2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

二。二三年綏化市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.考試時(shí)間120分鐘

2.本試題共三道大題，28個(gè)小題

3,所有答案都必須寫在答題卡上所對應(yīng)的題號后的指定區(qū)域內(nèi)

一、單選題

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果

旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心，進(jìn)行逐

一判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項(xiàng)不符合題意；

C、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故C選項(xiàng)合題意；

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故D選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對

稱圖形的定義.

2.計(jì)算卜5|+20的結(jié)果是（）

A.-3B.7C.-4D.6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的絕對值，零指數(shù)幕進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：卜5|+2°=5+1=6,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的絕對值，零指數(shù)幕，熟練掌握求一個(gè)數(shù)的絕對值，零指數(shù)幕是解題的關(guān)

鍵.

被切去一角，則其左視圖是（

【解析】

【分析】根據(jù)左視圖的意義判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，該幾何體的左視圖為:

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的畫法，熟練掌握三視圖的空間意義是解題的關(guān)鍵.

4.納米是非常小的長度單位，lnm=0.000000001m,把0.000000001用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.IxlO_9B.C.IxlO8D.IxlO9

【答案】A

【解析】

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，一般形式為其中1<<10,〃為整數(shù).

【詳解】解：0.000000001=1x10^.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，一般形式為4X10-",其中1<|a|<10,

〃為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的。的個(gè)數(shù)所決定，確定。與〃佗值是解題的關(guān)鍵.

5.下列計(jì)算中，結(jié)果正確的是（）

A.(-pqN=p3q3B.xx^+x2-x2=x8C.>/25=±5D.（叫

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)積的乘方與轅的乘方運(yùn)算，同底數(shù)塞的乘法、合并同類項(xiàng)，算術(shù)平方根，進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：A.(-pq)3=-p3q3,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.jrd工2=214,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.4=5,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.(〃2)3=〃6,故該選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方與累的乘方運(yùn)算，同底數(shù)基的乘法、合并同類項(xiàng)，算術(shù)平方根，熟練掌握以

上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

6.將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，Zl=25°,Z2=30°,則N3的度數(shù)為()

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解.

【詳解】解：依題意，Zl+90°=Z3+45°,

???Nl=25。，

AZ3=70°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵.

7.下列命題中敘述正確的是()

A.若方差*〉則甲組數(shù)據(jù)的波動(dòng)較小

B.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離

C.三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心

C.90~100這組數(shù)據(jù)的組中值是96

D.110?120這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角度數(shù)為51。

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)C組的人數(shù)除以占比求得樣本的容量，結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖求得804XV90的人數(shù)為15,進(jìn)而根據(jù)中

位數(shù)的定義，即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)組中值為=即可判斷C選項(xiàng)，根據(jù)110?120的占比乘

以360。，即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】解：A、該組數(shù)據(jù)的樣本容量是12?24%=50,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B、80wxv90的人數(shù)為：50-4-12-12-7=15,4+15<25,4+15+12>25,

該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在90~100這一組，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

C、90?100這組數(shù)據(jù)的組中值是95,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

7

D、110?120這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角度數(shù)為前X360。=50.4。，故該選項(xiàng)不正確，不符合

題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了樣本的容量，條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)，中位數(shù)的定義，求扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓

心角的度數(shù)，求頻數(shù)分布直方圖組中值，從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息是解題的關(guān)鍵.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在），軸的正半軸上，AC平行于“軸，點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)都是3,BC=2,

點(diǎn)。在AC上，且其橫坐標(biāo)為1,若反比例函數(shù)y=&（x>0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)3,D,則2的值是（）

x

3

A.1B.2C.3D.

