2023年浙江杭州中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2023年杭州市初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)

考生須知：

1.本試卷滿分120分，考試時(shí)間100分鐘.

2.答題前，在答題紙上寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)，并在試卷首頁(yè)的指定位置寫上姓名和座位號(hào).

3.必須在答題紙的對(duì)應(yīng)答題位置上答題，寫在其他地方無(wú)效.答題方式詳見答題紙上的說(shuō)

明.

4.如需畫圖作答，必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將圖形線條描黑.

5.考試結(jié)束后，試題卷和答題紙一并上交.

參考公式：

（b4ac-b2\

二次函數(shù)k加+云+。（"°）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式：I2/4aJ.

試題卷

一、選擇題：（本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分）

1.杭州奧體中心體育場(chǎng)又稱“大蓮花”，里面有80800個(gè)座位.數(shù)據(jù)80800用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.8.8xl04B.8.08X10，C.8.8x10sD.8.08xlO5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示方法求解即可.

【詳解】80800=8.08xlO4.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10〃的形式，其中14同＜1（）,〃為整

數(shù).解題關(guān)鍵是正確確定〃的值以及〃的值.

2.（一2）2+2?=）

A.OB.2C.4D.8

【答案】D

【解析】

【分析】先計(jì)算乘方，再計(jì)算加法即可求解.

【詳解】解：（-2）2+22=4+4=8,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)度混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

3.分解因式：4a2—1=（）

A.（加—1）（2々+1）B.（々-2）（々+2）C.（?-4）（a+l）D.（4a-l）（a+l）

【答案】A

【解析】

【分析】利用平方差公式分解即可.

［詳解］4片_I=（2〃y-1=（2〃+1）（2Q-1）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法.因式分解的方法有：提公

因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等.

4.如圖，矩形A8CO的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。.若NAQB=60。，則F=（）

BC

c6

A.7B.D.昱

22V

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出。4=。。=』4GOB=OD=-BD,AC=BZ）,推出。4=08則有等邊三

22

角形AO8,即/B4O=60。，然后運(yùn)用余切函數(shù)即可解答.

【詳解】解：:四邊形ABC。是矩形,

：.OA=OC=-AC9OB=OD=LBD,AC=BD,

22

：-OA=OB,

???405=60。，

:."403是等邊三角形，

???/班。=60。，

???ZXCB=90°-60°=30°,

VtanZACB=—=tan30°=—，故D正確.

BC3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、余切的定義等知識(shí)點(diǎn)，求出N84O=60。是解

答本題的關(guān)鍵.

5.在直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)A(孫2)先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)8.若點(diǎn)5的橫坐標(biāo)和

縱坐標(biāo)相等，則機(jī)=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)平移方式確定點(diǎn)8的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等列方程，解方程即可.

【詳解】解：,?點(diǎn)A(m,2)先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)8,

8(〃?+1,2+3),即8(加+1,5),

??點(diǎn)B的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，

團(tuán)+1=5,

利二4,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的平移，一元一次方程的應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是掌握平面直角坐標(biāo)

系內(nèi)點(diǎn)平移時(shí)坐標(biāo)的變化規(guī)律：橫坐標(biāo)右加左減，縱坐標(biāo)上加下減.

6.如圖，在。。中，半徑。AO5互相垂直，點(diǎn)C在劣弧A區(qū)上.若NABC=19。，則N84C=()

ABB

A.i1_____?i_____i?__________B.」A“」1?

-101-101

ABCCAB

C.—I------1-------1_I------------1——I--------->D.-J-----1------1------1_I----------1------------>

-I01-101

【答案】B

【解析】

【分析】先由一Ovbvl,axb=c,根據(jù)不等式性質(zhì)得出avc<0,再分別判定即可.

【詳解】解：一1<。<0,0</?<1,

a<ab<0

■:axb=c

a<c<0

A、0<b<C<\,故此選項(xiàng)不符合題意；

B、a<c<0,故此選項(xiàng)符合題意；

C、ol,故此選項(xiàng)不符合題意；

D、c<-l,故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)，不等式性質(zhì)，由一0<h<\,=c得出

avcvO是解題的關(guān)鍵.

