高等數(shù)學（第五版）課件 陳如邦 第五章 定積分

第五章定積分第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)

實例1(求曲邊梯形的面積)一、問題的提出abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）

第一步：分割

任意引入分點

稱為區(qū)間的一個分法T第二步：取近似

第三步：求和

第四步：取極限

思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值．

實例2(求變速直線運動的路程)(1)分割

部分路程值某時刻的速度(3)求和

(4)取極限

路程的精確值(2)取近似上述兩個問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結構式相同:特殊乘積和式的極限二、定積分的定義

被積函數(shù)積分變量被積表達式積分上限積分下限積分和注意關于定積分定義的說明：

曲邊梯形的面積

曲邊梯形的面積的負值

各部分面積的代數(shù)和三、定積分的幾何意義

定積分的性質(zhì)以下性質(zhì)都是要求被積函數(shù)在相應的積分區(qū)間上是可積的.

性質(zhì)1可以推廣到有限個可積函數(shù)作和或者作差的情況.

證

例2

比較下列各對定積分值的大小.

第五章定積分第二節(jié)微積分基本公式從定積分的定義可以看出，直接用定義計算定積分的值,盡管被積函數(shù)很簡單,也是一件十分困難的事,有些定積分幾乎不可能用定義來計算,所以,需要找到簡便而有效的計算方法。17世紀60～70年代,牛頓與萊布尼茨他們各自獨立地將定積分計算問題與原函數(shù)聯(lián)系起來,從而使定積分的計算變得簡捷、方便,也推動了數(shù)學的發(fā)展,這就是牛頓—萊布尼茨公式或稱微積分基本公式。xybaxOy=f(x)Φ(x)Φ(x)

一、變上限積分

將其稱為變上限積分或積分上限函數(shù)。

證明：

由積分中值定理得

變限積分求導公式

例1

例2

例3

例4

洛必達法則例5解

這種積分與原函數(shù)的關系在一定條件下具有普遍性.引例：在變速直線運動中，已知位置函數(shù)s(t)與速度函數(shù)v(t)之間有關系

這里s(t)是v(t)的原函數(shù)二、牛頓–萊布尼茲公式去掉問題的實際意義，上式表明，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分等于它的一個原函數(shù)在積分上限的函數(shù)值與積分下限函數(shù)值的差（即被積函數(shù)的原函數(shù)的增量）牛頓–萊布尼茲公式

定理2

稱此公式為牛頓—萊布尼茲公式，也稱為微積分基本公式。這個公式揭示了定積分與原函數(shù)之間的內(nèi)在關系，同時為我們計算定積分提供了一個簡便而有效的方法。

證:

記作

公式的核心思想：如果能夠找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)，則定積分的值即為原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量。

例6

求下列定積分.

解

說明：若被積函數(shù)是分段函數(shù)，當分段點在積分區(qū)間內(nèi)時，計算定積分要用定積分對區(qū)間的可加性將定積分拆開。

解:

例8

下列做法是否有問題

強調(diào)：在利用牛頓—萊布尼茨公式的時候，驗證定理條件是否滿足是必要的！

解第五章定積分第三節(jié)定積分的計算一、定積分的換元積分法

【引例分析】根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式，要計算該定積分，必須先求被積函數(shù)的一個原函數(shù)，

計算過程是先求原函數(shù)，再使用牛頓—萊布尼茲公式，顯得較為復雜。再看下面的計算過程：從結果上看是一樣的，但計算過程顯得更簡捷。

【引例分析】被積函數(shù)是無理式，無法直接計算，可采用下面的辦法來解決：

定積分的換元積分法

上述等式稱為定積分的換元公式。說明：（1）從左到右應用該公式時，相當于不定積分的第二換元法（如引例2），使用時要引入新的變量，同時切記：換元必換限。換限時原上限對新上限，原下限對新下限，換元后變量不用回代。（2）從右到左應用該公式時，相當于不定積分的第一換元法（如引例1），使用時不引入新的變量，因而積分的上、下限不變，只要求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，直接使用牛頓—萊布尼茲公式。例1

例1

例3求下列定積分

解

解

例3求下列定積分

解

例3求下列定積分

規(guī)律

利用函數(shù)的對稱性,有時可簡化計算.

證:由定積分的區(qū)間可加性，得

將式（2）代入式（1），得

結論：

二、定積分的分部積分法

該公式稱為定積分的分部積分公式。對于由兩個不同函數(shù)組成的被積函數(shù)，因其不便于進行換元，可以考慮使用分部積分法。其原理是對導數(shù)乘法法則的逆用。

證:

規(guī)律1：當被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（反三角函數(shù)）的積時，要用分部積分法，且要用冪函數(shù)湊微分。

定積分的分部積分公式可以多次使用。

規(guī)律2：當被積函數(shù)為冪函數(shù)與指對數(shù)函數(shù)（正弦函數(shù)、余弦函數(shù)）的積時，要用分部積分法，且不能用冪函數(shù)湊微分。

規(guī)律3：

當被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）的積時，要用兩次分部積分公式，任何一種函數(shù)均能用來湊微分，但兩次湊微分時要用同一種類型的函數(shù)。第五章定積分第四節(jié)反常積分一、無窮區(qū)間的反常積分

定積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣反常積分(廣義積分)

二、無界函數(shù)的反常積分

其含義可理解為

故反常積分發(fā)散.

解

第五章定積分第五節(jié)

定積分在幾何上的應用

什么問題可以用定積分解決?

定積分定義一、定積分的微元法如何應用定積分解決問題?

上述兩步解決問題的方法稱為微元法。二、平面圖形的面積

于是所求平面圖形的面積為

故所求的平面圖形的面積為

解兩曲線的交點

分割為兩部分之和

故

由此我們看到，積分變量選取適當，則可使計算簡便.三、立體的體積1.

平行截面面積為已知的立體體積如果一空間立體被垂直于某直線的平面所截的截面面積可求，則該立體的體積可用定積分進行計算。

例4求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、h為高的正劈錐體的體積。解

于是，所求正劈錐體的體積為

2.旋轉體的體積

于是利用旋轉體的體積的計算公式可求得旋轉橢球體的體積為

類似地，橢圓繞y軸旋轉而得旋轉橢球體的體積為

解

故所求平面圖形繞x軸旋轉所得的旋轉體的體積為

故所求平面圖形繞y軸旋轉所得的旋轉體的體積為

第五章定積分第六節(jié)定積分在物理上的應用一、變力所作的功

用微元法解決：

例1

設有一圓柱形水桶盛滿了水，桶高5米，底圓半徑為3米，現(xiàn)要將水全部抽出，需作多少功？解

如圖建立直角坐標系

解

根據(jù)題設，媒質(zhì)的阻力為

于是該物體克服阻力所作的功為

如果將平薄板鉛直地放置在液體中，由于水深不同，薄板一側在不同深度處所受到的壓強不同，因而薄板一側所受到的壓力不均勻，可用定積分來計算薄板一側所受到的壓力。二、液體的側壓力例3

一底為8m，高為6m的等腰三角形薄片，鉛直沉在水中，頂在下，底在上且底與水面平齊，試求它的側面所受的壓力。解

如圖建立直角坐標系

例4

一水平橫放的半徑為R的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為

的液體,求桶的一個端面所受的側壓力。解:建立如圖直角坐標系.利用對稱性,側壓力微元為

故桶的一個端面所受側壓力為

三、函數(shù)平均值

“平均”這個概念概念經(jīng)常出現(xiàn)于生產(chǎn)實踐和科學實驗中