2

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)8（3,根），則。（3,加+2）,。（1,機(jī)+2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，列出等式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)3（3,機(jī)），

???點(diǎn)從C的橫坐標(biāo)都是3,BC=2,AC平行于X軸，點(diǎn)。在AC上，且其橫坐標(biāo)為1,

???。(3,m+2),￡)。，m+2),

/.3m=/n+2,

解得旭=1,

???B（3,l）,

，左=3x1=3,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)解析式的確定，熟練掌握A的意義，反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.某運(yùn)輸公司，運(yùn)送一批貨物，甲車每天運(yùn)送貨物總量的在甲車運(yùn)送1天貨物后，公司增派乙車運(yùn)

4

送貨物，兩車又共同運(yùn)送貨物3天，運(yùn)完全部貨物.求乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨(dú)運(yùn)送

這批貨物需％天，由題意列方程，正確的是（）

11\11「

C-+-■+-i+-

42IXD.4

/14

【答窠】B

【解析】

【分析】設(shè)乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需x天，由題意列出分式方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需x天，由題意列方程

1If11}.

4214X）

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，在菱形A8CD中，ZA=60°,A3=4,動(dòng)點(diǎn)、M,N同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)M以每秒2個(gè)單

位長度沿折線A-3-C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長度沿線段AZ）向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，上4MN的面積為丁個(gè)平方單位，則下列正確

表示j與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

BC

AD

±/\1A1/I，

C.2cl■…/jD.2^|

orj~r?0|2-4~^X

q-~T[~~

【答案】A

【解析】

【分析】連接30,過點(diǎn)8作郎_LAD于點(diǎn)E，根據(jù)已知條件得出△ABQ是等邊三角形，進(jìn)而證明

二AMNsABE得出N/VW=NA￡B=90。，當(dāng)0v，v4時(shí)，M在A8上，當(dāng)4K，v8時(shí)，M在3c

上，根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)關(guān)系式，

【詳解】解：如圖所示，連接30,過點(diǎn)3作的_L4O于點(diǎn)七

當(dāng)0v，v4時(shí)，”在AB上，

B______________c

ANED

菱形ABC。中，NA=60。，AB=4，

???"="＞，則△ABD是等邊三角形，

AAE=ED=^AD=2,BE=6AE=?6

*：AM=2x,AN=x,

.AMAB

??------=—=2，又NA=NA

ANAE

.??LAMN—ABE

：.ZANM=ZAEB=90°

,,MN=\lAM2—AN2=y/3x‘

?,?y——VAVx.-vV—-......x2

22

當(dāng)4wrv8時(shí)，M在8c上,

???y=-ANxBE=-xx2y/3=y/3x,

22

綜上所述，0vrv4時(shí)的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)4<，v8時(shí)，函數(shù)圖象是直線的一部

分，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾

股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在正方形A5c。中，點(diǎn)E為邊CO的中點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)B作BPLAE于點(diǎn)F,連接

交AE于點(diǎn)G,FH平分NBFG交BD干點(diǎn)H.則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）

①4序=8~4E；②S△慚：5.尸=2:3；③當(dāng)時(shí)，BD2-BDHD=a2

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【解析】

【分析】①根據(jù)題意可得NAB產(chǎn)=90。一/84尸=/。4后，則cosNABF=cosNE4￡>,即

—=—，又A8=4),即可判斷①；②設(shè)正方形的邊長為。，根據(jù)勾股定理求得A/，證明

ABAE

-GABs-GED,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GE,進(jìn)而求得FG,即可判斷②；過點(diǎn)”分別作BRAE

的垂線，垂足分別為M,N,根據(jù)②的結(jié)論求得8”，勾股定理求得80,即可判斷③.

【詳解】:四邊形ABC。是正方形，

AZM￡)=ZADE=90°,AB=AD

,:BF.LAE

???ZABF=90°-ZBAF=ZDAE

?'.cosZABF=cosZ.EAD

nitBFADr

即F=F，又AB=4），

ABAE

--AB2=BFAE^故①正確;