8.設(shè)二次函數(shù)y=—機(jī)）（工一加一女）（。>0,也2是實(shí)數(shù)），則（）

A.當(dāng)&=2時(shí)，函數(shù)）'的最小值為一。B.當(dāng)4=2時(shí)，函數(shù)》的最小值為一2〃

c.當(dāng)k=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為一。D.當(dāng)左=4時(shí)，函數(shù)）的最小值為一船

【答案】A

【解析】

【分析】令》=0,則0=4（x-回（x-陽(yáng)一女），解得：x}=m,x2=m+k,從而求得拋物線對(duì)稱軸為

mM+k2m+k

直線X=---=—^—,再分別求出當(dāng)2=2或％=4時(shí)函數(shù)y的最小值即可求解.

【詳解】解：令y=o,則。=〃（工一機(jī)）（工一加一攵），

解得：*=〃，，x2=m+kt

???拋物線對(duì)稱軸為直線x=”_2m+k

22

當(dāng)Z=2時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為直線x=m+l,

把％=加+1代入y=a（x-〃z）（x-2）,得丁="?,

?：a>0

???當(dāng)4=m+1,￡=2時(shí)，y有最小值，最小值為一口.

故A正確，B錯(cuò)誤；

當(dāng)k=4時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為直線x=m+2,

把x=〃z+2代入y=a（x7祖工一團(tuán)一4）,得y=-4a,

???〃〉（）

???當(dāng)彳=帆+2,女=4時(shí)，y有最小值，最小值為-4a,

故C、D錯(cuò)誤，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對(duì)稱軸.利用拋物線的對(duì)稱性求出拋物線對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵.

9.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6）,投擲5次，分別記錄每次骰子向

上的一面出現(xiàn)的數(shù)字.根據(jù)下面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，能判斷記錄的這5個(gè)數(shù)字中一定級(jí)存出現(xiàn)數(shù)字6的是（）

A.中位數(shù)是3,眾數(shù)是2B.平均數(shù)是3,中位數(shù)是2

C.平均數(shù)是3,方差是2D.平均數(shù)是3,眾數(shù)是2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的定義，結(jié)合選項(xiàng)中設(shè)定情況，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：當(dāng)中位數(shù)是3,眾數(shù)是2時(shí)，記錄的5個(gè)數(shù)字可能為：2,2,3,4,5或2,2,3,4,6或

2,2,3,5,6,故A選項(xiàng)不合題意；

當(dāng)平均數(shù)是3,中位數(shù)是2時(shí)，5個(gè)數(shù)之和為15,記錄的5個(gè)數(shù)字可能為1,I,2,5,6或1,2,2,5,

5,故B選項(xiàng)不合題意；

當(dāng)平均數(shù)是3,方差是2時(shí)，5個(gè)數(shù)之和為15,假設(shè)6出現(xiàn)了1次，方差最小的情況下另外4個(gè)數(shù)為：1,

2,3,3,此時(shí)方差s=-x（1-3）+（2-3）+（3-3）+（3-3）+（6-3）'=2.8>2,

5L-

因此假設(shè)不成立，即一定沒有出現(xiàn)數(shù)字6,故C選項(xiàng)符合題意；

當(dāng)平均數(shù)是3,眾數(shù)是2時(shí)，5個(gè)數(shù)之和為15,2至少出現(xiàn)兩次，記錄的5個(gè)數(shù)字可能為1,2,2,4,6,

故D選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差，解題的關(guān)鍵是根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中的設(shè)定情況，列出可能出

現(xiàn)的5個(gè)數(shù)字.

10.第二十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”.如圖，在

由四個(gè)全等的直角三角形(叢DAE,XABF、4BCG、ACDH)和中間一個(gè)小正方形bGH拼成的大正

方形ABC。中，ZABF>NBAF,連接BE.設(shè)/BAF=a,/BEF=0,若正方形瓦G”與正方形

488的面積之比為1：〃,12!1。=12112/7,則〃=()

KM7<<J

Beijing

\uitif4M2K2002

A.5C.3D.2

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)8"=AE=。，上產(chǎn)=力，首先根據(jù)1@111=1@112〃得到242+2而=2//,然后表示出正方

形A8CO的面積為AB2=3Z/，正方形比G”的面積為"2=從，最后利用正方形EAG”與正方形

ABCD的面積之比為1:n求解即可.

