經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊(cè)）課件 顧靜相 第5章 定積分

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第20講5.1定積分的概念教學(xué)要求

理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)．定積分的概念教材中用幾何與經(jīng)濟(jì)兩個(gè)實(shí)際背景完全不同的例子引入了定積分概念，大家一定要認(rèn)真閱讀，了解定積分所要解決的實(shí)際問題．

定積分定義

定義5.1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上定義．用點(diǎn)a=x0<x1<x2<…<xn=b將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間:

[x0,x1]，[x1,x2]，…，[xn-1,xn]，記

xi

=xi-xi-1(i=1,2,…,n)．在每個(gè)小區(qū)間[xi－1,xi]上任取

i(xi-1

i

xi)，作和式稱為積分和．定積分定義作和式稱為積分和．當(dāng)n無限增大，且

x()

0時(shí)，如果Sn的極限存在，且極限值與區(qū)間[a,b]的劃分方法及點(diǎn)

i的取法無關(guān)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，此極限值稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作

，即

，定積分定義即，其中f(x)稱為被積函數(shù)，[a,b]稱為積分區(qū)間，a稱為積分下限，b稱為積分上限，x稱為積分變量，f(x)dx稱為被積表達(dá)式．定積分的概念對(duì)于定積分的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1．函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分是積分和的極限，如果這一極限存在，則它是一個(gè)確定的常量．它只與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量使用的字母的選取無關(guān)．即

．

定積分的概念2．在定積分定義中假設(shè)a<b，但如果b<a，我們規(guī)定：

，即互換定積分的上、下限，定積分要變號(hào)．

如果a=b，則

.定積分的概念

3．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上有界，即函數(shù)f(x)有界是其可積的必要條件．這一結(jié)論也可敘述為：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上無界，則f(x)在[a,b]上不可積．定積分的性質(zhì)性質(zhì)1

常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面，即

(k為常數(shù))．定積分的性質(zhì)性質(zhì)2

兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們分別積分的代數(shù)和，即．此條性質(zhì)可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形．性質(zhì)1

常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面，即

(k為常數(shù))．定積分的性質(zhì)性質(zhì)1

兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們分別積分的代數(shù)和，即．此條性質(zhì)可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形．性質(zhì)2

常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面，即

(k為常數(shù))．性質(zhì)3(積分的區(qū)間可加性)如果c是任意一點(diǎn)，有．定積分的性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上滿足：f(x)

g(x)，那么．定積分的性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上滿足：f(x)

g(x)，那么．性質(zhì)5

如果函數(shù)f(x)=1，那么

．定積分的性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上滿足：f(x)

g(x)，那么．性質(zhì)5

如果函數(shù)f(x)=1，那么

．性質(zhì)6(估值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值分別為M，m，那么．定積分的性質(zhì)性質(zhì)7(積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么在[a,b]上至少存在一點(diǎn)

，使得

，

(a,b)．定積分的性質(zhì)幾何意義：由曲線y=f(x)，x軸和直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形面積等于區(qū)間[a,b]上某個(gè)矩形的面積，這個(gè)矩形的底是區(qū)間[a,b]，其高為區(qū)間[a,b]內(nèi)某一點(diǎn)

處的函數(shù)值f(

)．見下圖．由上式得到的，稱為函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上的平均值．定積分的概念謝謝大家！

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第21講5.2微積分基本定理教學(xué)要求

熟練掌握運(yùn)用牛頓—萊布尼茨公式計(jì)算定積分．變上限定積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，對(duì)于任意的

x

[a,b]，

f(x)在區(qū)間[a,x]上也連續(xù)，所以函數(shù)

f(x)在

[a,x]上也可積．定積分

的值依賴上限

x，因此它是定義在

[a,b]上的

x

的函數(shù)．記

，則

(x)稱為變上限定積分．

變上限定積分

定理5.1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則

是以

x為積分上限的定積分，

(x)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在積分上限

x處的值．即

．

變上限定積分

定理5.1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則

是以

x為積分上限的定積分，

(x)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在積分上限

x處的值．即

．

由定理5.1可知：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)就是f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)．

