1.2.1經(jīng)濟模型與應(yīng)用

新編經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學（微分學積分學）第五版PAGEPAGE11.2.1經(jīng)濟模型與應(yīng)用課題1.2.1經(jīng)濟模型與應(yīng)用（2時間年月日教學目的要求重點難點教學方法手段精講多練主要內(nèi)容時間分配常用的幾種經(jīng)濟函數(shù)20分鐘例1-例525分鐘經(jīng)濟分析中的導(dǎo)數(shù)模型15分鐘例6-例1330分鐘作業(yè)備注常用的幾種經(jīng)濟函數(shù)需求函數(shù)與供給函數(shù)需求函數(shù)某種商品的需求量是消費者愿意購買此種商品，并且有支付能力購買該種商品的數(shù)量。一般來說，商品的需求量將隨著市場價格的上漲而減少，即需求函數(shù)為價格的單調(diào)遞減函數(shù)（特殊函數(shù)除外）。在經(jīng)濟學中，常見的函數(shù)有以下幾種類型：線性需求函數(shù)二次需求函數(shù)指數(shù)需求函數(shù)供給函數(shù)某種商品的供給量是指在一定時期內(nèi)，生產(chǎn)者(廠家）在一定價格下，愿意并可能出售商品的數(shù)量。一般來說，與需求函數(shù)相反，當某商品的市場價格比較高時，生產(chǎn)者愿意多生產(chǎn)此種商品，所以當市場上該商品的價格上漲時，供給量會增加。因而供給函數(shù)是一個單調(diào)遞增函數(shù)。在經(jīng)濟學中，常見的供給函數(shù)有以下幾種類型：線性供給函數(shù)冪供給求函數(shù)指數(shù)供給函數(shù)均衡價格均衡價格是指市場上需求量與供給量相同時的價格（即供需均衡的條件是）?！纠?】某電子市場銷售某品牌微機，當單價為6000（元/臺）時，每月能銷售100臺；為了進一步吸引消費者，增加銷售量，商店將微機的價格調(diào)低為5500（元/臺），這樣每月可多銷售20臺，假設(shè)需求函數(shù)是線性的，求這種微機的需求函數(shù)。解設(shè)需求函數(shù)為，將已知條件代入，得方程組解得，所求的需求函數(shù)為【例2】某種商品的需求函數(shù)是，供給函數(shù)是，求該商品的市場均衡價格和市場均衡商品量。解由供需均衡條件，可得解得市場均衡價格，市場均衡商品量?？偝杀竞瘮?shù)、總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)總成本函數(shù)總成本是生產(chǎn)者用于生產(chǎn)產(chǎn)品的所有費用。一般可分為兩部分：第一部分是廠房、設(shè)備等固定資產(chǎn)的折舊，管理者的工資等。這一類成本的特點是短期內(nèi)不發(fā)生變化，即不隨產(chǎn)品產(chǎn)量的變化而變化，稱為固定成本，用來表示；第二部分是能源費用、原材料費用、勞動者的工資等，這類成本的特點是隨產(chǎn)品產(chǎn)量的變化而變化，稱為可變成本，用表示?？偝杀居帽硎?，產(chǎn)品的產(chǎn)量用來表示，則總成本函數(shù)為常見的總成本函數(shù)有：線性函數(shù)二次函數(shù)單從總成本看不出生產(chǎn)者生產(chǎn)水平的高低，還要進一步考察單位產(chǎn)品的成本，即平均成本，記為，即稱它為平均成本函數(shù)，其中是總成本函數(shù)?！纠?】某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為30000元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品總成本增加100元，求：（1）總成本函數(shù)；（2）平均成本函數(shù)；（3）生產(chǎn)100個單位產(chǎn)品時的總成本和平均成本。解（1）總成本函數(shù)（2）平均成本函數(shù)（3）生產(chǎn)100個單位產(chǎn)品時的總成本和平均成本（元）（元）總收入函數(shù)總收入是指生產(chǎn)者的商品售出后的收入，用表示。生產(chǎn)者銷售某種商品的總收入取決于該商品的銷量和價格。如果用表示銷量的函數(shù)，則總收入函數(shù)為除總收入外，還有平均收入，用表示，它是銷售單位產(chǎn)品的收入【例4】已知某種商品的需求函數(shù)為，試求該商品的總收入函數(shù)，并求出銷售100件商品時的總收入和平均收入。解由需求函數(shù)得總收入函數(shù)為平均收入函數(shù)為總利潤函數(shù)總利潤是生產(chǎn)者的總收入減去總成本后的剩余部分，用表示。由于總成本和總收入都是產(chǎn)量的函數(shù)，因而總利潤也是產(chǎn)量的函數(shù)，即總利潤函數(shù)為單位產(chǎn)品所獲得的利潤稱為平均利潤，用表示，即【例5】某工廠每生產(chǎn)某種商品個單位的總成本為（元），得到的總收入為（元），求總利潤函數(shù)，并求產(chǎn)量為1000時的總利潤。解總利潤函數(shù)經(jīng)濟分析中的導(dǎo)數(shù)模型邊際分析在經(jīng)濟學中，將經(jīng)濟函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際函數(shù)。