【詳解】設(shè)3/=4E=a,EF=b,

*.*tana=tan2p,ZAFB=90°,

：?-------=—z-，整理得a2+ab=b2?

aA-bb-

2a2+2ab=2b2，

???Z4FB=90°,

2

:.AB=A/2+B/2=（a+。）2+"2=22+2ab+b2=3廿,

???正方形ABC。的面積為AB2=3b2，

???正方形EFGH的面積為EF2=b2，

???正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1:〃，

.b2_}

??----r——9

3"n

???解得〃=3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，解直角三角形，趙爽“弦圖”等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)

點(diǎn).

二、填空題：（本大題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）

11.計(jì)算：&-瓜=

【答案】一庭

【解析】

【詳解】試題解析：x/8-V2=2x/2-V2=>/2

12.如圖，點(diǎn)。,E分別在“3C的邊48,AC上，且OE〃8C，點(diǎn)尸在線段8c的延長(zhǎng)線上.若

ZAZ）E=28°,ZACF=118°,則ZA=.

【答案】90。##90度

【解析】

【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NB=NADE=28。，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】DE//BC,ZADE=2S°,

.??〃=NAOK=28。，

,?4cr=118。，

???Z4=ZACF-ZB=118°-28°=90°.

故答窠為：90°.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

13.一個(gè)僅裝有球的不透明布袋里只有6個(gè)紅球和〃個(gè)白球（僅有顏色不同）.若從中任意摸出一個(gè)球是紅

2

球的概率為則〃=.

【笈】9

【解析】

【分析】根據(jù)概率公式列分式方程，解方程即可.

【詳解】解：?,從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為I",

62

?----=一,

6+〃5

去分母，得6x5=2(6+〃)，

解得九=9,

經(jīng)檢驗(yàn)〃=9是所列分式方程的根，

??H=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查已知概率求數(shù)量、解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握概率公式.

14.如圖，六邊形A8CDEF是OO的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形A3COE尸的面積為號(hào)，AACE的面

積為$2,則卷=

【答案】2

【解析】

【分析】連接OAOCOE，首先證明出AACE是。。的內(nèi)接正三角形，然后證明出

ABA^OAC(ASA),得到S.8AC=S,"E=S0E，S—=5。在=S.℃E，進(jìn)而求解即可.

【詳解】如圖所示，連接OAOCOE，

A

六邊形ABCDEF是CO的內(nèi)接正六邊形,

???AC=AE=CE,

???AACE是O的內(nèi)接正三角形,

：4=120°,AB=BC,

???ZBAC=NBCA=g（180?！狽8）=30°,

?：NC4E=60。，

???ZO4C=ZO4E=30o,

.,.ZBAC=ZO4C=30°,

同理可得，ZBC4=ZOC4=30°,

又???AC=AC,

???C8A0AQ4C（ASA）,

?4,S,RAC=S’OAC，

由圓和正六邊形的性質(zhì)可得，sBAC=SAFE=SCDE,

由圓和正三角形的性質(zhì)可得，sOAC=S0AE=S0CE,

,S[=S.a4c+S"￡+S+SOAC+S'OAE+SOCE=2（SQC+SQM+s）=2S2,

,又=2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，正六邊形和正三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

15.在““探索一次困數(shù)），=依+匕的系數(shù)左力與圖像的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn):

A（0,2）,B（2,3）,C（3,l）.同學(xué)們畫出了經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖像，并得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)

表達(dá)式y(tǒng)=匕工+4，＞2=心工+〃2，%=&X+〃3.分別計(jì)算K+乙，&+陽(yáng)匕+用的值，其中最大的值等于

【答案】5

【解析】

【分析】分別求出三個(gè)函數(shù)解析式，然后求出K+2，&+優(yōu)，%+4進(jìn)行比較即可解答?