變上限定積分例1求．變上限定積分例1求．解當(dāng)

x0時(shí)，此極限為“

”型不定式，利用洛必達(dá)法則，有===．變上限定積分例2計(jì)算．變上限定積分例2計(jì)算．解設(shè)

u=x2，則

．即

是

x的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得，==

．變上限定積分

一般地，如果

g(x)可導(dǎo)，則.在計(jì)算有關(guān)導(dǎo)數(shù)時(shí)，可把上述結(jié)果作為公式使用．微積分基本定理

定理5.2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則

．

微積分基本定理定理5.2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則

．上式稱為牛頓－萊布尼茨公式，定理5.2通常稱為微積分基本公式．

它揭示了定積分與不定積分之間的聯(lián)系．牛頓－萊布尼茲公式則為定積分的計(jì)算提供了有效的計(jì)算方法．微積分基本定理求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，只需求出f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)F(x)，然后計(jì)算F(b)-F(a)就可以了，在求函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)時(shí)，可直接利用基本積分表．定積分計(jì)算例3計(jì)算定積分．定積分計(jì)算例3計(jì)算定積分．解因?yàn)?/p>

是e2x的一個(gè)原函數(shù)，由牛頓－萊布尼茨公式得

．定積分計(jì)算例4計(jì)算定積分，其中

．定積分計(jì)算例4計(jì)算定積分，其中

．解因?yàn)閒(x)在[]上不連續(xù)，但是分別在區(qū)間[]和[0,1]上連續(xù)，利用定積分對(duì)區(qū)間的可加性，有定積分計(jì)算解因?yàn)閒(x)在[]上不連續(xù)，但是分別在區(qū)間[]和[0,1]上連續(xù)，利用定積分對(duì)區(qū)間的可加性，有定積分計(jì)算例5計(jì)算定積分．定積分計(jì)算例5計(jì)算定積分．解含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)計(jì)算定積分時(shí)，必須將絕對(duì)值號(hào)去掉才可以進(jìn)行計(jì)算．被積函數(shù)，故微積分基本定理謝謝大家！

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第22講5.3定積分的計(jì)算教學(xué)要求

熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法．定積分的換元積分法

第17講中，學(xué)習(xí)了用換元積分法求已知函數(shù)的原函數(shù)，在某些條件下?lián)Q元積分法也可以用來計(jì)算定積分．

定積分的換元積分法的定理

定理5.3

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，作變換

x=

(t)，如果

(1)x=

(t)在區(qū)間[

,

]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)

(t)；

(2)

當(dāng)

t在區(qū)間[

,

]上變化時(shí)，x=

(t)的值從

(

)=a單調(diào)地變到

(

)=b，則

．(22.1)

定積分的換元積分法

在應(yīng)用定積分的換元積分法公式(22.1)時(shí)，應(yīng)注意：(1)從左到右應(yīng)用公式(22.1)，相當(dāng)于不定積分的第二換元法．計(jì)算時(shí)，用

x=

(t)把原積分變量x換成新變量

t，積分限也必須由

a和

b換為新變量

t的積分限

和

，而不用代回原積分變量x，這與不定積分的第二換元法是完全不同的．定積分的換元積分法

在應(yīng)用定積分的換元積分法公式(22.1)時(shí)，應(yīng)注意：(2)從右到左應(yīng)用公式(22.1),相當(dāng)于不定積分的第一換元法（湊微分法）．一般不用設(shè)出新的積分量．這時(shí)，原積分的上、下限不需改變，只要求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，就可直接應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式求出定積分的值.

定積分的換元積分法例1計(jì)算定積分

．定積分的換元積分法例1計(jì)算定積分

．解法一設(shè)

t=cosx，則

dt=-sinxdx．當(dāng)

x=0時(shí)，t=1；當(dāng)

時(shí)，t=0．所以，原積分

．定積分的換元積分法例1計(jì)算定積分

．解法一設(shè)

t=cosx，則

dt=-sinxdx．當(dāng)

x=0時(shí)，t=1；當(dāng)

