2.4圓的方程（知識解讀達(dá)標(biāo)測試）

2.4圓的方程

【考點1：由圓的方程求圓心與半徑】【考點2：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【考點3：求圓的一般方程】【考點4：二元二次方程與圓的關(guān)系】

【考點5：點與圓的位置關(guān)系】【考點6：與圓有關(guān)的對稱問題】

【考點7：與圓有關(guān)的軌跡問題】

【考點8：與圓有關(guān)的最值問題】

知識點1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。其中，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑。2、確定圓的基本要素是：圓心和半徑3、圓的方程：圓心為，半徑長為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4、幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件方程的標(biāo)準(zhǔn)形式圓心在原點圓過原點圓心在軸圓心在軸圓心在軸上且過原點圓心在軸上且過原點圓與軸相切圓與軸相切圓與兩坐標(biāo)軸都相切

【考點1：由圓的方程求圓心與半徑】

【典例1】圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．， B．， C．，3 D．，3【答案】A【分析】利用給定圓的方程直接求出圓心坐標(biāo)及半徑即得.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.故選：A【變式11】圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得圓心坐標(biāo)和半徑.【詳解】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得圓心坐標(biāo)為，半徑為.故選：D【變式12】圓的圓心和半徑分別是（

）A．， B．，2 C．，1 D．，【答案】D【分析】直接由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心和半徑，即可得到答案．【詳解】由圓的方程，可得它的圓心和半徑分別為，．故選：D．【變式13】已知圓，則圓心與半徑分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】直接利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的圓心與半徑即可【詳解】圓的方程為為標(biāo)準(zhǔn)形式，即圓心與半徑分別為，故選：D.【考點2：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【典例2】在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為，半徑為2的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓心和半徑直接確定圓的方程.【詳解】由題意可得方程為.故選：C.【變式21】已知圓的圓心在，半徑為5，則它的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.【詳解】因為圓心為，半徑為5，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C【變式22】過圓外一點，以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知求出所求圓的圓心和半徑，即可求得答案.【詳解】由圓可知，，故以為直徑的圓的圓心為，半徑為，故以為直徑的圓的方程為，故選：D【變式23】已知圓C經(jīng)過點和點，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法求得圓C的一般方程，進(jìn)而得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)圓C的方程為，則圓心，則有，解之得,則有圓C的方程為，即故選：C知識點2：點和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點在圓上（2）若點在圓外（3）若點在圓內(nèi)知識點3：圓的一般方程當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識點詮釋：由方程得（1）當(dāng)時，方程只有實數(shù)解．它表示一個點．（2）當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當(dāng)時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．

知識點4：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組．（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．【考點3：求圓的一般方程】【典例3】已知圓的圓心在直線上，且過點，，則圓的一般方程為.【答案】【分析】方法一：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點的坐標(biāo)，建立方程組，求出答案；方法二：求出線段AB的垂直平分線方程，聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而計算出半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化為一般方程.【詳解】方法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得:，解得：故所求圓的方程為，即.方法二：線段的中點坐標(biāo)為，即，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，即，由幾何性質(zhì)可知：線段的垂直平分線與的交點為圓心，聯(lián)立，得交點坐標(biāo)，又點到點的距離，即半徑為，所以圓的方程為，即.故答案為：【變式31】求經(jīng)過點且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】分析出圓心在直線上，再結(jié)合其在上，最后得到圓心坐標(biāo)即可得到答案.【詳解】若經(jīng)過點，，則圓心在直線上，又在直線l：上，令，則，故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【變式32】在中，，B和C．則的外接圓方程為．【答案】【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入點的坐標(biāo)求解即可．【詳解】由題意設(shè)圓的方程為，代入三個點的坐標(biāo)可得，解得，所以的外接圓方程為，故答案為：．【變式33】已知圓，若圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓方程.【答案】【分析】先利用配方法求得圓的圓心與半徑，根據(jù)直線的對稱性求得圓的圓心，從而得解.【詳解】圓可化為，則其圓心，半徑，設(shè)圓的圓心為，因為圓與圓關(guān)于直線對稱，所以，整理得，解得，所以圓得方程為：.故答案為：【考點4：二元二次方程與圓的關(guān)系】

【典例4】多選題若曲線是一個圓，則的取值可以是（

）A． B． C．2 D．6【答案】AD【分析】根據(jù)方程表示圓求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為曲線表示圓，所以，解得或.故選：AD

