電機(jī)與拖動技術(shù)第三章

第三章傳感器的誤差及其分析－－3.1測量誤差的基本概念第三章傳感器的誤差及其分析測量的目的是為了獲得被測量的真實(shí)值，但是由于種種原因，任何測量都不可能絕對準(zhǔn)確，都存在誤差，只要誤差在允許范圍內(nèi)即可認(rèn)為符合標(biāo)準(zhǔn)。所謂測量誤差，即測量的輸出值與理論輸出值的差值。因此，在設(shè)計(jì)和制造傳感器時允許有誤差，但必須在規(guī)定誤差的指標(biāo)之內(nèi)。為了使其能滿足一定的精度要求，必須掌握誤差的種類、分析產(chǎn)生誤差的原因以及克服與減少誤差的方法。3.1.1真值真值，是指在一定的時間及空間（位置或狀態(tài)）條件下，被測量所體現(xiàn)的真實(shí)數(shù)值。它是一個理想的概念，一般是無法得到的。所以在計(jì)算誤差時，一般用約定真值或相對真值來代替。約定真值是一個接近真值的值，它與真值之差可忽略不計(jì)。實(shí)際測量中以在沒有系統(tǒng)誤差的情況下，足夠多次的測量值之平均值作為約定真值。相對真值也叫實(shí)際值，由于系統(tǒng)誤差不可能完全被排除掉，故通常只能把精度更高一級的標(biāo)準(zhǔn)器具所測得的值作為“真值”。為了強(qiáng)調(diào)它并非是真正的“真值”，故把它稱為實(shí)際值。3.1.2測量誤差及其表示方法測量結(jié)果與被測量真值之差稱為測量誤差。在實(shí)際測試中真值無法確定，因此通常用約定真值或相對真值代替真值來確定測量誤差。測量誤差可以用以下幾種方法來表示。絕對誤差△

是指測量值A(chǔ)x與約定真值A(chǔ)０的差值，即△=Ax-A0相對誤差是針對絕對誤差有時不足以反映測量值所偏離約定真值的程度而設(shè)定的。在實(shí)際測量中，相對誤差有下列表示形式：①實(shí)際相對誤差；②標(biāo)稱相對誤差；1.絕對誤差2.相對誤差絕對誤差△

是指測量值A(chǔ)x與約定真值A(chǔ)０的差值，即△=Ax-A0。（1）實(shí)際相對誤差：實(shí)際相對誤差γA用絕對誤差△與約定真值A(chǔ)的百分比表示，即：3.1.2測量誤差及其表示方法（2）標(biāo)稱相對誤差：標(biāo)稱相對誤差用絕對誤差與被測量值的百分比表示，即：（3）引用誤差：引用誤差γx用絕對誤差△

與儀器量程Ax的百分比表示，即:在上式中當(dāng)

