2023年高考數(shù)學一輪復習（學生版）：應用建模1 函數(shù)模型及其應用

應用建模1函數(shù)模型及其應用

（對應答案分冊第5萬頁）

...................國基礎(chǔ)知識，夯實基礎(chǔ)鞏固提升

??知識清單》?

L幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型RM=ax+b（a,b為常數(shù)存0）

反比例函數(shù)模型“送理和為常數(shù)且總0）

二次函數(shù)曜一日/'”?*b（可仇c為常數(shù)，?/0）

指數(shù)函數(shù)模型斗物。為常數(shù)1/04人且aW1）

對數(shù)函數(shù)模型&）=b\.o^x+c（a,b,c為常數(shù)。關(guān)0,aX）且a￥1）

（續(xù)表）

函數(shù)模型函數(shù)解析式

累函數(shù)模型十）="出幼〃為常數(shù)所0,〃#0）

“對勾”函嵋型/W"T（a的）

⑶拓展知識］

對勾函數(shù)/（%）=峙々刈在（-吃3］和

h/i十叼上單調(diào)遞墻在［3,0）和（0,而］上單

調(diào)遞減.

當xX）時,（*）在十喃時取最小值，最小

值為2亞當Y<0時,小，）在尸75時取最大

值，最大值為-2?,

2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)y=&片10gM片父

頡（皿）（例（蘇0）

在（0/8）上

單調(diào)遞單調(diào)遞單調(diào)遞

的增減性

熠長速度越來越越來越相對平穩(wěn)

隨1?的增隨I的增

大,逐漸表大,逐漸表

圖象的變化1"值變化而各為不同

現(xiàn)為與現(xiàn)為與V

軸平行軸平行

鮑牌存在一個照，當時，有iog.*a

特別提醒

⑴當描述增長速度變化很快時,選用指

數(shù)函數(shù)模型.

⑵當要求不斷增長，但又不會增長過快，也不

會增長到很大時,選用對數(shù)函數(shù)模型.

（3）幕函數(shù)模型可以描述增長幅度

不同的變化，當〃值較?。?附增長較慢；

當〃值較大（〃）1）時，增長較快.

《《夯實基礎(chǔ)以

【概念辨析】

I.判斷下面結(jié)論是否正確.（對的打“J”,錯的打“X”）

⑴某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還

能獲利.（）

⑵函數(shù)y玄的函數(shù)值比尸片的函數(shù)值大.（）

⑶不存在心使a"。<XQ<log5.（）

⑷“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)尸油乜傳0力過好1）增長速度越來越快的形象比喻.（）

【對接教材】

在某個物理實驗中，測得變量》和變量y的幾組數(shù)據(jù)如下表：

x0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

則對最適合的擬合函數(shù)是（）.

K.y=2xB.產(chǎn)0-1

C.y=2x-2D.y=log2x

【易錯自糾】

某商品價格前兩年每年遞增20%后兩年每年遞減20$,則四年后的價格與原來價格匕匕較，變化的

情況是（）.

A.減少7.84%

B.增加7.84%

C.減少9.5%

D.不增不減

;淀區(qū)月名某公司為了發(fā)展業(yè)務(wù)制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，當銷售額

x為8萬元時，獎勵1萬元.當銷售額x為64萬元時，獎勵4萬元.若公司擬定的獎勵模型為

y=a\^b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬元獎勵，則他的銷售額應為萬元.

...................因考點考向，精研考向錘煉技能

一點:?用函數(shù)圖象刻畫變化過程【題組過關(guān)】

1.（2022?湖北武漢模擬在用計算機處理灰度圖象（俗稱的黑白照片）時，將灰度分為256個等級,

最暗的黑色用0表示,最亮的白色用255表示,中間的灰度根據(jù)其明暗漸變程度用0至255之間

對應的數(shù)表示，這樣可以給圖象上的每個像素賦予一個“灰度值”.在處理有些較黑的圖象時，為

了增強較黑部分的對比度，可對圖象上每個像素的灰度值進行轉(zhuǎn)換擴展低灰度級，壓縮高灰度級,

實現(xiàn)如圖所示的效果，則下列可以實現(xiàn)該功能的一種函數(shù)圖象是（）.

汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車

在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）.

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中,甲車消耗汽油量最多

C.甲車以80千米/時的速度行駛1小時，消耗10升汽油

D.某城市機動車最高限速80千米/時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

點撥判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

⑴構(gòu)建函數(shù)模型法:先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象.

⑵驗證法:根據(jù)實際問題中變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢,驗證是否吻合，從中

徘除不符合實際情況的答案.

（考范軟已知函數(shù)模型的實際應用問題【典例遷移】

倒。■天津一橋）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,

成本增加10萬元.又知總收入/是產(chǎn)品單位數(shù)。的函數(shù)用。HO0號。，則總利潤的最大值是

萬元.

已知函數(shù)模型，解決實際問題的要點

⑴認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

⑵根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.

【追蹤訓練1】⑴（2022?重慶模某工廠產(chǎn)生的廢氣需經(jīng)過過濾后排放，排放時污染物的

含量不超過臨已知在過濾過程中，廢氣中的污染物數(shù)量H單位:毫克/升）與過濾時間4單位:小

時）之間的函數(shù)關(guān)系為P=P.e均為整的常數(shù)）.如果在前5小時的過濾過程中污染物被過濾

淖了90%那么排放前至少還需要過濾（）小時.

