第05講空間直角坐標系（三大題型歸納易錯分層練）（原卷版）

第05講空間直角坐標系【人教A版選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01空間直角坐標系及點的坐標 3題型02空間點的對稱問題 6題型03空間向量的坐標 9易錯歸納 12分層練習 13夯實基礎(chǔ) 13能力提升 19創(chuàng)新拓展 24一、空間直角坐標系及點的坐標1．空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：________________，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個________________________________．2．相關(guān)概念：________叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過________________________的平面叫做坐標平面，分別稱為________平面，________平面，________平面，它們把空間分成八個部分．3．在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝__________________.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的有序?qū)崝?shù)組________，叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的________，y叫做點A的________，z叫做點A的________．4．空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標的特點點的位置x軸上y軸上z軸上坐標的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)點的位置Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)坐標的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)注意點：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0.(2)畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐標系一般為右手直角坐標系．二、空間向量的坐標向量的坐標：在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，可簡記作a＝________.題型01空間直角坐標系及點的坐標【解題策略】(1)建立空間直角坐標系的原則①讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內(nèi)．②充分利用幾何圖形的對稱性．③一般用右手直角坐標系．(2)求某點M的坐標的方法作MM′垂直于平面Oxy，垂足為M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即為點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為點M的豎坐標z，于是得到點M的坐標(x，y，z)．【典例分析】【例1】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N為棱CC1的中點，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．(1)求點A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐標；(2)求點N的坐標．【變式演練】【變式1】(1)畫一個正方體ABCD－A1B1C1D1，若以A為坐標原點，以棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標系，則①頂點A，D1的坐標分別為______________；②棱C1C中點的坐標為________；③正方形AA1B1B對角線的交點的坐標為________．(2)已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出各頂點的坐標．【變式2】已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，所有的棱長都是1，試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，并寫出各頂點的坐標．【變式3】（2324高二下·江蘇·課前預習）如圖所示，在四棱錐中，建立空間直角坐標系，若，是的中點，求點的坐標.

題型02空間點的對稱問題【解題策略】空間點對稱問題的解題策略(1)空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．(2)對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結(jié)論【典例分析】【例2】在空間直角坐標系中，點P(－2,1,4)．(1)求點P關(guān)于x軸的對稱點的坐標；(2)求點P關(guān)于xOy平面的對稱點的坐標；(3)求點P關(guān)于點M(2，－1，－4)的對稱點的坐標．【變式演練】【變式1】在空間直角坐標系中，已知點P(－2,1,4)．(1)求點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標；(2)求點P關(guān)于Oxy平面對稱的點的坐標；(3)求點P關(guān)于點M(2，－1，－4)對稱的點的坐標．【變式2】（2324高二下·江蘇·課前預習）點關(guān)于軸的對稱點的坐標是，關(guān)于坐標平面的對稱點的坐標是.【變式3】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知點，求：(1)點關(guān)于各坐標平面對稱的點的坐標；(2)點關(guān)于各坐標軸對稱的點的坐標；(3)點關(guān)于坐標原點對稱的點的坐標．題型03空間向量的坐標【解題策略】向量坐標的求法(1)點A的坐標和向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標形式完全相同，其中O為坐標原點；(2)起點不在原點的向量，其坐標可以通過向量的運算求得．【典例分析】【例3】課本例1如圖，在長方體OABC－D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OA,\s\up6(→))，\f(1,4)\o(OC,\s\up6(→))，\f(1,2)\o(OD′,\s\up6(→))))為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.(1)寫出D′，C，A′，B′四點的坐標；(2)寫出向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6(→))，eq\o(A′C′,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))的坐標．【變式演練】【變式1】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))的坐標．【變式2】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點，試建立恰當?shù)淖鴺讼登笙蛄縠q\o(BN,\s\up8(→))，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐標．【變式3】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱BB1，DC的中點，如圖所示建立空間直角坐標系．(1)寫出各頂點的坐標；(2)寫出向量eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(B1F,\s\up8(→))，eq\o(A1E,\s\up8(→))的坐標．易錯點求空間中點的坐標的建系問題四棱錐V－ABCD中，底面是邊長為4且∠ABC＝60°的菱形，頂點V在底面的射影是底面對角線的交點O，VO＝3，建立正確的坐標系求各點的坐標時，下列建系方式正確的是()A．(2)(3)B．(2)(4)C．(1)(4)D．(1)(2)(4)【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高二下·甘肅天水·階段練習）在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面對稱的點為（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·陜西西安·階段練習）在空間直角坐標系中，點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則的坐標為（

）A． B． C． D．3．（2122高二·全國·課后作業(yè)）在空間直角坐標系中，若，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．4．（2324高二上·河南南陽·階段練習）正四棱柱（底面為正方形的直棱柱）中，，點在上，且.建立如圖所示的坐標系，則點的坐標為（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2324高二上·河北邢臺·階段練習）在空間直角坐標系中，若四點可以構(gòu)成一個平行四邊形，則的坐標可以為（

）A． B． C． D．6．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）在空間直角坐標系中，已知某平行四邊形三個頂點的坐標分別為，，，則第四個頂點的坐標可能為（

）A． B．C． D．7．（2324高二下·河南·階段練習）下列結(jié)論正確的是（

）A．在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點為B．若向量，且，則C．若向量，則在上的投影向量的模為D．為空間中任意一點，若，且，則四點共面三、填空題8．（2223高二上·吉林白城·階段練習）如圖，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標是9．（2324高二上·山東聊城·期末）在空間直角坐標系中，若點關(guān)于平面對稱的點為，則點P的坐標為.四、解答題10．（2122高二上·全國·課后作業(yè)）（1）寫出點關(guān)于原點對稱的點的坐標；（2）寫出點關(guān)于軸對稱點的坐標.11．（2122高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在空間直角坐標系中有一長方體，且，，(1)寫出點的坐標，并將用標準正交基表示；(2)求的坐標．【能力提升】一、單選題1．（2324高二上·河北保定·期末）在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標為（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·四川綿陽·開學考試）在空間直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標為（

）A． B．C． D．3．（2324高二上·河南省直轄縣級單位·期末）在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點為（

）A． B． C． D．4．（2223高二上·北京房山·期中）已知，則向量的坐標是（

）A． B．C． D．5．（2324高二上·北京西城·期中）在如圖所示的空間直角坐標系中，是單位正方體，其中點A的坐標是（

）

A． B． C． D．二、多選題6．（1920高二上·福建三明·期末）如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則（

）A．點的坐標為，5，B．點關(guān)于點對稱的點為，8，C．點關(guān)于直線對稱的點為，5，D．點關(guān)于平面對稱的點為，5，7．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，，，，點E在線段AO的延長線上，且，下列向量坐標表示正確的是（）A． B．C． D．三、填空題8．（2324高二上·上?！るA段練習）在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標為．9．（2324高二上·河南鄭州·期末）在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是．四、解答題10．（2122高二·全國·課后作業(yè)）已知點，分別寫出它關(guān)于平面、x軸、原點的對稱點的坐標．【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2122高二上·新疆伊犁·期末）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C是邊長為2的菱形，∠CBB1=60°，BC1交B1C于點O，AO⊥側(cè)面BB1C1C，且△AB1C為等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標系O—xyz，則點A1的坐標為（

）

A．（，，1）B．（，2，）C．（，1，1）D．（，0，1）二、填空題2．（1920高二上·浙江溫州·期末）在平面