偏微分方程-熱傳導(dǎo)方程

PAGEPAGE1偏微分方程(PartialDifferentialEquations)熱傳導(dǎo)方程式由於溫度不均勻，熱量從溫度高的地方往溫度低的地方轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象叫做熱傳導(dǎo)。假設(shè)溫度在空間中的分布和在時間中的變化為。熱傳導(dǎo)的起緣是溫度的不均勻，可以用溫度梯度表示，熱傳導(dǎo)的強(qiáng)弱可用熱流強(qiáng)度，即單位時間通過單位截面積的熱量表示。根據(jù)實驗結(jié)果，熱傳導(dǎo)現(xiàn)象所遵循的熱傳導(dǎo)定律，即傅立葉定律是︰ (1)比例係數(shù)叫做熱傳導(dǎo)係數(shù)，是物質(zhì)的特性。應(yīng)用熱傳導(dǎo)定律和能量守恆定律，可導(dǎo)出沒有熱源的熱傳導(dǎo)方程︰ (2)其中是比熱，是密度。對於均勻物體，，和是常數(shù)，第(2)式可寫為︰ (3)第(2)式即為熱傳導(dǎo)方程式。若在物體中存在熱源，熱源強(qiáng)度(單位時間在單位體積內(nèi)產(chǎn)生的熱量)為，則第(2)式應(yīng)修改為︰ (4)所以熱傳導(dǎo)方程式要改寫為︰ (5)其中 (6)為按單位熱容量計算的熱源強(qiáng)度。其中運算子為Laplace算子，其表示形式可參照17之不同座標(biāo)的表示式。19.分離變數(shù)法考慮一維熱傳導(dǎo)方程式︰ (7)以分離變數(shù)法處理，可分為︰無限區(qū)間： (8)半無限區(qū)間： (9)有限區(qū)間，兩端保持絕緣： (10)有限區(qū)間，兩端保持恆溫： (11)20.傅立葉變換求解熱傳導(dǎo)問題在處理偏微分方程時，有時會出現(xiàn)連續(xù)特徵值分布(例如無限域區(qū)間的波傳問題)，相映的展開定理可以產(chǎn)生關(guān)於譜值積分的積分變換，可利用積分變換處理之前級數(shù)展開或分離變數(shù)法無法處理的問題，常用的有傅立葉變換(Fouriertransform)以及拉卜拉斯變換(Laplacetransform)，對於無限域區(qū)間的定解問題，傅立葉變換法是一種普遍適用的方法，定義︰ (12) (13)其中在內(nèi)絕對可積。傅立葉變換的基本性質(zhì)︰(1)線性性質(zhì)

設(shè)，，和為常數(shù)，則， (14)

(2)尺度變換性質(zhì)

設(shè)為實數(shù)，則， (15)

(3)平移性質(zhì)

(i) (16)

(ii) (17)

(4)微分性質(zhì)

設(shè)，，，則 (18)

推論設(shè)，，且，則 (19)

(5)傅立葉轉(zhuǎn)換之微分 (20)

推論 (21)

(7)積分性質(zhì) (22)

(8)摺積定理(convolutiontheorem)(i)定義 (23)(ii)定理若，，則 (24)

(9)乘積定理

設(shè)，，則， (25)

其中表的共軛函數(shù)推廣:Parserval定理 (26)

(10)Modulation

設(shè)為實數(shù)，則， (27)

(28)

例：試求，，，初始條件：，。補充：利用傅立葉變換解無限區(qū)間波動方程式例：試求，，，初始條件：，，。21.拉卜拉斯變換求解熱傳導(dǎo)問題拉卜拉斯變換與傅立葉變換有些相似性質(zhì)，定義︰ (29) (30)拉卜拉斯變換的基本性質(zhì)︰(1)線性性質(zhì)

設(shè)，，和為常數(shù)，則， (31)

(2)尺度變換性質(zhì)

設(shè)為實數(shù)，則， (32)

(3)平移性質(zhì)

(i) (33)

(ii) (34)

(4)微分性質(zhì) (35)

推論 (36)

(5)摺積定理(convolutiontheorem)(i)定義 (37)(ii)定理若，，則 (38)

例：試求一維半無限的熱傳導(dǎo)問題，，，邊界條件：，。初始條件：。例：試求一維半無限的熱傳導(dǎo)問題，，，邊界條件：，，。初始條件：，。22.高維以及非齊次邊界的熱傳導(dǎo)問題本節(jié)直接透過例題，以分離變數(shù)法處理高為熱傳導(dǎo)問題，例：試求三維有限區(qū)間的熱傳導(dǎo)問題。，，，，，邊界條件：，，，

，，。初始條件：，，，。例：設(shè)有長為，側(cè)面絕熱的均勻細(xì)桿，內(nèi)部沒有熱源，初始溫度已知，兩端點的溫度保持定值，則桿上的溫度分布所滿足的定解問題為何？試求解之。Ans：，，，邊界條件：，。初始條件：。做函數(shù)轉(zhuǎn)換，則可將原定解問題轉(zhuǎn)化成齊次邊界條件的定解問題，，，，邊界條件：，。初始條件：?？山獾茫渲欣阂痪鶆驘o限長圓柱體，柱體內(nèi)無熱源，通過柱體表面延法向的熱量為常數(shù)q，若柱體的初始溫度為，求任意時刻柱體的溫度分布，若以柱體軸線為z軸建立柱座標(biāo)，則柱體溫度滿足定解問題。，，，邊界條件：，。初始條件：。23.含熱源的熱傳導(dǎo)問題(i)齊次化原理考慮非齊次熱傳導(dǎo)方程 (39)由線性方程的疊加原理，可分解成兩個問題：(I) (40)以及(II) (41)第(40)式可由之前的方法求解，第(42)式則可引用