△取為△m時，引用誤差就被用來確定儀表的精度等級S，即:其中，Amax

和Amin

分別為儀表刻度盤的上限與下限。我國電工儀表等級分為七級，即0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5和5.0級。（4）容許誤差容許誤差是指檢測儀器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍，它也是衡量檢測儀器的最重要的質(zhì)量指標(biāo)之一。當(dāng)儀表顯示值下限不為零時，精度等級S應(yīng)用下式表達(dá)：3.1.2測量誤差及其表示方法主要有：①工作誤差②固有誤差③影響誤差④穩(wěn)定性誤差3.1.3測量誤差的來源測量工作是在一定條件下進(jìn)行的，外界環(huán)境、觀測者的技術(shù)水平和儀器本身構(gòu)造的不完善等原因，都可能導(dǎo)致測量誤差的產(chǎn)生。具體來說，測量誤差主要來自以下三個方面：主要指觀測環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度、風(fēng)力以及氣流擾動等因素所引起的誤差。（1）外界條件測量儀表本身以及儀表組成元件不完善所引入的誤差。為了減小測量裝置誤差應(yīng)該不斷的提高儀表及組成元件本身的質(zhì)量。（2）儀器條件（3）光測者的自身?xiàng)l件由于觀測者自身能力所限，若所選擇的測量方法不正確，則可能引起誤差。3.2誤差的分類在測量中由不同因素產(chǎn)生的誤差是混合在一起同時出現(xiàn)的。為了便于分析研究誤差的性質(zhì)、特點(diǎn)和消除方法，下面將對各種誤差進(jìn)行分類討論。3.2.1按誤差出現(xiàn)的規(guī)律分類在相同的條件下，對同一物理量進(jìn)行多次測量，如果誤差按照一定規(guī)律出現(xiàn)，則把這種誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。系統(tǒng)誤差又可分為恒值誤差和變值誤差。恒值誤差是指在一定條件下，誤差的數(shù)值及符號都保持不變的系統(tǒng)誤差；變值誤差是指在一定條件下，誤差按某一確切規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差表明了一個測量結(jié)果偏離真值和實(shí)際值的程度。系統(tǒng)誤差愈小，測量愈準(zhǔn)確，所以常常用準(zhǔn)確度來表征系統(tǒng)誤差大小。3.2.1按誤差出現(xiàn)的規(guī)律分類隨機(jī)誤差的絕對值不會超過一定的界限；（1）有界性絕對值小的隨機(jī)誤差比絕對值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大；（2）單峰性等值反號的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率接近相等；（3）對稱性隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零。（4）抵償性當(dāng)對某一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測量時，若誤差出現(xiàn)的大小和符號均以不可預(yù)知的方式變化，則該誤差為隨機(jī)誤差。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理，隨機(jī)誤差具有下列特征：明顯超出規(guī)定條件下的預(yù)測值的誤差稱為粗大誤差。3.2.1按誤差出現(xiàn)的規(guī)律分類從性質(zhì)上看，粗大誤差并不是單獨(dú)的類別，它本身既具有系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，也可能具有隨機(jī)誤差的性質(zhì)，只不過在一定測量條件下其絕對值特別大而已。粗大誤差是由于測量方法不妥，各種隨機(jī)因素的影響以及測量人員粗心所造成的。3.2.2按被測量隨時間變化的速度分類靜態(tài)誤差是指在測量過程中，被測量隨時間變化很緩慢或基本不變時的測量誤差。動態(tài)誤差是在被測量隨時間變化時所測得的誤差。動態(tài)誤差是在動態(tài)測量時產(chǎn)生的，動態(tài)測量的優(yōu)點(diǎn)是檢測效率高和受環(huán)境影響小。3.2.3按使用條件分類基本誤差是指檢測系統(tǒng)在規(guī)定的參比條件下，儀器儀表的示值誤差?；菊`差是檢測儀表在額定條件下工作所具有的誤差，檢測儀表的精確度就是由基本誤差決定的。附加誤差是指當(dāng)儀表的使用工作條件與額定工作條件存在偏差時出現(xiàn)的誤差。如由于溫度超過標(biāo)準(zhǔn)引起的溫度附加誤差以及電源附加誤差、頻率附加誤差等。這些附加誤差在使用時應(yīng)疊加到基本誤差上去。3.2.4測量精度測量精度是從另一角度評價測量誤差大小的量，它與誤差大小相對應(yīng)，即誤差大，精度低。通常，精度可按誤差原因分類如下：是系統(tǒng)誤差大小的反映，系統(tǒng)誤差小，則準(zhǔn)確度高。（1）準(zhǔn)確度（2）精密度