設(shè)正方形的邊長為。，

???點(diǎn)E為邊。。的中點(diǎn),

??,DE*

：.tanZ.ABF=tansZ.EAD=—,

2

在RtAABE中，AB=>jAF2+BF2=45AF=a^

.x/5

??AF=——a

5

在RtZsADE中，AE=y/AD2+DE2=—

2

?口匚AhA口下小30

??Er=AE-AF=——a------a=a，

2510

AB//DE

:…GABS2ED

AGABc

——=——=2

GEDE

???GE=-AE=—

36

?3ACF岳石石26

??rG=AE-AF-GE=——a---a-------a=------a

25615

.竺=M=3

?'FG2y/52

-----a

15

??S^BGF?SDBAF=2:3,故②正確；

,:AB=a,

BD2=AB2+AD2=2a2,

如圖所示，過點(diǎn)”分別作的垂線，垂足分別為",N,

又???BE_LAE,

???四邊形RW/N是矩形，

?:尸”是N8/G的角平分線,

:?HM=HN,

???四邊形RW/N是正方形，

???FN=HM=HN

巫3苑

BF=2AF

515

.MHFG1

設(shè)加，=力，則BF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b

在中，BHVBM=MH?=4idb，

..2V5

?BF=----a

5

.2辨..

??----a=4b

5

解得：b=—a

10

BH=J10xci=——,Q，

102

ABD2-BDHD=2a2-42ax—a=a2^故④正確.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相彳以三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性

質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

13.因式分解：x2+xy-xz-yz=.

【答案】(x+y)(x—z)

【解析】

【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法，因式分解即可求解.

【詳解】解：x2+xy-xz-yz=x(x+y)-z(x+^)=(x+y)(x-z),

故答案為：(x+y)(x-z).

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

14.若式子35有意義，則x的取值范圍是.

X

【答案】xN-5且xw0##x/0且尢之一5

【解析】

【分析】根據(jù)分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，列出不等式計(jì)算即可.

【詳解】??,式子有意義，

X

冗+520且xwO,

，-5且XHO,

故答案為：xN-5且xwO.

【點(diǎn)睛】本題考查了分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件

是解題的關(guān)鍵.

15.在4張完全相同的卡片上，分別標(biāo)出1，2，3,4,從中隨機(jī)抽取1張后，放回再混合在一起.再隨

機(jī)抽取一張，那么第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的概率是.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根據(jù)題意列表法求概率即可求解.

【詳解】解：列表如下，

1234

1m111

1-=1?

1234

2r2?221

2-=2-=1—.

12342

3~33,3

3一=3'-=1

1234

4,42441

4—=4-=2；-=1

1234

共有16種等可能結(jié)果，符合題意的有8種，

Q1

???第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的概率是三二一,

162

故答案為；y.

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法求概率，整除，熟練掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵.

11

16.已知一元二次方程/+%=51+6的兩根為王與々，則一+一的值為.

百W

【答案】—

3

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出玉+W=4,及々二一6,將分式通分，代入即可求解.

【詳解】解：???一元二次方程f+x=5工+6,即f_4x_6=0,的兩根為花與演，

:.%+s=4,XyX2=-6,

11_+x2_4_2

M巧為巧-63，

故答案為：一^.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(x+2x—1?x—4

17.化簡：2c

\X2-2Xx2-4x4-4)X2-2X

【答案】------##--------

x-2—2+x

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可求解.

'x+2x-\工一4

【詳解】解:

,x2-2xX2-4X+4x2-2x

(x+2)(x-2)-x(x-l)x(x-2)

x(x-2)2x-4

_x2-4-x2+x4-2)

J(X-2)2x-4

1

x-2

故答案為：-.

x-2

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，。0的半徑為2cm,48為。0的弦，點(diǎn)。為A8上的一點(diǎn)，將4B沿弦A3翻折，使點(diǎn)C

與圓心。重合，則陰影部分的面積為.(結(jié)果保留乃與根號)

【解析】

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出J10C是等邊三角形，則NAOC=60。，OD=CD=1f根據(jù)陰影部分面積

S電形AOC-S,A8即可求解?

【詳解】解：如圖所示，連接OAOC,設(shè)4昆CO交于點(diǎn)。

丁將AB沿弦A3翻折，使點(diǎn)C與圓心。重合,

AAC=AO,OC±AB

又OA=OC

:.OA=OC=AC?

