數(shù)，a到f是積