（3）精確度是針對重復(fù)測量而言的，它反映測量結(jié)果的分散性，表示隨機(jī)誤差的大小。是系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合反映，表征測量結(jié)果與真值之間一致的程度。3.3數(shù)據(jù)處理測量數(shù)據(jù)處理是對測量所獲得的一系列數(shù)據(jù)進(jìn)行深入的分析，找出變量之間相互制約、相互聯(lián)系的依存關(guān)系，有時還需要用數(shù)學(xué)解析的方法，推導(dǎo)出各變量之間的函數(shù)關(guān)系。對測量結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)處理是一個去偽存真的過程，針對不同性質(zhì)的誤差應(yīng)采取不同的處理方法。誤差分析的理論大多是基于測量數(shù)據(jù)的正態(tài)分布，而實(shí)際測量過程中由于受到各種因素的影響，測量數(shù)據(jù)的分布情況復(fù)雜，因此，測量數(shù)據(jù)必須消除系統(tǒng)誤差、正態(tài)性檢驗(yàn)和剔除粗大誤差后，才能進(jìn)一步處理，以得到可信的結(jié)果。3.3數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)誤差是有規(guī)律可循的，可以通過理論和實(shí)驗(yàn)分析找出原因和規(guī)律后進(jìn)行消除或減少到允許的程度。粗大誤差是小概率事件，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和分析將含有粗大誤差的數(shù)據(jù)剔除。在消除了系統(tǒng)誤差和粗大誤差后，只剩下隨機(jī)誤差了（實(shí)際上，無法認(rèn)定的系統(tǒng)誤差也作為隨機(jī)誤差處理）。含有隨機(jī)誤差的測量數(shù)據(jù)是隨機(jī)數(shù)據(jù)，必須用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析和處理。3.3.1含隨機(jī)誤差的測量數(shù)據(jù)的特征量測量中，絕大多數(shù)的隨機(jī)誤差是由很多獨(dú)立因素的微小變化共同作用而造成的，因此服從正態(tài)分布。但也有一些服從其他分布的隨機(jī)誤差，如量化誤差符合均勻分布，對正弦噪聲電壓進(jìn)行隨機(jī)采集其分布為反正弦函數(shù)等。不論隨機(jī)變量的分布規(guī)律如何，其主要數(shù)據(jù)特征量都為數(shù)學(xué)期望μ和標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。在等精度重復(fù)測量中，當(dāng)測量次數(shù)為無窮大時，測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望μ

就是其真值Ｘ0

，而標(biāo)準(zhǔn)偏差σ

是測量精密度的標(biāo)志?？傮w期望的求得需要無限多次測量的結(jié)果，實(shí)際上是不可能實(shí)現(xiàn)，只能用有限次的測量來代替。用有限次的樣本來推測總體參數(shù)的過程叫做估計(jì)，估計(jì)值用變量符號上加符號“^”表示。3.3.1含隨機(jī)誤差的測量數(shù)據(jù)的特征量

假設(shè)對同一被測量進(jìn)行了ｎ次測量，測量結(jié)果為Xi(i=1,2,…,n)，這組數(shù)據(jù)是測量隨機(jī)數(shù)據(jù)總體的一個樣本，其算術(shù)平均為:

樣本中各測量數(shù)據(jù)相對樣本平均的分散程度用樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差s表示，計(jì)算公式為

:

樣本平均仍是隨機(jī)變量，也有其數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差?？梢宰C明，樣本平均的數(shù)學(xué)期望仍是u，標(biāo)準(zhǔn)偏差為

:

如果用σ其估計(jì)值s代替，則:

3.3.2誤差綜合已定系統(tǒng)誤差是大小和正負(fù)均確知的誤差，合成時只需取代數(shù)和即可。為xi單值函數(shù)，則：設(shè)間接測量量與直接測量量的關(guān)系仍如下式所示，各直接測量量是互不相關(guān)的，則有：設(shè)直接測量為xi(i=1,2,…,m),