【詳解】解：設(shè)凹=A/+4過(guò)A（0,2）,B（2,3）,則有:

2=4k=—1<

。二L,解得：112,PPJ^!+/>!=—+2=—

3=2仁+4,1122

4=2n

同理：

k2+b2=-2+7=5,ky+by=--^+2=—

則分別計(jì)算尢+偽，佝+仇，匕+4最大值為值&+打=-2+7=5.

故答案為5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，掌握待定系數(shù)法是解答本題的關(guān)鍵.

16.如圖，在JLBC中，A3=AC,NAv90。，點(diǎn)。,皮尸分別在邊AB，BC,C4±,連接DE,EF,FD,

已知點(diǎn)8和點(diǎn)尸關(guān)于直線OE對(duì)稱.設(shè)繪=Z,若AD=DF,則冬=__________（結(jié)果用含人的代數(shù)式

ABFA

表示）.

【答案】

2-k2

【解析】

【分析】先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和已知條件證明OE〃AC,再證△友龍s^B4c,推出EC=』&-AB,

2

通過(guò)證明"推出。/二』即可求出CF

5cscEb，22?46,的值.

2

【詳解】解：??點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，

DB=DF,

AD=DF，

AD=DB.

AD=DF,

.ZA=ZDFA，

點(diǎn)5和點(diǎn)?關(guān)于直線OE對(duì)稱，

ZBDE=/FDE，

又ZBDE+NFDE=ZBDF=ZA+ZDFA,

"DE=zLDFA，

DE//AC,

..ZC=ZDEB,NDEF=/EFC,

點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線OE對(duì)稱，

/DEB=NDEF,

Z.C=ZEFC,

AB=AC,

「?/C=/B,

在"BC和△氏:『中,

/B=/C

ZACB=ZEFCf

LABCs.ECF.

.在■C中，DE//AC,

ZBDE=ZA>ZBED=NC,

△BDE,

.BE_BD

BCBA2

EC=-BC,

2

BC,

——=k,

AB

?.BC=kAB,EC=-kAB,

2

LABCs的ECF.

ABBC

——=——,

ECCF

AB_k-AB

2

解得=

2

CFCFCF5KA§k?

====

-~FAAC-CFAB-CFAB_lk2^AB2^F'

2

故答案為：_2L.

2-k2

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明"BCSAECR.

三、解答題：(本大題有7個(gè)小題，共66分)

17.設(shè)一元二次方程Y+bx+c=o.在下面的四組條件中選擇其中二組"c的值，使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根，并解這個(gè)方程.

①b=2,c=l；②b=3,c=l；③b=3,c=-l；?b=2,c=2.

注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】選②，$=3ix選③，%3I呵,二3炳

2221222

【解析】

【分析】先根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，再利用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】解：d+〃x+c=o中a=1,

①b=2,c=l時(shí)，△=。2一4a=22一4'卜1=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

②〃=3,c=l時(shí)，△=〃—4ac=32—4xlxl=5>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

③人=3,。=一1時(shí)，△=/-4ac=32—4xlx(-l)=13>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

④b=2,c=2時(shí)，A=b2-4〃c=22-4xlx2=T<0,方程沒有實(shí)數(shù)根;

因此可選擇②或③.

選擇②6=3,c=1時(shí)，

x2+3x+1=0，

22

A=/,-4ac=3-4xlxl=5>0J

-b±\lb2-4ac-3±>/5

x=-------------=-------'

2a2

-3+yf5-3-x/5

選擇③力=3,c=—1時(shí)，

x2+3x-1=0?

A=ZJ2-4?C=32-4X1X(-1)=13>0,

-b±J-—4ac—3±V13

x=-------------=--------，

2a2

-3+V13-3-V13

xi=2，x-=2

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握：對(duì)于一

元二次方程雙2+加+0=0,當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根；當(dāng)AvO時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

18.某校為了了解家長(zhǎng)和學(xué)生觀看安全教育視頻的情況，隨機(jī)抽取本校部分學(xué)生作調(diào)查，把收集的數(shù)據(jù)按照

A,B,C,D四類（4表示僅學(xué)生參與；8表示家長(zhǎng)和學(xué)生一起參與；C表示僅家長(zhǎng)參與；及表示其他）進(jìn)

行統(tǒng)計(jì)，得到每一類的學(xué)生人數(shù)，并把統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如圖所示的未完成的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

觀看安全教育視頻情況觀看安全教育視頻情況

扇形統(tǒng)計(jì)圖

（1）在這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了多少名學(xué)生？

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（3）已知該校共有1000名學(xué)生，估計(jì)5類的學(xué)生人數(shù).