時(shí)，t=0．所以，原積分

．

這一解法明確地設(shè)出了新的積分變量

t．這時(shí)，應(yīng)更換積分的上、下限，且不必代回原積分變量．定積分的換元積分法例1計(jì)算定積分

．解法二

．定積分的換元積分法例1計(jì)算定積分

．解法二

．

這一解法沒有引入新的積分變量，計(jì)算時(shí)原積分的上、下限不要改變．對(duì)于能用“湊微分法”求原函數(shù)的積分，應(yīng)盡可能用解法二的方法．定積分的換元積分法例2計(jì)算定積分

．定積分的換元積分法例2計(jì)算定積分

．解設(shè)

x=t3，則

dx=3t2dt，當(dāng)

t在

[0,2]上變化時(shí)，x在

[0,8]上變化，所以

．定積分的換元積分法例3計(jì)算定積分

．定積分的換元積分法例3計(jì)算定積分

．解

令

x=sint,dx=costdt，當(dāng)

t=0時(shí)，x=0；

時(shí)，x=1，且

時(shí)，0

x

1，因此，

．定積分的換元積分法例4計(jì)算定積分

．定積分的換元積分法例4計(jì)算定積分

．解

設(shè)，則，

．當(dāng)

x=0時(shí)，t=0；當(dāng)

x=ln5時(shí)，t＝2．所以

定積分的換元積分法例5設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[-a,a]上連續(xù)(a>0)，則(1)

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，

；(2)

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，

．定積分的換元積分法例5設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[-a,a]上連續(xù)(a>0)，則(1)

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，

；(2)

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，

．證

(1)由定積分的可加性，有(22.2)對(duì)于等號(hào)右端的第一項(xiàng)，令x=-t，則dx=-dt．且當(dāng)x=-a時(shí)，t=a；當(dāng)x=0時(shí)，t=0．于是，

．定積分的換元積分法證

(1)由定積分的可加性，有(22.2)對(duì)于等號(hào)右端的第一項(xiàng)，令x=-t，則dx=-dt．且當(dāng)x=-a時(shí)，t=a；當(dāng)x=0時(shí)，t=0．于是，

．

所以，(22.2)式可化為

．定積分的換元積分法證

(1)由定積分的可加性，有(22.2)對(duì)于等號(hào)右端的第一項(xiàng)，令x=-t，則dx=-dt．且當(dāng)x=-a時(shí)，t=a；當(dāng)x=0時(shí)，t=0．于是，

．

所以，(22.2)式可化為

．(2)證明類似于(1)．定積分的換元積分法

例5的結(jié)果可以作為定理使用．

在計(jì)算對(duì)稱區(qū)間上的定積分時(shí)，如果能判定被積函數(shù)的奇偶性，利用這一結(jié)果就可以化簡(jiǎn)計(jì)算過程．定積分的換元積分法例6計(jì)算定積分

．定積分的換元積分法例6計(jì)算定積分

．解由于

在區(qū)間[-2,2]上為奇函數(shù)，

在[-2,2]上為偶函數(shù)，所以定積分的分部積分法

對(duì)應(yīng)于不定積分的分部積分法，也有計(jì)算定積分的分部積分法．

定積分的分部積分法

設(shè)函數(shù)

u=u(x)與

v=v(x)在區(qū)間

[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)

u

(x)，v

(x)，則(uv)

=u

v+uv

．上式兩邊取從

a到

b的積分，得到

即移項(xiàng)得(22.3)公式(22.3)稱為定積分的分部積分公式．導(dǎo)數(shù)乘法公式定積分的分部積分法例7計(jì)算定積分

．

定積分的分部積分法例7計(jì)算定積分

．

解設(shè)

u=lnx，dv=xdx，則,.可得

注：計(jì)算熟練以后，變量的替換過程可以不寫．

．

定積分的分部積分法例8計(jì)算定積分

．

定積分的分部積分法例8計(jì)算定積分

．

解由于

為偶函數(shù)，

為奇函數(shù)，所以．

定積分的分部積分法例9計(jì)算定積分

．

定積分的分部積分法例9計(jì)算定積分

．

解設(shè)

