數(shù)學(xué)八年級蘇科版（上冊）第四章實(shí)數(shù)同步輔導(dǎo)

第頁錯解剖析易犯錯誤展示初學(xué)平方根、算術(shù)平方根和立方根等內(nèi)容，由于概念不清、考慮不周等原因，經(jīng)常會出現(xiàn)各種錯誤.下面將個別同學(xué)出現(xiàn)的錯誤展示如下，希望大家也能有針對性地預(yù)防.易錯點(diǎn)1漏掉一個解致錯例１（-4）2的平方根是_____．錯解：（-4）2的平方根是-4．剖析：一個正數(shù)的平方根是互為相反數(shù)的兩個數(shù)，錯解漏掉了一個正的平方根．正解：.易錯點(diǎn)2忽視隱含條件致錯例2（π-3.142）2的算術(shù)平方根是______．錯解：=π-3.142.剖析：錯解忽視了π＜3.142，即π-3.142＜0的條件.事實(shí)上，一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍然是一個非負(fù)數(shù)．正解：.易錯點(diǎn)3理解題意不當(dāng)致錯例3的平方根是______．錯解：的平方根是±4．剖析：錯解將的平方根當(dāng)成了的平方根，其實(shí)是求的算術(shù)平方根的平方根.正解：.例4的立方根是______．錯解：的立方根是-3．剖析：錯解在于沒有很好地理解題意，-3是-27的立方根，而不是的立方根.正解：.易錯點(diǎn)4混淆平方根與立方根致錯例564的立方根是_____.錯解：64的立方根為±4.剖析：錯解將平方根與立方根混淆了，一個正數(shù)的立方根仍為正數(shù)，一個負(fù)數(shù)的立方根仍為負(fù)數(shù)，0的立方根是0．正解：.參考答案：例1±4例23.142-π例3±2例4例54重點(diǎn)難點(diǎn)“方根”兄弟的家庭聚會自主學(xué)習(xí)1.①25的平方根是______；②0的平方根是_______；③25的算術(shù)平方根是_______；幫你歸納：平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別如下：聯(lián)系：①具有包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中正的那個；②存在條件相同：平方根和算術(shù)平方根都是只有非負(fù)數(shù)才有.區(qū)別：①個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，而一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個；②表示方法不同：正數(shù)a的平方根表示為±，正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為.2.①64的立方根是________；②-8的立方根是________；③0的立方根是_________.幫你歸納：任何數(shù)的立方根都只有1個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.中的被開方數(shù)可以是任何實(shí)數(shù)，且始終滿足=-.課堂直播1.求一個非負(fù)數(shù)的平方根（算術(shù)平方根）例1分別求出下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根.（1）16；（2）；（3）0.0036.思路點(diǎn)撥：根據(jù)平方和開平方互為逆運(yùn)算，再借助平方根和算術(shù)平方根的意義，即可確定出一個非負(fù)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根.2.求一個數(shù)的立方根例2求下列各數(shù)的立方根.（1）-216；（2）；（3）-0.125.思路點(diǎn)撥：根據(jù)立方和開立方互為逆運(yùn)算，再借助立方根的意義，即可確定出一個數(shù)的立方根.3.運(yùn)用方根的性質(zhì)解方程例3求下列各式中x的值：（1）（x-1）2=25；（2）2（x-1）3=-.思路點(diǎn)撥：把括號里的式子看成一個整體（即先求出x-1的值），把問題轉(zhuǎn)化為求平方根（或立方根）的問題.注意一個正數(shù)的平方根有兩個，解答時不要漏解.4.算術(shù)平方根的非負(fù)性例4已知x，y為任意有理數(shù)，若，則（x+y）2017=.