:.4。。是等邊三角形，

AZAOC=60°,OD=CD=1,

：?AD=y/ACf-CD2=A/3，

???陰影部分面積=s扇形A8—S.A"=《兀x2?—〈x2xQ=,7t-6(cm2)

JOUZ37

故答案為：（，兀一e）

cm2.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，JRC與八鉆'。'的相似比為1：2,點(diǎn)A是位似中心，已知點(diǎn)A（2,0）,

點(diǎn)ZC=90°.則點(diǎn)。'的坐標(biāo)為.（結(jié)果用含。，Z?的式子表示）

【答案】（6-2〃,一處）

【解析】

【分析】過點(diǎn)CC分別作X軸的垂線CDC。'垂足分別為。,。'，根據(jù)題意得出AD=2A。，則

AD=a-2,CD=b,得出。'(2-為+4,0),即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)CC分別作X軸的垂線cnc'。'垂足分別為

???與△A&C的相似比為1：2,點(diǎn)A是位似中心，42,0)

???Aiy=2AD

???C(a,b),

...AD=a-2,CD=h,

???A,D=2a-^C,D,=2b,

.??。(2-2〃+4,0)

:.C'(6—2〃,—2b)

故答案為：(6-2a-2b).

【點(diǎn)睛】本題考查了求位似圖形的坐標(biāo)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，~43C是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高8。上的動(dòng)點(diǎn).連接CE，將CE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60°得至iJCV.連接AF，EF,DF，則aCDF周長的最小值是.

【答案】3+3百##36+3

【解析】

【分析】根據(jù)題意，證明乙CB&aCA/，進(jìn)而得出尸點(diǎn)在射線A尸上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于A/7的對稱點(diǎn)

C，連接DC',設(shè)CC交Ab于點(diǎn)。，則/AOC=90。，則當(dāng)O,￡C‘三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)C+FD取得最

小值，即/C+ED=/'C'+F7）=cr>',進(jìn)而求得cz>,即可求解.

【詳解】解：YE為高3。上的動(dòng)點(diǎn).

:.ZCBE=-ZABC=3Q°

2

???將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.J3C是邊長為6的等邊三角形,

??.CE=CF,/ECF=ZBCA=60°,BC=AC

：?&CBEACAF

???ZCAF=ZCBE=30°,

???尸點(diǎn)在射線A尸上運(yùn)動(dòng)，

如圖所示，

作點(diǎn)C關(guān)于4尸的對稱點(diǎn)C',連接。C,設(shè)CC交4尸于點(diǎn)0,貝iJ/AOC=90。

在RLAOC中，NC4O=30。，則。O=1AC=3,

則當(dāng)D,F,C'三點(diǎn)共線時(shí)，/C+ED取得最小值，即產(chǎn)C+ED=9C+FD=S

VCC=AC=6,ZACO=ZCCD,CO=CD

A^ACO^^CCD

???ZCDC=ZAOC=90°

在ACDC中，CD=y/cC2-CD2=5/62-32=3>/3>

:—CDF周長的最小值為CO+尸C+CO=CO+OC'=3+36，

故答窠為：3+35/3?

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定,

勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.在求1+2+3+……+100的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)：1+100=101,2+99=101??…，從而得到

1+2+3+.--+100=101x50=5050.按此方法可解決下面問題.圖（1）有1個(gè)三角形，記作卬=1；

分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2）,有5個(gè)三角形，記作。2=5；再分別連接圖（2）中間的小三

角形三邊中點(diǎn)得到圖（3）,有9個(gè)三角形，記作q=9；按此方法繼續(xù)下去，則4+%+6+

【解析】

【分析】根據(jù)題意得出4=1+4（〃-1）二4〃-3,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：依題意，q=1,q=5,%=9「-?！?1+4（〃-1）=4〃-3,

1+4〃-3/_\_2

；?q+生+/++〃〃==---------n=\2n-\)n=2〃~-n,

故答案為：2n2—n-

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

22.已知等腰NA=120。，AB=2.現(xiàn)將JR。以點(diǎn)3為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)45。，得到八4'8。'，

延長CW交直線3C于點(diǎn)O.則AO的長度為.

