1.4數(shù)學(xué)歸納法（2知識點(diǎn)5題型強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版）

1.4數(shù)學(xué)歸納法課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題。（1）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理;（2）會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式；（3）會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；（4）會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法求數(shù)列通項(xiàng)公式.知識點(diǎn)01數(shù)學(xué)歸納法的概念一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n=n0(2)(歸納遞推)以“當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)命題成立”為條件，推出只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法解析1.數(shù)學(xué)概念法類似“多米諾骨牌”，滿足兩個(gè)條件：①第一個(gè)骨牌可倒下；②任一個(gè)骨牌倒下時(shí)均可令下個(gè)骨牌倒下；這樣所有骨牌均倒下了！故用數(shù)學(xué)歸納法證明，兩個(gè)步驟缺一不可.2.第一步歸納奠基中的n0不一定是1；第二步中當(dāng)證明從n=k到3.在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明在證明第二步中，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)“湊”，一是“湊”假設(shè)，在n=k+1時(shí)的式子中湊出n=k的式子(確定兩個(gè)式子的“差項(xiàng)”；二是“湊”結(jié)論，明確4.要注意“觀察歸納—猜想證明”的思維模式和由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.【即學(xué)即練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+...+2n=n2n+1時(shí)，從n=kA．2k+1+2k+2 BC．2k+2 D．2k+1知識點(diǎn)02數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，比如：與正整數(shù)n有關(guān)的等式或不等式的證明，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，與數(shù)列有關(guān)的不等關(guān)系證明，整除問題，函數(shù)不等式等.【即學(xué)即練2】用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+…+n=n【題型一：對數(shù)學(xué)歸納法的理解】例1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+???+25n-1(n∈N*)能被A．7 B．6 C．5 D．4變式11．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3n≥3,n∈A．當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立 B．當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立C．當(dāng)n=3時(shí)，不等式成立 D．當(dāng)n=4時(shí)，不等式成立變式12．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-12+13-1A．n=k+1時(shí)不等式成立 B．n=k+2時(shí)不等式成立C．n=2k+2時(shí)不等式成立 D．n=2k+2變式13．用數(shù)學(xué)歸納法證“1-12+13-14【方法技巧與總結(jié)】理解數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟，第一步歸納奠基中的n0不一定是1，要根據(jù)命題確定成立的最小值第二步中當(dāng)證明從n=k到n=k+1時(shí)，所證明的式子不一定只增加一項(xiàng)，可寫成【題型二：等式的證明】例2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意正整數(shù)n都有：12變式21．有下列命題：1+3+5+???+(2n-1)=n變式22．用數(shù)學(xué)歸納法證明：cosθ+【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，先確定等式成立的最小值再證明其成立，在第二步中，確定n=k和n=【題型三：不等式的證明】例3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+1變式31．設(shè)x>0，n∈N*，且n≥2，用數(shù)學(xué)歸納法證明：變式32．當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí)，求證：變式33．設(shè)x1,x2,?,x【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，先確定不等式成立的最小值再證明其成立，在第二步中，確定n=k和n=k+1時(shí)命題的形式，在證明n=k+1時(shí)，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)“湊”，一是“湊”假設(shè)，在n=k+1時(shí)的式子中湊出n=k的式子(確定兩個(gè)式子的“差項(xiàng)【題型四：求數(shù)列通項(xiàng)公式】例4．?dāng)?shù)列an滿足a1=12(1)計(jì)算a2，a3，猜想數(shù)列(2)求數(shù)列ann+13變式41．已知數(shù)列an滿足a1=0，2變式42．設(shè)數(shù)列an滿足a1=3(1)計(jì)算a2,a(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想，并求an的前n項(xiàng)和S變式43．在數(shù)列{an}中，a1(1)求出a2,a(2)令bn=3nan，Tn【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，往往先根據(jù)題意進(jìn)行猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行證明。