思路點(diǎn)撥：由絕對值、算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù)，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)“若干個非負(fù)數(shù)的和為零，則其中每一個非負(fù)數(shù)均為零”可得到x+1=0，y-2=0，解出x，y的值代入（x+y）2017中求解即可.交流探索王師傅準(zhǔn)備從一塊面積為25平方分米的正方形工料上裁剪出一塊面積為18平方分米的長方形的工件．（1）求正方形工料的邊長；（2）若要求長方形工件的長與寬之比為3:2，問：這塊正方形工料是否能裁出符合要求的長方形工件？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）思考：（1）根據(jù)正方形的面積公式求出的值即可；（2）根據(jù)題意，列出方程，即可求解.同學(xué)們?nèi)绻谔剿鬟^程中遇到困難，請到《生活中的方根》中去尋找答案吧！參考答案：自主學(xué)習(xí)：1.①±5②0③52.①4②-2③0課堂直播：例1（1）±4，4；（2）±，；（3）±0.06，0.06.例2（1）-6；（2）；（3）-0.5.例3（1）x=6或x=-4；（2）x=.例41比較實(shí)數(shù)大小有絕招一、利用數(shù)軸比較例1在eq\f(1,3)，0，-1，eq\r(2)這四個實(shí)數(shù)中，最大的是（）A．eq\f(1,3)B．0C．-1D．eq\r(2)解析：如圖1，將這四個數(shù)表示在數(shù)軸上，最右邊的點(diǎn)表示的數(shù)是eq\r(2)，所以這四個數(shù)中，最大的數(shù)是eq\r(2).故選D.點(diǎn)評：利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小，正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù).二、用求差法比較例2比較大?。?（填“＞”、“＜”或“=”）.解析：-1=-=.因?yàn)椋?3，所以-3＜0，所以＜0，即＜1.故填＜.點(diǎn)評：本題利用求差法比較實(shí)數(shù)大小，關(guān)鍵是判斷出差的符號.三、利用取近似值法比較例3將實(shí)數(shù)eq\r(5)，π，0，-6按由小到大用“＜”號連起來.解析：問題集中在比較eq\r(5)和π的大小，因?yàn)閑q\r(5)≈2.236，π≈3.14，所以eq\r(5)＜π.故填-6＜0＜eq\r(5)＜π.點(diǎn)評：適當(dāng)取一些實(shí)數(shù)的近似值，通過比較近似值的大小來比較原數(shù)的大小.四、利用平方法比較例4比較和的大小.解析：因?yàn)椋ǎ?=，（）2=3=，又＜，所以＜.點(diǎn)評：將兩個實(shí)數(shù)分別進(jìn)行平方運(yùn)算，通過比較平方結(jié)果的大小來確定原數(shù)的大小.身邊數(shù)學(xué)生活中的方根數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活．下面我們一起走進(jìn)生活，去感受一下方根的“魅力”．一、平方根在生活中的應(yīng)用例1學(xué)校準(zhǔn)備在旗桿附近修建一個面積為81平方米的花壇，現(xiàn)有兩種設(shè)計方案：方案一：建成正方形；方案二：建成圓形.如果請你決策，從節(jié)省材料的角度考慮，你選擇哪一種方案？請說明理由.（π取3.14）分析：從節(jié)省材料的角度考慮，就是用料少，即花壇周長小，因此只需要由已知條件計算出兩種方案中各圖形的周長，然后比較大小即可.解：設(shè)正方形的邊長為a米，由題意，得a2=81，解得a=±9.因?yàn)閍＞0，所以a=9，則4a=36，即方案一建成正方形的花壇需要用料36米.設(shè)圓的半徑為r米，由題意，得πr2=81，解得r=≈±5.08.因?yàn)閞＞0，所以≈5.08，則2πr≈31.90，即方案二建成圓形的花壇需要用料約31.90米.由于31.90＜36，顯然方案二用料少一些，所以選用方案二.二、立方根在生活中的應(yīng)用例2老李是一位圖書愛好者，平時愛好讀書，擁有很多藏書．同時，他又是一位熱心人，每逢月末他都將8只棱長為60厘米的正方體紙箱裝滿書后運(yùn)到老年娛樂中心，供老年朋友們免費(fèi)借閱．為了方便裝運(yùn)，現(xiàn)在他想把這些書都放入一個新制的正方體木箱內(nèi)，正好放下，求新制的正方體木箱的棱長．分析：根據(jù)8只木箱內(nèi)的書正好放入新制的木箱，說明8只木箱的體積之和等于新木箱的體積.可設(shè)出新木箱的棱長，建立方程解決．解：設(shè)新制的正方體木箱的棱長為x厘米.