例如：需求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求函數(shù)，供給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際供給函數(shù)，總收入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收入函數(shù)，總利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤函數(shù)等。一般地，如經(jīng)濟函數(shù)，其邊際函數(shù)在點處的函數(shù)值稱為這個函數(shù)在處的邊際函數(shù)值，它表示在處，若產(chǎn)生一個單位的改變時，相應(yīng)地變化了個單位。邊際成本總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本函數(shù)。其經(jīng)濟意義為：當產(chǎn)量為時，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的總成本。【例6】某廠生產(chǎn)某種商品，總成本函數(shù)為（元），（1）指出固定成本、可變成本；求邊際成本函數(shù)及產(chǎn)量時的邊際成本；（3）說明其經(jīng)濟意義。解（1）固定成本可變成本（2）邊際成本函數(shù)（3）經(jīng)濟意義：在產(chǎn)量為200時，再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，總成本要增加24元。②邊際收入總收入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收入函數(shù)。其經(jīng)濟意義為：在銷量為時，再多銷售一個單位產(chǎn)品作增加的總收入。【例7】通過調(diào)查得知某種家具的需求函數(shù)為，其中（單位：元）為家具的銷售價格，（單位：件）為需求量。求銷售該家具的邊際收入函數(shù)，以及當銷售量、600、750件時的邊際收入。解由需求函數(shù)得價格總收入函數(shù)為則邊際收入函數(shù)邊際利潤總利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤函數(shù)。其經(jīng)濟意義為：在銷量為時，再多銷售一個單位產(chǎn)品所增加的總利潤。因為總利潤函數(shù)等于總收入函數(shù)減去總成本函數(shù)，即由導(dǎo)數(shù)的運算法則可知所以，邊際利潤等于邊際收入減去邊際成本?！纠?】某廠每月生產(chǎn)某產(chǎn)品（單位：百件）單位時的總成本為（單位：千元）。若每百件的銷售價格為4萬元，試寫出總利潤函數(shù)。解由題意得總收入函數(shù)為總利潤函數(shù)為彈性分析函數(shù)的彈性定義1對于函數(shù)，如果極限存在，那么稱此極限為函數(shù)在點處的彈性，記作，即定義2對于函數(shù)，如果極限存在，那么稱此極限為函數(shù)在點處的彈性，記作，即也稱為函數(shù)的彈性函數(shù)?！纠?9】求函數(shù)的彈性函數(shù)及在處的彈性。解彈性函數(shù)需求彈性設(shè)某商品的需求函數(shù)為，則需求彈性為需求彈性表示某種商品需求量對價格的變化的敏感程度。當時，稱為單位彈性，即商品需求量的相對變化與價格的相對變化基本相等，此價格是最優(yōu)價格；當時，稱為富有彈性，此時商品需求量的相對變化大于價格的相對變化，此時價格的變動對需求量的影響較大。換句話說，適當降價會使需求量較大幅度上升，從而增加收入；當時，稱為缺乏彈性，即商品需求量的相對變化小于價格的相對變化，此時價格的變動對需求量的影響較小。在適當降價后不會使需求量有較大的下降，從而增加收入?！纠?0】設(shè)某商品的需求函數(shù)為（其中，是商品價格，使需求量），求（1）需求彈性函數(shù)；（2）時的需求彈性，并說明經(jīng)濟意義。解（1），所求彈性函數(shù)為（2），，經(jīng)濟意義：當時，，此時價格上漲1%時，需求只減少0.6%，需求量的變化幅度小于價格變化的幅度，適當提高價格可增加銷售量，從而增加總收入；當時，，此時價格上漲1%時，需求將減少1%，需求量的變化幅度等于價格變化的幅度，是最優(yōu)價格；當時，，此時價格上漲1%時，需求將減少1.2%，需求量的變化幅度大于價格變化的幅度，適當降低價格可增加銷售量，從而增加總收入。（3）最大值與最小值在經(jīng)濟活動中的應(yīng)用【例11】某工廠生產(chǎn)某商品的總成本函數(shù)為（元/件）問該廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時平均成本最低？解平均成本函數(shù)由，得駐點（舍去）又因此是的極小點，也就是最小點，即當該廠生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時平均成本最小。最大利潤原則：因為總利潤函數(shù)取得最大值的必要條件是，即總利潤函數(shù)取得最大值的充分條件是，即亦即邊際收入的導(dǎo)數(shù)小于邊際成本的導(dǎo)數(shù)?！纠?2】已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)，總成本函數(shù)為，求產(chǎn)量為多少時總利潤最大？