【答案】4+26或4-26

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先求得BC=2JJ，當(dāng)-ABC以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，過點(diǎn)B作

BE工A'B交A'D于點(diǎn)、E，當(dāng)"WC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，過點(diǎn)。作"L8C'交于

點(diǎn)尸，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作/VI/JL3C于點(diǎn)M,

???ZABC=ZACB=30°,

AAM=-AB=\,BM=CM=dAB)-AM2=6,

:.BC=2百,

如圖所示，當(dāng)以5C以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,過點(diǎn)8作8E_LAB交A'O于點(diǎn)E，

■:ZMC=120°,

???NOA'B=60。，ZAfEB=30°,

在RtaABE中，AE=2A3=4，BE=JA?_A?=2G，

???等腰加C,ZBAC=120°,AB=2.

???ZABC=ZACB=30°，

???以5。以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，

???ZABAf=45°,

???ADBE=180°-90°-45°-30°=15°,ZABD=180°-45°-30°=105°

▲ABD中，Z￡>=180°-ADAB-^ABD=180°—60°—105。=15。，

???/n=/F.RD,

:.EB=ED=2百，

???AD=AE+OE=4+2G，

如圖所示，當(dāng)-ABC以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，過點(diǎn)。作。F_L5C'交3C于點(diǎn)尸,

A

在△3F￡>中，NBDF=NCBC'=45。，

:.DF=BF

在Rt-OCR中，NO=30。

3

???BC=BF+43BF=2y/3

???DF=BF=3-6

:.DC=2DF=6-2y/3

???A,D=C,D-A,C,=6-2>/3-2=4-2y/3

綜上所述，A力的長度為4-2右或4+26，

故答案為：4—2力或4+26.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分

類討論是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

23.已知：點(diǎn)尸是。。外一點(diǎn).

（1）尺規(guī)作圖：如圖，過點(diǎn)P作出0。的兩條切線尸E，PF，切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)尸.（保留作圖痕

跡，不要求寫作法和證明）

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)。在。0上（點(diǎn)。不與E,/兩點(diǎn)重合），且/EPb=300.求NEDF的

度數(shù).

【答案】（1）見解析（2）NED/=75。或105。

【解析】

【分析】（1）①連接PO,分別以點(diǎn)R。為圓心，大于，尸。的長為半徑畫圓，兩圓交于點(diǎn)兩點(diǎn)，

2

作直線MN交。尸于點(diǎn)A,②以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫圓，與00交于七?兩點(diǎn)，作直線

PE,PF,

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出/PR?=/PR7=90。，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出/比尸=150。，進(jìn)而根據(jù)圓周

角定理以及圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可求解.

【小問1詳解】

解：幻圖所示,

①連接P。，分別以點(diǎn)尸，。為圓心，大于Lpo的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn)，作直線MN交

2

0P于點(diǎn)A，

②以點(diǎn)A為圓心，Q4為半徑畫圓，與0O交于￡尸兩點(diǎn)，作直線PEP產(chǎn)，

則直線PE,PF即為所求；

【小問2詳解】

如圖所示，點(diǎn)。在00上（點(diǎn)。不與E，尸兩點(diǎn)重合），且NEPr=30。，

?.?PE,尸產(chǎn)是OO的切線，

:?ZPE0=/PF0=^,

???Z.EOF=360°-90°-90°-30°=15（T,

當(dāng)點(diǎn)。在優(yōu)弧用'上時(shí)，NEDF=；NEOF=75。,

當(dāng)點(diǎn)。在劣弧所上時(shí)，NEDF=180°-75°=105°,

AZ￡DF=75°^105°.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，圓周角定

理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，直線MN和E尸為河的兩岸，AMN〃EF,為了測量河兩岸之間的距離，某同學(xué)在河岸EE

的B點(diǎn)測得NCBE=30。，從8點(diǎn)沿河岸莊的方向走40米到達(dá)。點(diǎn)，測得NCDE=45°.

