經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊(cè)）課件 第3講1.3無窮小量與無窮大量

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第三講顧靜相1.3無窮小量與無窮大量教學(xué)要求理解無窮小的概念和性質(zhì)，會(huì)對(duì)無窮小進(jìn)行比較．無窮小量與無窮大量

定義1.12若函數(shù)

y=f(x)在自變量

x的某個(gè)變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中，

f(x)為無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮?。疅o窮小量與無窮大量

定義1.12若函數(shù)

y=f(x)在自變量

x的某個(gè)變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中，

f(x)為無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮?。?/p>

例如，當(dāng)

x→0時(shí)，sinx，

，

x3是無窮小量；

當(dāng)

x→1時(shí)，(x-

1)3

是無窮小量；

當(dāng)

x→∞時(shí)，

，

是無窮小量．我們經(jīng)常用希臘字母

α，β，γ

來表示無窮小量．無窮小量與無窮大量注意：(1)定義中所說的變化過程，包括1.2節(jié)所定義的函數(shù)極限的六種形式；(2)無窮小的定義對(duì)數(shù)列也適用；(3)無窮小量是以零為極限的變量，不要把一個(gè)很小的數(shù)誤認(rèn)為是無窮小量；(4)不能籠統(tǒng)地說某個(gè)函數(shù)是無窮小量，必須指出它的極限過程．因?yàn)闊o窮小量是與極限過程相聯(lián)系的．在某個(gè)變化過程中的無窮小量，在其他過程中則不一定是無窮小量．極限與無窮小之間的關(guān)系

定理1.2

函數(shù)

f(x)以

A為極限的充分必要條件是：f(x)可以表示為

A與一個(gè)無窮小量

α

之和．即

，

其中

limα=0．無窮小量與無窮大量

定義1.13若在自變量

x的某個(gè)變化過程中，函數(shù)

是無窮小量，即則稱在該變化過程中，

f(x)為無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大，記作Limf(x)=∞．

無窮小量與無窮大量

例如，當(dāng)

x→0時(shí)，

是無窮大量；

當(dāng)

x→0+

時(shí)，cotx，

是無窮大量；

當(dāng)

x→∞時(shí)，x+2，x2是無窮大量．無窮小量與無窮大量注意：(1)關(guān)于無窮大量的定義，對(duì)數(shù)列也適用．(2)無窮大量是一個(gè)變化的量，一個(gè)不論多么大的數(shù)，都不能作為無窮大量．(3)函數(shù)在變化過程中絕對(duì)值越來越大且可以無限增大時(shí)，才能稱無窮大量．(4)當(dāng)我們說某個(gè)函數(shù)是無窮大量時(shí)，必須同時(shí)指出它的極限過程．無窮小量與無窮大量的關(guān)系

當(dāng)

x→0時(shí)，x3是無窮小量，是無窮大量；

當(dāng)

x→∞時(shí)，x+2是無窮大量，

是無窮小量．這說明無窮小量和無窮大量存在倒數(shù)關(guān)系．無窮小量的性質(zhì)

性質(zhì)1.1有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量．

性質(zhì)1.2有界變量乘無窮小量仍是無窮小量．

性質(zhì)1.3常數(shù)乘無窮小量仍是無窮小量．

性質(zhì)1.4無窮小量乘無窮小量仍是無窮小量．例4求．

無窮小量的性質(zhì)例4求．

無窮小量的性質(zhì)解因?yàn)?/p>

，所以

是有界變量；當(dāng)

x→0時(shí)，x

是無窮小量．根據(jù)性質(zhì)1.2，乘積

是無窮小量．即

．記

，

，

，它們都是

時(shí)的無窮小量．但，

，

．

無窮小量的階

定義1.14設(shè)

α、β

是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小量，

(1)若

，則稱

α是比

β

高階的無窮小量．也稱

β

是比

α

低階的無窮小量．

(2)若