【答案】（1）200名

(2)見解析(3)600名

【解析】

【分析】（1）由A類別人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù);

（2）先求出8類學(xué)生人數(shù)為：200-60-10-10=120（名），再補(bǔ)畫長(zhǎng)形圖即可;

（3）用該校學(xué)生總數(shù)1000乘以B類的學(xué)生所占百分比即可求解.

【小問1詳解】

解：60?30%=200(名),

答：這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了200名學(xué)生;

【小問2詳解】

解：B類學(xué)生人數(shù)為：200—60—10-10=120（名）,

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示:

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【小問3詳解】

答：估計(jì)8類的學(xué)生人數(shù)600名.

【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量，條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，從條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖獲

取到有用信息是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，平行四邊形ABCO的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)￡尸在對(duì)角線BD上,且BE=EF=FD，

連接CF,FA.

（1）求證：四邊形AECT是平行四邊形.

（2）若AABE的面積等于2,求△CEO的面積.

【答案】（1）見解析（2）1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分可得。4=OC,OB=OD,結(jié)合鹿=FD可得。七=。「，

即可證明四邊形AEC5是平行四邊形；

（2）根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得S.M「=S..E=2,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得

S?CFrCO/=—2S.CCEF/F*=-2S<ACFF=—2X2=1.

【小問1詳解】

證明：四邊形ABC。是平行四邊形，

OA=OC,OB=OD,

BE=FD，

OB-BE=OD-FD,

OE=OF,

又OA=OC,

???四邊形AEC廠是平行四邊形.

【小問2詳解】

解：S.M￡=2，BE=EF,

^.AEF=S.ABE=2,

四邊形是平行四邊形，

X

saCrFtzO=2-SCFF=2-S.FF=?-2=1.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

20.在直角坐標(biāo)系中，已知左#2。0,設(shè)函數(shù)y=&與函數(shù)％=&（*一2）+5的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)

X

B.已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2,點(diǎn)8的縱坐標(biāo)是T.

（1）求匕，吊的值.

（2）過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)8作X輪的垂線，在第二象限交于點(diǎn)C；過(guò)點(diǎn)A作X軸的垂線，過(guò)點(diǎn)8

作y粕的垂線，在第四象限交于點(diǎn)O.求證：直線co經(jīng)過(guò)原點(diǎn).

【答案】⑴人=10,k2=2

（2）見解析

【解析】

【分析】（1）首先將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入必=的（工一2）+5求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入y=&求出

x

占=10,然后將點(diǎn)8的縱坐標(biāo)代入y=3求出8H-然后代入必=七（%一2）+5即可求出

&2=2；

（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出點(diǎn)。和點(diǎn)。坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出CO所在直線的表

達(dá)式，進(jìn)而求解即可.

【小問1詳解】

???點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2,

???將x=2代入%=^2（X-2）+5=5

:.4（2,5）,

???將A（2,5）代入y=&得，占=10,

X

.10

??y=一，

X

???點(diǎn)3的縱坐標(biāo)是T，

，將y=-4代入y=—得，x=——>

x2

；?將，-4代入%=右（4-2）+5得，-4=&2）+5,

???解得左2=2,

y2=2（x-2）+5=2x4-1；

【小問2詳解】

如圖所示，

???設(shè)CO所在直線的表達(dá)式為y=-b.

一耳+匕=5

2解得《

b=0

2k+b=-4

:.y=-2x,

???當(dāng)工=0時(shí)，y=0,

???直線CO經(jīng)過(guò)原點(diǎn).

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握以上知識(shí)點(diǎn).