根據(jù)題意，得x3=8×603，解得x=120.答：新制的正方體木箱的棱長為120厘米．通過以上學(xué)習(xí)，我們現(xiàn)在來解析一下1版“交流探索”.（1）正方形工料的邊長是5分米；（2）設(shè)長方形工件的長為3x分米，則寬為2x分米．根據(jù)題意，得3x·2x=18，解得x=．因?yàn)?x=3≈5.196＞5，所以這塊正方形工料不能裁出符合要求的長方形工件．身邊數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)點(diǎn)綴精彩生活今天的世界豐富多彩，生活中新的數(shù)學(xué)問題不斷涌現(xiàn)，只要你留心，便會發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)正圍繞在你身邊.下面就讓我們一起走進(jìn)多彩生活，體會實(shí)數(shù)的美妙應(yīng)用.例1在水平地面上有一個網(wǎng)球發(fā)射器向空中隨機(jī)發(fā)射網(wǎng)球，一段時間內(nèi)發(fā)射器連續(xù)發(fā)射分別貼有①②③④四個標(biāo)簽的網(wǎng)球，這四個標(biāo)簽上依次寫有相應(yīng)的數(shù)或式子：+3，×，-4，，接住貼有最大實(shí)數(shù)的網(wǎng)球才能得分，你認(rèn)為應(yīng)該接住貼有標(biāo)簽的網(wǎng)球是.（填標(biāo)簽號）解析：對于+3，-4，將它們分別進(jìn)行適當(dāng)變形，通過找中間值來比較大小，對于×，，可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，然后比較.因?yàn)?3＜+3=4+3=7，-4＞-4=11-4=7，×=-3×4=-12，==，所以-4＞+3＞＞×，所以貼有最大實(shí)數(shù)的網(wǎng)球是③，故填③.例2某農(nóng)場擬建兩間長方形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，并在圖1所示的三處各留1m寬的門，垂直于墻的邊AD的長為m，平行于墻的邊AB的長為m，那么擬建墻體所需要的材料（不包括門）總長為___m.圖1解析：由題意得AD===9，AB==12，則所需材料的總長為3·AD+AB-3=3×9+12-3=36（m）.故填36.例3陳老師要為他家的長方形餐廳（如圖2）選擇一張餐桌，并且想按如下要求擺放：餐桌一側(cè)靠長230cm的墻放置，靠墻對面的桌邊留出寬度不小于80cm的通道，另兩邊各留出寬度不小于60cm的通道．那么在圖3所示的兩張餐桌中，其大小規(guī)格符合要求的餐桌編號是(把符合要求的編號都寫上)．230cm230cm圖2餐廳180cm門桌面是面積為6400cm2的正方形①桌面是長、寬分別為cm和cm的長方形②圖3解析：先計算出符合要求的最大尺寸：餐桌最長為230－60×2＝110（cm），最寬為180－80＝100（cm）．①號餐桌的邊長為＝80（cm）＜100cm，符合要求．②號餐桌：＝＝＝34＝81（cm）＜100cm，cm＝100cm，符合要求．所以兩張餐桌都符合要求.故填①②．專題講座實(shí)數(shù)與數(shù)軸的完美對接一、比較大小例1已知a，b在數(shù)軸上的位置如圖1所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＜-a＜bB．|a|＞b＞-aC．-a＞|a|＞bD．|a|＞|-1|＞|b|分析：先判斷出a，b的符號及與1和-1的大小關(guān)系，再做出判斷．解：觀察數(shù)軸可知a＜-1＜0＜b＜1，所以-a＞b，選項(xiàng)A錯誤；又因?yàn)閨a|=-a，所以選項(xiàng)B，C錯誤；易知|a|＞|-1|＞|b|.故選D.二、化簡例2實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖2所示，則|a-b|-的結(jié)果為（）A．bB．2a-bC．-bD．b-2a分析：由數(shù)軸得到a＜0＜b，根據(jù)絕對值的性質(zhì)和算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡計算即可．解：由數(shù)軸可知a＜0＜b，則a-b＜0.所以|a-b|-=-a+b+a=b.故選A.三、估算例3如圖3，數(shù)軸上有O，A，B，C，D五點(diǎn)，根據(jù)圖中各點(diǎn)所表示的數(shù)，判斷在數(shù)軸上的位置會落在線段___上.分析：先估算的范圍，再判斷在數(shù)軸上的大概位置.解：因?yàn)椋?4，＜≈4.