數(shù)學(xué)八年級(jí)蘇科版（上冊(cè)）第1章全等三角形同步輔導(dǎo)

第第頁“HL”判定全等三注意一、必須在直角三角形中使用“HL”只適用于直角三角形全等的判定，對(duì)一般三角形不適用．因此，在使用前，一定要先弄清楚三角形是否是直角三角形．例1兩根長度相等的鋼繩，一端系在垂直于地面的電線桿上（點(diǎn)A處），另一端分別固定在地面的兩個(gè)鐵樁（點(diǎn)B，C）上，如圖1所示，兩個(gè)鐵樁與電線桿底部的距離相等嗎？為什么？解：兩個(gè)鐵樁與電線桿底部的距離相等，即BD=CD.理由：因?yàn)锳D⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，AB=AC，AD=AD，所以Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）．所以BD=CD.二、不是判定直角三角形全等的唯一方法“HL”可以判定兩直角三角形全等，但是一定要注意它不是判定兩直角三角形全等的唯一方法，判定一般三角形全等的方法都適用于直角三角形．例2下列結(jié)論：①有一銳角和該銳角所對(duì)的直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；②有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；③斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；④所有的直角三角形都全等．其中正確的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析：本題可能同學(xué)們認(rèn)為只有③正確，錯(cuò)選A．實(shí)際上“HL”不是判定直角三角形全等的唯一條件，其中①可以根據(jù)條件利用“AAS”來判定全等．故選B．三、有時(shí)需要構(gòu)造直角三角形例3如圖2，AC⊥AD，BC⊥BD，AC=BD.求證AD=BC．證明：連接DC.因?yàn)锳C⊥AD，BC⊥BD，所以∠A=∠B=90°．在Rt△ADC和Rt△BCD中，DC=CD，AC=BD，所以Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）．所以AD=BC.方法點(diǎn)擊倍長中線巧構(gòu)全等圖1在需要構(gòu)造全等三角形解題時(shí)，我們常常會(huì)用到“倍長中線法”，即加倍延長中線，使所延長部分與中線相等.合理運(yùn)用此法，可以順利解決與三角形中線相關(guān)的邊角問題.圖1例1（2017年達(dá)州）在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中線，設(shè)AD長為m，則m的取值范圍是_____________.分析：可以選擇應(yīng)用“倍長中線法”，如圖1，延長AD至點(diǎn)E，使AD=DE，連接CE.先證明△ADB≌△EDC，得出EC=AB=5，再在△AEC中，應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系確定出AE的范圍，即可求得m的取值范圍.解：如圖1，延長AD至點(diǎn)E，使AD=DE，連接CE，則AE=2m.

因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD=CD.

在△ADB和△EDC中，AD＝ED，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以△ADB≌△EDC.所以EC=AB=5.由三角形的三邊關(guān)系，得EC-AC＜AE＜AC+EC，即5-3＜2m＜5+3，解得1＜m＜4.