MCN

（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號）

（2）若從。點(diǎn)繼續(xù)沿OE的方向走（12⑺+12）米到達(dá)夕點(diǎn).求tanNCPE的值.

【答案】（1）河兩岸之間的距離是2（）、公+20米

（2）tanZCPE=-

2

【解析】

【分析】（1）過點(diǎn)。作CM_L所于點(diǎn)M,設(shè)CW=a米，在Rt4MCB中，MB=&i，在

RtAMC。中，MD=MC=a,根據(jù)加＞=40,建立方程，解方程即可求解；

（2）根據(jù)題意求得MP的長，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖所示,

MCN

EMDBF

過點(diǎn)C作CM_LE尸于點(diǎn)設(shè)C"=。米，

■:ZCBE=30°

???tanNCBM=—=tan30°=—，

PB3

:?MB=限，

CM

在RtAA/CD中，tanZ.CDM=-----=tan450=1,

MD

:.MD=MC=a

BD=MB-MD=>/3a-a=40

解得：a=20G+20

答：河兩岸之間的距離是206+20米;

【小問2詳解】

解：如圖所示，

依題意，尸5=BO+OP=40+(12j^+12)=52+12jJ,

AMP=MB-PB=(20V3+20)>/3-(524-12V3)=8+8>/3,

,十八cnI#CM20\/3+205

在RtACA/P中，tanNCPM=---=------,

MP8+8百2

:.tanZ.CPE=—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

25.某校組織師生參加夏令營活動(dòng)，現(xiàn)準(zhǔn)務(wù)租用A、8兩型客車(每種型號的客車至少租用一輛).A型

車每輛租金500元，8型車每輛租金600元.若5輛A型和2輛B型車坐滿后共載客310人；3輛A型和

4輛8型車坐滿后共載客340人.

(1)每輛A型車、B型車坐滿后各載客多少人?

(2)若該校計(jì)劃租用A型和8型兩種客車共10輛，總租金不高于5500元，并將全校420人載至目的

地.該校有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？

(3)在這次活動(dòng)中，學(xué)校除租用A、8兩型客車外，又派出甲、乙兩輛器材運(yùn)輸車.已知從學(xué)校到夏令

營目的地的路程為300千米，甲車從學(xué)校出發(fā)0.5小時(shí)后，乙車才從學(xué)校出發(fā)，卻比甲車早0.5小時(shí)到達(dá)

目的地.下圖是兩車離開學(xué)校的路程S（千米）與甲車行駛的時(shí)間，（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象

信息，求甲乙兩車第一次相遇后，，為何值時(shí)兩車相距25千米.

【答案】（1）每輛A型車、3型車坐滿后各載客40人、55人

（2）共有4種租車方案，租8輛A型車，2輛3型車最省錢

（3）在甲乙兩車第一次相遇后，當(dāng)，=3小時(shí)或〃小時(shí)時(shí)，兩車相距25千米

3

【解析】

【分析】（1）設(shè)每輛A型車、8型車坐滿后各載客X人、y人,由題意列出二元一次方程組，解方程組即

可求解：

（2）設(shè)租用A型車機(jī)輛，則租用8型車（10一m）輛，由題意列出一元一次不等式組，解不等式組，求整

數(shù)解盯可得出m的值，設(shè)總租金為w元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解：

（3）設(shè)s甲=k，s乙=的+力，由題意可知，甲車的函數(shù)圖像經(jīng)過（4,300）；乙車的函數(shù)圖像經(jīng)過

（0.5,0）,（3.5,300）兩點(diǎn).求出函數(shù)解析式，進(jìn)而即可求解.

【小問1詳解】

解：設(shè)每輛A型車、8型車坐滿后各載客X人、y人，由題意得

5x+2y=310

3x+4y=340

（x=40

解得，“

y=55

答：每輛A型車、5型車坐滿后各載客40人、55人?