【變式41】方程表示一個圓，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡方程為，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到不等式，即可求解.【詳解】由方程，可化為，要使得方程表示一個圓，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.【變式42】若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將方程表示圓，化為標(biāo)準(zhǔn)式得出，由點在圓外，得出，即可結(jié)合得出答案.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)式：，則，即，又點在圓的外部，，解得，綜上：.故選：C.【變式43】若表示圓的方程，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的一般式滿足的條件即可列不等式求解.【詳解】因為方程表示一個圓，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D

【考點5：圓過定點問題】【典例5】點是直線上任意一點，是坐標(biāo)原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【分析】設(shè)點，求出以為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點坐標(biāo).【詳解】設(shè)點，則線段的中點為，圓的半徑為，所以，以為直徑為圓的方程為，即，即，由，解得或，因此，以為直徑的圓經(jīng)過定點坐標(biāo)為、.故選：D.【變式51】若圓過坐標(biāo)原點，則實數(shù)m的值為（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【答案】A【分析】把坐標(biāo)代入圓方程求解．注意檢驗，方程表示圓．【詳解】將代入圓方程，得，解得或2，當(dāng)時，，舍去，所以.故選：A．【變式52】當(dāng)m變化時，圓x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒過定點.【答案】（0，－2）和（0，1）【詳解】解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化為（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定點坐標(biāo)是（0，－2）和（0，1）.【變式53】圓心在拋物線上，且與直線相切的圓一定過的點是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)得出圓的半徑為圓心到直線的距離，對于圓心到拋物線的焦點的距離，故拋物線的焦點在圓上．【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點為．設(shè)動圓圓心為，則到的距離：．動圓與直線相切，到直線的距離為動圓半徑，即動圓半徑為，即為圓上的點．此圓恒過定點．故選：B．知識點5：軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1、當(dāng)動點滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時，常采用直接法；當(dāng)動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當(dāng)動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（或稱相關(guān)點法）．2、求軌跡方程時，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設(shè)條件的點或線等．3、求軌跡方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；（5）作答．

【考點6：與圓有關(guān)的對稱問題】

【典例6】圓關(guān)于直線對稱后的方程為（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知圓的圓心求出關(guān)于直線對稱的圓的圓心，求出半徑，即可得到所求結(jié)果.【詳解】因為圓，所以圓的圓心為，半徑為，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，所以，解得：，所以所求圓的圓心為，半徑為,故所求圓的方程為：.故選：A.【變式61】若曲線上相異兩點P、Q關(guān)于直線對稱，則k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)圓上的任意兩點關(guān)于直徑對稱即可求解.【詳解】若曲線上相異兩點P、Q關(guān)于直線對稱，則圓心在直線上，故代入解得，故選：D．【變式62】已知圓：與圓：關(guān)于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點的坐標(biāo)，求其中點坐標(biāo)以及斜率，根據(jù)對稱軸與兩對稱點連接線段的關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意得，，則的中點的坐標(biāo)為，直線的斜率.由圓與圓關(guān)于對稱，得的斜率.因為的中點在上，所以，即.故選：C.

【考點7：與圓有關(guān)的軌跡問題】

【典例7】如圖，已知點是棱長為2的正方體的底面內(nèi)（包含邊界）一個動點，若點到點的距離是點到的距離的兩倍，則點的軌跡的長度為．【答案】【分析】根據(jù)題意，得到，以為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合，求得點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，再由扇形的弧長公式，即可求解.【詳解】在正方體中，可得平面，因為平面，所以，則點到的距離等于點到點的距離，即，在底面中，以為原點，以所在的直線分別為軸和軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，設(shè)，由，可得，整理得，即點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，又由，可得，所以，即所對的圓心角為，所以點的軌跡的長度為圓弧長為.故答案為：.【變式71】已知動點到點的距離是到點的距離的2倍，則動點的軌跡所圍成圖形的面積為．【答案】【分析】先求出P的軌跡方程，再求面積.【詳解】設(shè)，由題意，則，平方化簡得，即的軌跡是半徑為4的圓，所圍成圖形面積為.故答案為：.