故填1＜m＜4.例2如圖2，D是△ABC的邊BC上的點(diǎn)，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證∠C=∠BAE．圖2分析：如圖2，延長AE到點(diǎn)F，使EF=AE，連接DF，尋找條件證明△ABE≌△FDE，推出∠BAE=∠EFD，∠B=∠EDF，再由外角的性質(zhì)得出∠ADF=∠ADC，即可證得△ADF≌△ADC，得出∠AFD=∠C，從而推出結(jié)論.圖2證明：如圖2，延長AE到點(diǎn)F，使EF=AE，連接DF.因?yàn)锳E是△ABD的中線，所以BE=DE.在△ABE和△FDE中，BE＝DE，∠AEB＝∠FED，AE＝FE，所以△ABE≌△FDE（SAS）.所以AB=DF，∠BAE=∠F.因?yàn)椤螦DB是△ADC的外角，所以∠DAC+∠C=∠ADB=∠BAD.因?yàn)椤螧AE+∠EAD=∠BAD，所以∠F+∠EAD=∠DAC+∠C.所以∠ADF=∠ADC.因?yàn)锳B=DC，所以DF=DC.在△ADF和△ADC中，AD＝AD，∠ADF＝∠ADC，DF＝DC，所以△ADF≌△ADC（SAS）.所以∠C=∠F=∠BAE.圖3【牛刀小試圖3如圖3，在△ABC中，BD=AC，∠CAD=∠CDA，E是DC的中點(diǎn)，若∠BAE=80°，則∠BAD的度數(shù)為____________.參考答案：40°提示：延長AE到點(diǎn)M，使EM=AE，連接DM.由SAS證明△DEM≌△CEA，得出∠C=∠MDE，DM=AC，推出DM=BD，∠ADM=∠ADB，由SAS證明△ADB≌△ADM，推得∠BAD=∠MAD=40°.易錯(cuò)剖析避開全等三角形判定的誤區(qū)1.錯(cuò)用兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等說明全等圖1例1如圖1，在△ABC中，已知AB=AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，且CD=BE，那么△ADC與△AEB全等嗎？說說理由.圖1錯(cuò)解：△ADC≌△AEB.理由：在△ADC和△AEB中，AC=AB，CD=BE，∠CAD=∠BAE，所以△ADC≌△AEB（SSA）.剖析：錯(cuò)解把SSA作為三角形全等的判定方法，實(shí)際上，SSA不能判定三角形全等.本題由已知條件就可以得到三邊對(duì)應(yīng)相等，直接利用SSS說明△ADC與△AEB全等即可.正解：___________________________________________.2.錯(cuò)用部分當(dāng)整體說明全等圖2例2如圖2，已知AB=AC，BD=CE，∠B=∠C，試說明△ABE與△ACD全等.圖2錯(cuò)解：在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，所以△ABE≌△ACD（SAS）.剖析：錯(cuò)解把三角形邊上的一部分當(dāng)做說明的條件，這不符合三角形全等的判定方法.應(yīng)該由BD=CE推出BE=CD，然后利用SAS證明△ABE≌△ACD.正解：___________________________________________.第3期易錯(cuò)剖析答案：例1△ADC≌△AEB.理由：因?yàn)锳B=AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以AD=AE.在△ADC和△AEB中，AC=AB，AD=AE，CD=BE，所以△ADC≌△AEB（SSS）.例2因?yàn)锽D=CE，所以BD+DE=CE+DE，即BE=CD.在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C，BE=CD，所以△ABE≌△ACD（SAS）.靈活選擇巧妙判定——直角三角形全等的判定判定直角三角形全等，除了常用的“AAS”、“ASA”等方法外，還有特定的方法“HL”.在實(shí)際問題中，要根據(jù)已知條件，靈活選擇判定方法，下面我們通過舉例說明.一、利用“AAS”、“ASA”、“SAS”判定直角三角形全等例1如圖1，AC與BD相交于點(diǎn)O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，且OB=OC.求證：BE=CF.分析：要證明BE=CF，可先證明△BOE≌△COF.由已知條件及一對(duì)對(duì)頂角，利用AAS即可證得.證明：因?yàn)锽E⊥AC，CF⊥BD，所以∠BEO=∠CFO=90°.圖2在△BOE和△COF中，∠BEO=∠CFO，∠EOB=∠FOC，OB=OC，所以△BOE≌△COF（AAS）.所以BE=CF.圖2圖1圖1ABCDEFO例2如圖2，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)E在AC上，且AE=BC，ED⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AF⊥AC，交ED的延長線于點(diǎn)F．求證：AB=EF．分析：要證AB=EF，只需證△AFE≌△CAB.由已知條件，推得∠DEA=∠B，根據(jù)ASA判定即可.證明：因?yàn)锳D⊥EF，所以∠ADE=∠ACB=90°.所以∠DAE+∠DEA=∠DAE+∠B=90°，即∠DEA=∠B.因?yàn)锳F⊥AC，所以∠FAE=∠C=90°.在△AFE和△CAB中，∠FAE=∠C，AE=BC，∠DEA=∠B，所以△AFE≌△CAB（ASA）．所以AB=EF．圖3二、利用“HL”判定直角三角形全等圖3例3如圖3，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC=BD，CE=DF，求證：AC∥BD．分析：利用“HL”直接證出Rt△ACE≌Rt△BDF，得到∠A=∠B.