【小問2詳解】

設(shè)租用A型車加輛，則租用B型車（10一加）輛，由題意得

500//Z+600(10-w)<55002

40.4-55(10-4420解得:5《院叼

用取正整數(shù),

m=5?6,7,8

二.共有4種租車方案

設(shè)總租金為卬元，則卬=500w+600(10-w)=-100m+6000

-100<0

?二卬隨著用的增大而減小

，根=8時(shí)，卬最小

，租8輛A型車，2輛8型車最省錢?

【小問3詳解】

設(shè)s甲=kt,s乙=k1+b.

由題意可知，甲車的函數(shù)圖象經(jīng)過(4,300)；乙車的函數(shù)圖象經(jīng)過(0.5,0),(3.5,300)兩點(diǎn).

.?.5?甲=751,=100/-50

s乙一即二25,HP100/-50-75/=25

解得，=3

或300—75,=25

解得

3

所以，在甲乙兩車第一次相遇后，當(dāng)￡=3小時(shí)或1■小時(shí)時(shí)，兩車相距25千米.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等

量關(guān)系，列出方程組，不等式組，以及函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

26.已知：四邊形A5CQ為矩形，AB=4,4)=3,點(diǎn)尸是延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)/不與點(diǎn)C

重合).連接AF交CO于點(diǎn)G.

(1)如圖一，當(dāng)點(diǎn)G為。。的中點(diǎn)時(shí)，求證：AAPG二△FCG.

(2)如圖二，過點(diǎn)C作CE_LA尸，垂足為E.連接BE,設(shè)=CE=y.求V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式.

(3)如圖三，在(2)的條件下，過點(diǎn)B作BMLBE，交E4的延長線于點(diǎn)當(dāng)。尸=1時(shí)，求線段

BM的長.

2

4x-12(4X-12)VX+16)

【答案】(I)見解析(2)y=下=■(或y=

+16尸X2+16

⑶二TL

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出A￡>〃8尸，則4>=NDB，根據(jù)題意得出DG=CG,即可證明

△ADG名△bCG(ASA)；

在二中，222證明△。所人鉆尸，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

(2)RtA8FAF=ylAB+BF=Vx+16?6

可求解；

(3)過點(diǎn)、E作EN1BF于點(diǎn)N,得出△ABF,△8F為等腰直角三角形，在Rt^BNE中，勾股定理

求得的，證明△B4Afs/\8CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解?.

【小問1詳解】

證明：???四邊形A8CO為矩形，

???AD//BF，

:.“=4DCF,

?；G為CD中點(diǎn),

:.DG=CG,

在△ADG和中

ND=NGCF

<DG=CG,

/AGD=4FGC

???AADG^AFCG(ASA)；

【小問2詳解】

???四邊形ABC。為矩形，

:.ZABC=90°,

?：CE±AF,

???ZCEF=90°=ZABC,

???/F=NF，

???/\CEFs/\ABF,

.CECF

??瓦=壽’

VAB=4.BF=x,

???在Rt_AB尸中，AF=yjAB2+BF2=Vx2+16?

,:CE—y,

y_x-3

?.丁7771r

412(4元-12心+16

(或y）；

+16X2+16

【小問3詳解】

過點(diǎn)E作EN上BF于點(diǎn)N,

???四邊形ABC。為矩形，且A￡>=3,

AD=BC=3，

AB=4,CF=1,

???AB=BF,

:.△松尸為等腰直角三角形，

??.NCFE=NBAF=45。,

-CEIAF,

???△CEF為等腰直角三角形，

???N￡CF=45。，

■:硒人CF,

:.EN平分CF,

：.CN=NF=NE=-

2

在中,

BE2=BN2+EN2^

,1,fi￡=jHHU=

???NEB=NBA/7=45。，

???ZBAM=NBCE=135。,

?:BM±BE，

AZA/fiA+ZABE=90°,

?：ZABE+ZEBC=90°,

:,ZMBA=/EBC,

???ABAMS^BCE,

.BMBA4

:.----=----=一，

BEBC3

BM_4

???南―w.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，列函數(shù)關(guān)系式,

勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，MN為。。的直徑，且MN=15,MC與NO為圓內(nèi)的一組平行弦，弦A8交于點(diǎn)

，.點(diǎn)A在的c上，點(diǎn)B在州c上，NOND+NAHM=時(shí).