【變式72】已知線段的端點的坐標(biāo)，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡所圍成圖形的面積（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用相關(guān)點法求得點的軌跡方程，進(jìn)而求得面積.【詳解】設(shè)線段的中點，，則，即，又因為端點在圓上運動，所以，即，整理得：，所以點的軌跡方程是以圓心為，半徑為的圓.所以該圓的面積為.故選：C.【變式73】線段長度為4，其兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段中點的軌跡所圍成圖形的面積為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】利用幾何法直接求出軌跡方程，進(jìn)而由圓的面積公式求解.【詳解】，設(shè)為線段中點，，設(shè)，則，即．則線段中點的軌跡是以坐標(biāo)原點為圓心，2為半徑的圓；故線段中點的軌跡所圍成圖形的面積為.故選：D

【考點8：與圓有關(guān)的最值問題】【典例8】在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上動點，則的最小值為（

）A．34 B．40 C．44 D．48【答案】B【分析】借助點到直線的距離公式與圓上的點到定點距離的最值計算即可得.【詳解】設(shè)，則，即等價于點到點的距離的平方的兩倍加八，又，即.故選：B.【變式81】已知點A為曲線上的動點，B為圓上的動點，則的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】數(shù)形結(jié)合分析可得，當(dāng)時能夠取得的最小值，根據(jù)點到圓心的距離減去半徑求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，由對勾函數(shù)的性質(zhì),可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，結(jié)合圖象可知當(dāng)A點運動到時能使點A到圓心的距離最小，最小值為4，從而的最小值為.故選：A【變式82】已知向量，，滿足，，，，則的最小值等于（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，向量的坐標(biāo)滿足方程，結(jié)合向量的數(shù)量積公式求得結(jié)果.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意令，，，，因為，所以，即，，則，則，則的最小值為4.故選：C.

【變式83】在平面直角坐標(biāo)系中，已知P是圓上的動點，若，則的最小值為（

）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)，再根據(jù)圓的性質(zhì)求的最小值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)P在線段CO上時等號成立.故選：B.1.經(jīng)過，，三個點的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)經(jīng)過，，三個點的圓的方程為，代入三點坐標(biāo)可得答案.【詳解】設(shè)經(jīng)過，，三個點的圓的方程為，由題意可得，解得，且滿足，所以經(jīng)過，，三個點的圓的方程為，即為.故選：C.2．圓心在軸上，且過點的圓與軸相切，則該圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)圓心坐標(biāo)，建立方程，求解即可.【詳解】解：設(shè)圓心坐標(biāo)為，因為圓心在軸上且圓與軸相切，所以即為半徑,則根據(jù)題意得：，解得，所以圓心坐標(biāo)為：，半徑為5，該圓的方程是,展開得：.故選：C.3．圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點到直線距離公式即可.【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選：D.4．已知是邊長為的正三角形，點是所在平面內(nèi)的一點，且滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】可由重心的性質(zhì)結(jié)合向量運算得到點的軌跡，再結(jié)合圓上的點到圓外定點的距離最小值為圓心到定點減半徑得到；亦可建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運算結(jié)合圓的性質(zhì)得解.【詳解】法一：設(shè)的重心為，則，點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，又，的最小值是.法二：以所在直線為軸，以中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，即，化簡得，點的軌跡方程為，設(shè)圓心為，，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)過圓心時最小，又，故得最小值為.故選：C.5．曲線所圍成的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓的半徑，即可求解.【詳解】由，得，故該曲線圍成區(qū)域的面積為半徑為3的圓的面積為.故選：D.6．直線與軸，軸分別交于點、，以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線方程求出、點的坐標(biāo)，從而求出的中點即為圓心，長的一半為半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫出，再化為一般方程即可.【詳解】直線，即，與軸，軸分別交于點、，則的中點為，且，所以以線段為直徑的圓的方程為，即.故選：B7．圓的圓心到直線與直線的距離相等，則實數(shù)（

）A． B．1或 C．或3 D．3【答案】C【分析】由題意可知，則，解之即可求解.【詳解】由，知，則，解得或．故選：C．8．由動點向圓引兩條切線，切點分別為，若四邊形為正方形，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形可得動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，求出方程即可.【詳解】因為四邊形為正方形，且,所以,故動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其方程為.故選：B9．過圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．．C． D．【答案】A【分析】設(shè)所求圓的方程為，求出圓心坐標(biāo)代入直線，求得，即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)所求圓的方程為，即，圓心坐標(biāo)為，代入中，即，解得，將代入中，即，滿足，故所求圓的方程為，故選：A10．經(jīng)過點(2，0)，且圓心是兩直線x－2y＋1＝0與x＋y－2＝0的交點的圓的方程為（

）A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2【答案】D【詳解】由得即所求