，則

x=t2，dx

=2tdt，當(dāng)

x=0時(shí)，t

=0；當(dāng)

x=

2時(shí)，t=

．于是．

定積分的分部積分法例10計(jì)算定積分

．

定積分的分部積分法例10計(jì)算定積分

．

解先用定積分的分部積分法，再用定積分的換元法求之．令x=sint定積分的分部積分法例10計(jì)算定積分

．

解令x=sint定積分的分部積分法

由例9和例10可以看出，在某些定積分的問題中，需要綜合運(yùn)用定積分的換元積分法和分部積分法．定積分的計(jì)算謝謝大家！

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第23講5.4無限區(qū)間上的積分教學(xué)要求掌握無限區(qū)間上積分的方法．無限區(qū)間上的積分

前面介紹的定積分都是可積函數(shù)在有限區(qū)間[a,b]上求積分．在概率論和其他一些問題中，經(jīng)常需要討論無限區(qū)間上的積分．因此，我們將定積分概念推廣到無限區(qū)間．這類積分稱為無限區(qū)間上的積分．無限區(qū)間上的積分定義

定義5.2設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,+

)上連續(xù)，如果(a<b)存在，則稱此極限值為

f(x)在

[a,+

)上的反常積分，記作

．(23.1)此時(shí)也稱反常積分

收斂．如果上述極限不存在，就稱反常積分

發(fā)散．

無限區(qū)間上的積分

類似地，函數(shù)

f(x)在(-

,b]和(-

,+

)上的反常積分為：

，(23.2)

，(23.3)其中

c∈(-

,+

)．無限區(qū)間上的積分

類似地，函數(shù)

f(x)在(-

,b]和(-

,+

)上的廣義積分為：

，(23.2)

，(23.3)其中

c∈(-

,+

)．

在(23.2)式中，如果等式右端極限存在，則稱反常積分

收斂；否則，稱反常積分

發(fā)散．無限區(qū)間上的積分

類似地，函數(shù)

f(x)在(-

,b]和(-

,+

)上的廣義積分為：

，(23.2)

，(23.3)其中

c∈(-

,+

)．

在(23.3)式中，如果等式右端的兩個(gè)極限存在，則反常積分

收斂；否則，稱反常積分

發(fā)散．無限區(qū)間上的積分例1計(jì)算無窮限積分

．無限區(qū)間上的積分例1計(jì)算無窮限積分

．解

利用公式(23.5)，有無限區(qū)間上的積分例2計(jì)算無窮限積分

．無限區(qū)間上的積分例2計(jì)算無窮限積分

．解

用公式(23.6)，有無限區(qū)間上的積分例2計(jì)算無窮限積分

．解

用公式(23.6)，有因?yàn)樗詿o限區(qū)間上的積分謝謝大家！

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第24講定積分的應(yīng)用教學(xué)要求

會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積．平面圖形的面積

由教材

5.1節(jié)例1知道，曲線

y

=f(x)(f(x)

0)，x軸和直線

x=a，x=b所圍成的曲邊梯形的面積為：

．平面圖形的面積

設(shè)函數(shù)

f(x)，g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且在[a,b]上有0

g(x)

f(x)，x

[a,b]，

則曲線

f(x)，g(x)與直線

x=a，x=b圍成的圖形面積為(如圖)：

，即

．

平面圖形的面積當(dāng)曲線

f(x)，g(x)不全在

x軸上方的情形(如圖)．如果將

x軸向下平移，使兩條曲線都位于新

x軸上方，在新坐標(biāo)系中，曲線方程為

y=f(x)+c和

y=g(x)+c．所以，該圖形的面積平面圖形的面積

特別地，當(dāng)

f(x)

0(x

[a,b])時(shí)，由曲線

y=f(x)，x軸與直線

x=a，x=b所圍成圖形的面積(如圖)為：

．平面圖形的面積

一般地，由曲線

y=f(x)，y=g(x)與直線

x=a，x=b圍成圖形的面積為：

．

(24.1)

平面圖形的面積

類似地，由連續(xù)曲線

x=φ(y)，x

=ψ(y)(φ(y)

ψ(y))與直線

y=c，y=d(c<d)圍成圖形的面積(如圖)為：

．

(24.2)

平面圖形的面積例1求曲線

y=ex,y=e-x與直線

x=1所圍成的平面圖形面積．平面圖形的面積解

作曲線

y=ex,

y=e-x與直線

x=1的圖形，