并驗證是否符合最大利潤原則。解由需求函數(shù)，得總收入函數(shù)為總利潤函數(shù)為另，得，，所以當時，總利潤最大。此時；所以符合最大利潤原則?！纠?3】某公司每周生產(chǎn)單位產(chǎn)品和單位產(chǎn)品，其成本函數(shù)為產(chǎn)品、的單位售價分別為200元和300元。假設(shè)兩種產(chǎn)品均很暢銷，試求公司獲得最大利潤時這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量及相應(yīng)的最大利潤。解由題意，公司的總收入函數(shù)為公司的總利潤函數(shù)為求得，解方程組得駐點。又由于，，因此而，由二元函數(shù)極值存在的充分條件知，當，時，取極大值也是最大值，即當產(chǎn)品、的產(chǎn)量均為50個單位時，公司可獲得最大利潤，其最大利潤為（元）在經(jīng)濟活動中，還會遇到其它類型的優(yōu)化問題，如下面的最優(yōu)批量問題。在按一定的產(chǎn)量計劃分批生產(chǎn)的情況下，產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費和庫存保管費與產(chǎn)品的批量（即每批的生產(chǎn)量）有關(guān)，現(xiàn)討論使總費用達到最小的條件。設(shè)產(chǎn)品的年計劃產(chǎn)量為，分批生產(chǎn)，均勻銷售（即產(chǎn)品的平均庫存量為批量的一半），每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費為，每單位產(chǎn)品的年庫存保管費為。記每批的生產(chǎn)批量為，則全年的生產(chǎn)批數(shù)為，年平均庫存量為，股權(quán)年的總費用是批量的函數(shù)，即由費用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知在的駐點處有因此，當總費用達到最小時，生產(chǎn)準備費應(yīng)等于庫存保管費。的駐點顯然是唯一的，并且的二階導(dǎo)數(shù)故在點處取得最小值，此時總費用最小?！纠?4】某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品年銷售量為100萬件，假設(shè)這些產(chǎn)品分為若干批生產(chǎn)，每批需生產(chǎn)準備費1000元（與批量大小無關(guān)）；產(chǎn)品均勻銷售，且每件產(chǎn)品庫存一年需存費0.05元，求使每年生產(chǎn)所需的生產(chǎn)準備費與庫存保管費之和最小的最佳批量。解設(shè)每年生產(chǎn)所需的生產(chǎn)準備費與庫存保管費之和為元，批量為萬件，則由得，由知駐點為最小值點。因此，最佳批量為20萬件。3．經(jīng)濟模型應(yīng)用舉例（1）存貯模型工廠定期訂購原料，存入倉庫供生產(chǎn)之用；車間一次加工出一批零件，供裝配線每天生產(chǎn)之用；商店成批購進各種商品，放在貨柜里以備零售；水庫在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和發(fā)電。存貯量多少合適？存貯量過大，存貯費用太高；存貯量太小，會導(dǎo)致一次性訂購費用增加，或不能及時滿足需求。下面建立允許缺貨的存貯模型。模型假設(shè)：①連續(xù)化，即設(shè)生產(chǎn)周期T和產(chǎn)量Q均為連續(xù)量；②產(chǎn)品每日的需求量為常數(shù)r；③每次生產(chǎn)準備費C1，每日每件產(chǎn)品存貯費C2；④生產(chǎn)能力為無限大（相對于需求量），允許缺貨，每天每件產(chǎn)品缺貨損失費C3，但缺貨數(shù)量需在下次生產(chǎn)（訂貨）時補足。模型建立：總費用=生產(chǎn)準備費+存貯費+缺貨損失費存貯費=存貯單價×存貯量缺貨損失費=缺貨單價×缺貨量求存貯量和缺貨量為多少時，總費用最省？因存貯量不足造成缺貨，因此q(t)可取負值，q(t)以需求速率r線性遞減，直至q(T1)=0，如圖。q(t)=Q-rt，Q=rT1。一個周期內(nèi)存貯費一個周期內(nèi)缺貨損失費一個周期的總費用每天平均費用模型求解：用微分法，令每天平均最小費用每個周期的供貨量與不允許缺貨模型相比較，有結(jié)果解釋：①即允許缺貨時，周期和供貨量增加，周期初的存貯量減少。②缺貨損失費愈大，愈小，愈接近，愈接近。③不允許缺貨模型可視為允許缺貨模型的特例。（2）空調(diào)銷售量的預(yù)測某家電商場經(jīng)營兩種品牌的空調(diào)，銷售圖表顯示，當A品牌空調(diào)每臺定價x（千元）、B品牌空調(diào)每臺定價y（千元）時，A品牌空調(diào)的銷售量為（臺）假若現(xiàn)在是2月份，在未來的幾個月內(nèi)，隨著氣溫的逐漸升高，兩種空調(diào)的銷售價格都呈上升趨勢，預(yù)計從現(xiàn)在起的第t個月，A品牌空調(diào)的銷售價格為（千元|臺）B品牌空調(diào)的銷售價格為（千元|臺）現(xiàn)在，就讓我們根據(jù)以上所提供的信息，利用邊際函數(shù)幫助商場預(yù)測一下7月份A品牌空調(diào)的銷售量是增加還是減少。我們知道，邊際銷售函數(shù)在（月）處的函數(shù)值近似表示第（月）增加的銷售量，由