B

(1)求證：MHCH=AHBH.

(2)求證：AC=BC-

（3）在。0中，沿弦ND所在的直線作劣弧NO的軸對稱圖形，使其交直徑MN于點(diǎn)G.若

3

sinNCMN=—，求NG的長.

【答案】（1）見解析（2）見解析

⑶可

5

【解析】

【分析】（1）證明即可；

（2）連接0C,交于點(diǎn)尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件證明垂直平分即可;

（3）利用對稱的性質(zhì)作輔助線，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題即可.

【小問1詳解】

/ABC和NAMC是AC所對的圓周角，

■?ABC

2AHM2cHB,

A^AMH—CBH，

AHMH

:.——=----，

CHBH

:?MHCH=AHBH.

【小問2詳解】

連接OC,交AB于點(diǎn)F,

MC與NO為一組平行弦，即：MC〃ND,

?OND?OMC,

OM=0C,

/OMC=/OCM,

/OND+ZAHM=90。,

..?OCM2AHM20cM?CHB90?,

/.Z//FC=90°，

?.OC1AB,

.1.。。是AB的垂直平分線，

??AC=BC-

【小問3詳解】

連接DM、DG,過點(diǎn)。作垂足為E，設(shè)點(diǎn)G的對稱點(diǎn)G',連接G辦、GN,

C

^******^/|^^^>^

A//

"號'、、"J。'

\?、、、、：///

、、、4，///

D

DG=DG,2G儀D?GND,

???DM=6G、，

DG^=DM，

DG=DM，

■■二。G歷是等腰三角形，

DEtMN,

?.GE=ME,

DN//CM,

CCMN2DNM,

MN為直徑,

?.ZMDN=90。,

??ZMDE+4EDN=驕,

DEtMN,

NDEN=90。,

?DNM2EDN90?,

3

/.sin?EDMsin?DNMsin?CMN一，

5

在Rt4MND中,MN=\5,

MD_3

sin?DNM

~MN~5r

?M__D_MM3

**1——,

155

MD=9,

3ME

在Rf^MED中,sin?EDM-=---,

5MD

ME_3

"~9~~5

27

ME=—,

5

2721

..NG=MN-MG=MN-2ME=\5-2?——

55

NG=—

5

故答窠為：—.

【點(diǎn)睛】本遨考查了圓綜合問題，同弧所對圓周角相等、構(gòu)建合適的輔助線是解題的關(guān)鍵；熟練掌握相

似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、熟悉銳角三角函數(shù)解決直角三角形.

28.如圖，拋物線x=o?+笈+。的圖象經(jīng)過A(—6,0),8(-2,0),C(0,6)三點(diǎn)，且一次函數(shù)

了=匕+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)兒

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式.

(2)點(diǎn)E，F(xiàn)為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以E、F、B、。為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)E在點(diǎn)口的左

側(cè).這樣的E，b兩點(diǎn)是否存在？如果存在,請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)：如果不存在，請

說明理由.

(3)將拋物線x=a^+"+c圖象向右平移8個(gè)單位長度得到拋物線力，此拋物線的圖象與x軸交于

M,N兩點(diǎn)(M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)).點(diǎn)尸是拋物線當(dāng)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方.已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

為m.過點(diǎn)P作PD_LNC于點(diǎn)D.求加為何值時(shí)，。+1尸。有最大值，最大值是多少？

2

2

【答案】(1)yt=^x+4x+6,y=3x+6

(2)滿足條件的E、尸兩點(diǎn)存在,￡,(-8,2),E2(4,-2),E3(-4,4)

(3)當(dāng)機(jī)=?時(shí)，的最大值為您也

3224

【解析】

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)①當(dāng)8c為正方形的邊長時(shí)，分別過3點(diǎn)C點(diǎn)作使E】B=E2B=BC,

CF[=CF2=