15￡

A.1C.1D.5

⑵、?北京模我所謂聲強，是指聲音在傳播途徑上每1平方米面積上的聲能流密度，用/

表示人類能聽到的聲強范囿其中能聽見的1000Hz聲音的聲強（約10”W/m）為標準聲強，記作

/o,聲強/與標準聲強4之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作/“即/Hg5聲強級/，的單位名

稱為貝（爾），符號為B,取貝（爾）的十分之T乍為響度的常用單位，稱為分貝（爾），簡稱分貝（dB）.《三

國演義》中有張飛喝斷當陽橋的故事，假設(shè)張飛大喝一聲的響度為140dB,一個士兵大喝一聲的

響度為90dB,如果一群士兵同時大喝一聲相當于張飛大喝一聲的響度用B么這群士兵的人數(shù)為

（）.

A.1萬B.2萬

C.5萬D.10萬

各點⑥構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題【典例遷移】

題型1構(gòu)建二次函數(shù)模型

候村利用當?shù)貎?yōu)勢引進經(jīng)濟效益好、養(yǎng)殖密度高的“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù).研究表

明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度《單位:千克/年）是養(yǎng)殖

密度M單位:尾/立方米）的連續(xù)函數(shù).當x不超過4尾/立方米時,『的值為2千克/年;當4a《20

時,/是V的一次函數(shù)當x達到20尾立方米時，因缺氧等原因小的值為0千克,年

⑴當00^20時,求函數(shù)/關(guān)于*的函數(shù)解析式；

⑵當養(yǎng)殖密度x為多大時,魚的年生長量（單位:千克圖方米）可以達到最大?并求出最大值.

題型2構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

創(chuàng)?■湖北1牛頓冷卻定律描述一個事物在常溫(Z)環(huán)境下的溫度變化:如果

t

物體的初始溫度為兀那么經(jīng)過一定時間，后的溫度7滿足T-L=^f?%名),其中7是環(huán)境溫

度/稱為半衰期.現(xiàn)有一杯80°。的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)在

55°C.經(jīng)測量，室溫為25°C,茶水降至75c大約用時1分鐘,那么為了獲得最佳飲用口感，從泡

茶開始大約需要等待().(參考數(shù)據(jù)1g3*0.477Llg5^0.6990,1g11^1.0414)

A.4分鐘B.5分鐘

C.6分鐘D.7分鐘

題型3構(gòu)建函數(shù)(m，'())模型

團副⑴某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利

潤M萬元）與營運年數(shù)x的關(guān)系如圖標（拋物線的一段），則為使其營運年平均利潤最大,每輛客

車營運年數(shù)為

（2）

某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60'（如圖）,考慮防洪堤堅

固性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面要求面積為9百平方米,且高度不低于心米.記防洪堤橫斷

面的腰長為、米，外周長偶形的上底線段以'與兩腰長的和）為y米.要使防洪堤的上面與兩側(cè)面

的水泥用料最?。礄M斷面的外周長最?。篮榈痰难L產(chǎn)米

題型4構(gòu)建分段函數(shù)模型

餃］?已知某公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為10萬美元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬

美元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機萬萬只并全部銷售完，每萬只的銷雪收入為用萬）萬美元，且

400-6x,0<x<40,

740040000、.

---x>40n.

⑴寫出年利潤取萬美元）關(guān)于年產(chǎn)量M萬只）的函數(shù)解析式；

（2）當年產(chǎn)量為多少萬只時，該公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大?并求出最大年

利潤.

構(gòu)建數(shù)學模型解決實際問題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系,將文字

語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，建立適當?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制.如實際

問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票

，介與路程之間的關(guān)系,應構(gòu)建分段函數(shù)模型求解;當涉及增長率等有關(guān)問題時，應構(gòu)建指數(shù)函數(shù)模

型求解.

【追蹤訓練2】（2022?重慶模拉因為國家重點扶持節(jié)能環(huán)保產(chǎn)業(yè)，所以某種節(jié)能產(chǎn)品的市

為銷售回暖.某經(jīng)銷商銷售這種產(chǎn)品，年初與生產(chǎn)廠家簽訂進貨合同，約定一年內(nèi)進價為0.1萬元

，怡，一年后,實際月銷售量A臺）與月份才之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系（4月到12月近似符合二

次函數(shù)關(guān)系）.

⑴寫出關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式；

⑵如果每臺售價0.15萬元,試求一年中利潤最低的月份，并表示出最彳捌潤.

E3方法技巧，方法探究分類突破

演變破o函數(shù)實際應用中的數(shù)學建模問題

數(shù)學建模是高考中的熱點，主要考查數(shù)學建模能力及分析、解決問題的能力.數(shù)學建模是對

現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題，用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題.

0^）（2022?蘭州模擬某廠有一個容量為300噸的水塔,每天從早上六點到晚上十點

供應生活和生產(chǎn)用水，已知該廠的生活用水為每小時10噸,生產(chǎn)用水總量用噸）與時間《單位;小

時，規(guī)定早晨六點時￡力）的函數(shù)關(guān)系為人100〃