證明：因?yàn)镃E⊥AB，DF⊥AB，所以∠CEA=∠DFB=90°．又AC=BD，CE=DF，所以Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）．所以∠A=∠B.所以AC∥BD．專題講座全等三角形的動(dòng)感地帶ABCDQABCDQP例如圖，AB=AC=10cm，BC=8cm，∠B=∠C，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上.以3cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的速度相等，1s時(shí)，△BPD與△CQP是否全等？并說明理由；（2）點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CPQ全等；（3）若點(diǎn)Q以（2）中的速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC的三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過多長時(shí)間，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？分析：（1）當(dāng)t=1s時(shí)，BP=CQ=3cm，可以證明CP=BD，然后證明△DBP≌△PCQ；（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，時(shí)間是ts，能夠使△BPD與△CQP全等，求出BD=5cm，BP=3tcm，CP=（8-3t）cm，CQ=xtcm，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分兩種情況求解；（3）設(shè)經(jīng)過xs，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，可以列出方程x=3x+2×10，解方程即可.解：（1）△BPD與△CQP全等.理由：因?yàn)锳B=AC=10cm，D為AB的中點(diǎn)，所以BD=5cm.因?yàn)锽P=CQ=3cm，所以CP=8-3=5（cm），即CP=BD.在△DBP和△PCQ中，BD=CP，∠B=∠C，BP=CQ，所以△DBP≌△PCQ（SAS）.（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，時(shí)間是ts，能夠使△BPD與△CQP全等.由題意，知BD=5cm，BP=3tcm，CP=（8-3t）cm，CQ=xtcm，∠B=∠C，所以當(dāng)BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ時(shí)，△BPD與△CQP全等，即①3t=xt，5=8-3t，解得x=3（不合題意，舍去）；②3t=8-3t，5=xt，解得x=，即當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等.（3）設(shè)經(jīng)過xs，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇.由題意，得x=3x+2×10，解得x=．所以點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了×3=80（cm）．△ABC周長為10+10+8=28（cm）.若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了3圈，即為28×3=84（cm）.因?yàn)?4-80=4（cm）＜AB，所以點(diǎn)P，Q在AB邊上相遇.所以經(jīng)過s，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇.點(diǎn)評(píng)：本題通過三角形全等列方程來解決動(dòng)點(diǎn)問題，解題時(shí)要把握在某一時(shí)刻三角形可以全等，抓住了全等，得到線段長相等，然后列方程.通過本例的學(xué)習(xí)，相信你一定會(huì)解1版“交流探索”中的題目了吧！專題講座熱心腸的全等三角形1.求角度圖1例1（2017年溫州，有改動(dòng)）如圖1，在五邊形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD，∠ACD=∠ADC．圖1（1）求證：△ABC≌△AED；（2）當(dāng)∠B=140°時(shí)，求∠BAE的度數(shù)．分析：（1）根據(jù)∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，進(jìn)而運(yùn)用SAS即可判定三角形全等；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，運(yùn)用五邊形內(nèi)角和，即可得到∠BAE的度數(shù)．（1）證明:因?yàn)椤螦CD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，所以∠ACB=∠ADE.在△ABC和△AED中，BC=ED，∠ACB=∠ADE，AC=AD，所以△ABC≌△AED（SAS）.（2）解：因?yàn)椤螧=140°，所以∠E=140°.又因?yàn)椤螧CD=∠EDC=90°，所以∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．圖22.求線段圖2例2如圖2，已知△ABC≌△DEF，若△ABC的周長為25cm，AB=6cm，CA=8cm，則EF=__________cm.分析：利用全等三角形的性質(zhì)得到DE，DF的長度，再利用全等三角形的周長相等，即可求得EF.解：因?yàn)椤鰽BC≌△DEF，所以DE=AB，DF=AC，E