間接測量量記為y

，且3.3.3測量結(jié)果的表示方法

在直接測量的情況下，不確定度用樣本平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差來表征，即：

1.多次測量結(jié)果的表示對于已經(jīng)消除了系統(tǒng)誤差和剔除了粗大誤差的測量數(shù)據(jù)來說，利用隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)處理的結(jié)果，便可以知道被測量的真值在哪個范圍內(nèi)取值以及在該范圍內(nèi)取值的概率。按目前國際通行的做法，測量結(jié)果x

可表示為測量結(jié)果=樣本平均值±

不確定度不確定度表示對被測量真值所處量值范圍的評定，表示對測量值不能肯定的程度。不確定度越小，測量結(jié)果可信度越高，其使用價值也越高。因?yàn)橹挥幸淮螠y量，無法從測量值中確定出種種誤差。此時系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差只能根據(jù)事前的誤差分析、以往的同等條件或相近條件下多次測量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果或檢測器具說明書中給出的誤差限來確定標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值。2.單次測量結(jié)果的表示3.3.3測量結(jié)果的表示方法

也就是說，被測量的真值按某一置信概率處在區(qū)間內(nèi)?？梢娫黾訙y量次數(shù)可以減小置信區(qū)間。置信概率與誤差的分布有關(guān)，對于正態(tài)分布來說，置信概率為68.27%。

若想增加置信概率，則只有擴(kuò)大置信區(qū)間，將標(biāo)準(zhǔn)偏差乘上一系數(shù)。如正態(tài)分布時，要使置信概率提高為95%，這時的置信區(qū)間為，置信概率為99%時的置信區(qū)間為。3.4最小二乘原理及其回歸分析－－3.4.1最小二乘法原理最小二乘法是處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的重要方法。設(shè)對某被測量進(jìn)行了n次重復(fù)測量，測量值為x1,x2,…xn,則被測量的最佳估計(jì)應(yīng)使殘差的平方和為最小，即：這一使殘差平方和為最小的原則稱為最小二乘法原理。對上式求解可得：

一組測量數(shù)據(jù)的最佳估計(jì)值就是其算術(shù)平均值，這與隨機(jī)誤差分析中的無偏估計(jì)值是一致的。

3.4.2回歸分析

設(shè)變量y和x之間存在某種函數(shù)關(guān)系，現(xiàn)已得到一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，要求建立和之間的最佳函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)。

利用最小二乘法建立變量之間最佳函數(shù)關(guān)系式時，首先將檢測結(jié)果在平面坐標(biāo)上標(biāo)出測量點(diǎn)，然后連接坐標(biāo)點(diǎn)并觀察曲線的趨勢，建立最合適的數(shù)學(xué)模型，如直線、拋物線、雙曲線或冪函數(shù)（經(jīng)過對數(shù)變換可轉(zhuǎn)化為線性問題）等。設(shè)已確定出最佳的曲線型式，函數(shù)關(guān)系式f(x)為x的m次多項(xiàng)式,即：

求得擬合曲線與坐標(biāo)點(diǎn)的殘差和殘差平方和分別為：殘差：殘差平方和：3.4.2回歸分析在一些實(shí)際問題中，某變量（目標(biāo)變量）與另外一個或幾個變量（自變量）之間既存在密切的關(guān)系，又無法通過機(jī)理分析建立目標(biāo)變量與自變量之間的函數(shù)關(guān)系式，即不能由自變量的數(shù)值精確地求得目標(biāo)變量，變量之間的這種關(guān)系為相關(guān)關(guān)系。回歸分析是建立目標(biāo)變量與自變量之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，它通過對大量測量數(shù)據(jù)的處理，得出目標(biāo)變量與各相關(guān)變量（自變量）間比較符合事物內(nèi)部規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式?；貧w分析在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理、經(jīng)驗(yàn)公式的求得、因素分析、產(chǎn)品質(zhì)量控制以及系統(tǒng)模型的建立等方面有著廣泛的應(yīng)用，常常把回歸分析作為最基本的一種數(shù)據(jù)分析手段。根據(jù)變量的個數(shù)及變量之間關(guān)系的不