21.在邊長(zhǎng)為1的正方形48co中，點(diǎn)E在邊AO上（不與點(diǎn)A,。重合），射線屏:與射線CO交于點(diǎn)尸.

（1）若ED=L求。尸的長(zhǎng).

3

（2）求證：AECF=\.

（3）以點(diǎn)8為圓心，8c長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段跳于點(diǎn)G.箝EG=ED,求￡7）的長(zhǎng).

【答案】（1）\

（2）見解析（3）—

4

【解析】

【分析】（I）證明△AEBS/XOEF，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解；

（2）證明二AEBs二CB尸，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例證明；

（3）設(shè)EG=ED=x,則AE=1—x,BE=\+x,在RtAABE中，利用勾股定理求解.

【小問1詳解】

解：由題知，AB=BC=CD=DA.=1?

若ED=L^jAE=AD-ED=-.

33

四邊形48co是正方形，

，ZA=ZFDE=90°,

又公EB=/FED，

???/SAEBS/\DEF，

.AB_AE

2

即一!-=3.

3

【小問2詳解】

證明：四邊形ABC。是正方形,

Z4=ZC=90°,AB//CD,

ZABE=^F,

二AJBEs二CFB,

.AB_AE

,?一,

CFBC

AECF=ABBC=lxl=l.

【小問3詳解】

解：設(shè)EG=ED=x,

則AE=4￡>-4E=1—冗，BE=BG+GE=BC+GE=\+x.

在RtAABE中，AR1+AE1=BE1

即12+（1一元）2=（1+%）2,

解得K=一.

4

.1.ED=-.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定

理是解題的關(guān)鍵.

22.設(shè)二次函數(shù)），=以2+打+1,（。。0,〃是實(shí)數(shù)）.已知函數(shù)值和自變量X的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所

示：

X-10123???

y???m1n1P

（1）若m二4,求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）寫出一個(gè)符合條件的x的取值范圍，使得〉隨工的增大而減小.

（3）若在〃這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求〃的取值范圍.

【答案】（1）y=x2-2x+l

（2）當(dāng)。>0時(shí)，則x<l時(shí)，y隨X的增大而減??；當(dāng)avO時(shí)，則X>1時(shí)，y隨X的增大而減小

（3）a<--

3

【解析】

【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可.

（2）利用拋物線的對(duì)稱性質(zhì)求得拋物線的對(duì)稱軸為直線1=1；再根據(jù)拋物線的增減性求解即可.

⑶先把（2,1）代入y=&+bx+l,得8=-2〃，從而得y=ox：2-2〃工+1,再求出機(jī)=3。+1,n=-a+\,

—u+1>0

〃=紜+1,從而得m=p,然后機(jī)、〃、〃這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，得I.1八，求解即可.

3?+1<0

【小問1詳解】

解：把（-1,4）,（2,1）代入/=浸+十+1,得

a-b+l=4a=\

解得:

4。+2匕+1=1b=-2

:.y=x2-2x+l.

【小問2詳解】

解：???（O,l）,（2,1）在），二奴2+反+1圖象上，

???拋物線的對(duì)稱軸為直線X=—=1,

2

???當(dāng)a〉0時(shí)，則x<l時(shí)，隨”的增大而減小,

當(dāng)〃<0時(shí)，則x>l時(shí)，了隨工的增大而減小.

【小問3詳解】

解：把（2,1）代入），=?2+法+1,得

1=4d+2/?+1,

；?b=-2a

y=ax2+bx+\=ax1-2ax+l

把（一1,m）代入y=ar?一2奴+1得，m=a+2a+\=3a+i?

把（1,幾）代入y=仆2—2改+1得，n=a-2a+\=-a+\,

把（3,/?）代入y二?？一2?+1得，p=9a-6a+l=3a+l,

：,fn=p,

/加、〃、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù),

-a+1>01

?解得：CL<——.

3A+1<03

【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質(zhì)，解不等式組，熟練掌握用待定系數(shù)

法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質(zhì)是解析的關(guān)鍵.

23.如圖，在CO中，直徑垂直弦CD于點(diǎn)E，連接AC,40,8C,作CF_LA力于點(diǎn)尸，交線段。5