關(guān)鍵也是在第二步中，確定n=k和n=k+1時(shí)命題的形式，在證明n=k+1時(shí)，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)“湊”，一是“湊”假設(shè)，在n=k+1時(shí)的式子中湊出n=k的式子(確定兩個(gè)式子的【題型五：其他應(yīng)用】例5．設(shè)f(n)=(1+1n(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)猜想滿足不等式f(n)<0的正整數(shù)n的范圍，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．變式51．設(shè)n∈N*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(n)=3變式52．?dāng)?shù)列an滿足：a1=2，a變式53．已知①設(shè)函數(shù)y=fxx∈A的值域是C，對于C中的每個(gè)y，若函數(shù)gy在每一處gy都等于它對應(yīng)的x，這樣的函數(shù)x=gyy∈C叫做函數(shù)y=fxx∈A的反函數(shù)，記作x=f-1yy∈C，我們習(xí)慣記自變量為x，因此x=f-1yy∈C可改成y=f-1xx∈C即為原函數(shù)的反函數(shù)．易知y=f-1xx∈C與y=fxx∈A互為反函數(shù)，且ff-1x=x．如y=2x的反函數(shù)是x=log2y可改寫成y=log2x即為y=2x的反函數(shù)，y=log2x與y=2x互為反函數(shù)．（i）若f～φ（ii）若x0為fx的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即fx0=(1)若函數(shù)fx=2x(2)證明：若f～φg(3)若函數(shù)fx=x2+2x，求fnx【方法技巧與總結(jié)】1涉及到與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可想到數(shù)學(xué)歸納法，比如整除問題，函數(shù)不等式等.2在求解或證明的過程中，嚴(yán)格遵循數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，要注意“觀察歸納—猜想證明”的思維模式和由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.一、單選題1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明fn=1+2+3+4+???+4n-1A．f1=1 BC．f2=1+2 D2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2對于n≥n0的正整數(shù)n都成立A．2 B．3 C．4 D．53.用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n-2n能被3整除”的第二步中，n=k+1時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將A．55k-C．5-25k-4.現(xiàn)有命題：1-2+3-4+5-6+??+(-1)n+1n=A．不能用數(shù)學(xué)歸納法判斷此命題的真假B．此命題一定為真命題C．此命題加上條件n>9后才是真命題，否則為假命題D．存在一個(gè)無限大的常數(shù)m，當(dāng)n>m時(shí)，此命題為假命題5.已知數(shù)列{an}，an≥0，a1=0，an+12+aA．1 B．2 C．3 D．66.意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，???，即F1=F2=1，F(xiàn)n=Fn-1+F(n-2)(n≥3,n∈N*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.A．1346 B．673 C．1347 D．13487.“ab”表示實(shí)數(shù)a整除實(shí)數(shù)b，例如：a=2,b=4，已知數(shù)列an滿足：a1=1,a2=2，若2A．a(chǎn)4=29 BC．對任意n∈N*，都有3a8.黎曼函數(shù)（Riemannfunction）在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：x∈0,1時(shí)，Rx=1q,x=pA．a(chǎn)n=1C．i=1n2i二、多選題9.對于不等式n2+n≤n+1n∈N*，某同學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：①當(dāng)n=1時(shí)，12+1≤1+1，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=kk≥1,k∈N*時(shí)，不等式成立，即A．過程全部正確 B．n=1時(shí)證明正確C．過程全部不正確 D．從n=k到n=k+1的推理不正確10.已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且an+1A．存在a1，使得S2=2 BC．a(chǎn)n可能是遞增數(shù)列 D．a(chǎn)11.已知數(shù)列an滿足an+1=A．若a1=1，則數(shù)列B．若a1>1，則對任意n∈C．若a1>1，則對任意n∈D．若a1=2三、填空題12．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)n∈N*”13.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“?n∈N*，n+1n+2???n+n=214.已知數(shù)列an滿足a1=1①數(shù)列an每一項(xiàng)an都滿足②數(shù)列an③數(shù)列an的前n項(xiàng)和S④數(shù)列an每一項(xiàng)都滿足a其中，所有正確結(jié)論的序號是．四、解答題15．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟之間有什么關(guān)系？16.證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)=n17.x∈R，用x表示不超過x的最大整數(shù)，并用x=x-x表示小數(shù)部分，已知：a1=2，18.設(shè)1<x1<2，對于n=1,2,3，…，定義xn+1=1+19．相傳古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，并根據(jù)小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類．現(xiàn)有三角形數(shù)表按如圖的方式構(gòu)成，其中項(xiàng)數(shù)n≥5，第一行是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．從第二行起，每一個(gè)數(shù)是其肩上兩個(gè)數(shù)的和，例如：f(2,1)=f(1,1)+f(1,2)；f(i,j)為數(shù)表中第i行的第j個(gè)數(shù)．f(1,1)f(1,2)?f(1,n-1)f(1,n)f(2,1)f(2,2)?f(2,n-1)f(3,1)?f(3,n-