2020屆西藏日喀則市高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水評(píng)測(cè)試（模擬）數(shù)學(xué)（理）試題（解析）

2020屆西藏日喀則市高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水評(píng)測(cè)試（模擬）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】本題根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可得.容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.【詳解】，則

故選：A【點(diǎn)睛】易于理解集補(bǔ)集的概念、交集概念有誤.2．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【詳解】由題意iz＝1+2i，∴iz（﹣i）＝（1+2i）?（﹣i），∴z＝2﹣i．則在復(fù)平面內(nèi)，z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，﹣1）．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．已知向量,,且,則=()A．5 B． C． D．10【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)樗裕?故選B.4．為了落實(shí)中央提出的精準(zhǔn)扶貧政策，永濟(jì)市人力資源和社會(huì)保障局派人到開張鎮(zhèn)石橋村包扶戶貧困戶，要求每戶都有且只有人包扶，每人至少包扶戶，則不同的包扶方案種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先分組再排序，可得知這人所包扶的戶數(shù)分別為、、或、、，然后利用分步計(jì)數(shù)原理可得出所求方案的數(shù)目.【詳解】由題意可知，這人所包扶的戶數(shù)分別為、、或、、，利用分步計(jì)數(shù)原理知，不同的包扶方案種數(shù)為，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合問題，考查分配問題，求解這類問題遵循先分組再排序的原則，再分組時(shí)，要注意平均分組的問題，同時(shí)注意分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.5．若，且，則的值為A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，∴．選B．6．設(shè)滿足約束條件，則的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由題意，畫出約束條件畫出可行域，結(jié)合圖象，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，即可求解.【詳解】由題意，畫出約束條件畫出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)可化為，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)在軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】通過分段法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷出，由此選出正確結(jié)論.【詳解】解：∵，，，；∴.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)比較大小，考查分段法比較大小，屬于基礎(chǔ)題.8．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】根據(jù)各選項(xiàng)的條件及結(jié)論，可畫出圖形或想象圖形，再結(jié)合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項(xiàng)．【詳解】選項(xiàng)A錯(cuò)誤，同時(shí)和一個(gè)平面平行的兩直線不一定平行，可能相交，可能異面；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線不一定平行，可能異面；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線，不一定和另一平面垂直，可能斜交；選項(xiàng)D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間直線位置關(guān)系的判定，這種位置關(guān)系的判斷題，可以舉反例或者用定理簡(jiǎn)單證明，屬于基礎(chǔ)題.9．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋屎瘮?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.【考點(diǎn)】1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.10．右邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入分別為14,18，則輸出的（）A．0 B．2 C．4 D．14【答案】B【解析】【詳解】由a=14，b=18，a＜b，則b變?yōu)?8﹣14=4，由a＞b，則a變?yōu)?4﹣4=10，由a＞b，則a變?yōu)?0﹣4=6，由a＞b，則a變?yōu)?﹣4=2，由a＜b，則b變?yōu)?﹣2=2，由a=b=2，則輸出的a=2．故選B．11．在中，，，，則的面積為（）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】首先利用余弦定理求出，利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．【詳解】由余弦定理可得：，化為：，解得，∴的面積，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12．試在拋物線上求一點(diǎn)，使其到焦點(diǎn)的距離與到的距離之和最小，則該點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．過點(diǎn)P作于點(diǎn)，由定義可得,所以，由圖形可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)．故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，所以橫坐標(biāo)．即點(diǎn)P的坐標(biāo)為．選A．點(diǎn)睛：與拋物線有關(guān)的最值問題的解題策略該類問題一般解法是利用拋物線的定義，實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化．(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中的垂線段最短”解決．二、填空題13．曲線在（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線方程為______．【答案】【解析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到（e），再求出（e）的值，則由直線方程的點(diǎn)斜式可得切線方程．【詳解】由，得，（e）．即曲線在點(diǎn)，（e）處的切線的斜率為2，又（e）．曲線在點(diǎn)，（e）處的切線方程為，即．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，曲線上過某點(diǎn)的切線的斜率，就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值．14．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．（用數(shù)字作答）【答案】57【解析】先求出的展開式中的常數(shù)項(xiàng)和的系數(shù)，再求的常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題得的通項(xiàng)為，令r=0得的常數(shù)項(xiàng)為,令-r=-2，即r=2,得的的系數(shù)為.所以的常數(shù)項(xiàng)為1+2×28=57.故答案為57【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式展開式指定項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.15．點(diǎn)P是雙曲線左支上的一點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為，若為線段的中點(diǎn),且到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為7，則___________.【答案】22【解析】先利用三角形的中位線的性質(zhì)，可得，再利用雙曲線的定義，，即可求得．【詳解】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，則是的中位線，到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為7，又由雙曲線的定義，得故答案為22．【點(diǎn)睛】本題以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查雙曲線的定義，考查三角形中位線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．《九章算術(shù)》中對(duì)一些特殊的幾何體有特定的稱謂，例如：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱刨開，得到一個(gè)陽(yáng)馬（底面是長(zhǎng)方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個(gè)鱉臑（四個(gè)面均為直角三角形的四面體）．在如圖所示的塹堵中，，則陽(yáng)馬的外接球的表面積是_________________【答案】【解析】根據(jù)塹堵定義以及長(zhǎng)方體性質(zhì)可得陽(yáng)馬的外接球的直徑為，再根據(jù)球的表面積公式求結(jié)果.【詳解】由于兩兩相互垂直，所以陽(yáng)馬的外接球的直徑為，即，因此外接球的表面積是.【點(diǎn)睛】若球面上四點(diǎn)構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用求解．三、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得，可得是等比數(shù)列；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即：，數(shù)列為以2為公比的等比數(shù)列.（2）兩式相減，得.【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào)，最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.18．某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核.（I）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（II）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III）記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】⑴在甲組抽取2人，在乙組抽取1人.（2）（3）見解析【解析】⑴根據(jù)分層抽樣的抽取比例可以確定各組抽取的人數(shù)，容易求.⑵從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，那么還需抽取1名男工人，根據(jù)古典概型公式，即可.⑶抽取的3名工人中男工人數(shù)可以是0，1，2，3，有四種情況，一一列出，構(gòu)成分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式完成計(jì)算.【詳解】⑴按照抽取的比例，甲組和乙組抽取的人數(shù)分別為，所以應(yīng)在甲組抽取2人，在乙組抽取1人.⑵設(shè)從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的事件為A,則P(A)=.⑶依題意由,,得的分布列如下表：

0

1

2

3

P

所以的數(shù)學(xué)期望19．如圖,直三棱柱中,分別為的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】(1)法一：要證平面，只需證明即可，通過構(gòu)造平行四邊形可證之；法二：可先證平面平面，利用面面平行的性質(zhì)即可得到平面;（2）法一：由于即為與平面所成的角，利用數(shù)據(jù)求之；法二：（等積法）利用等積法計(jì)算出到平面的距離，從而要求的答案為：即可.【詳解】（1）法一：取中點(diǎn)，連接，在直三棱柱中，.∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.法二：取中點(diǎn)，連結(jié)，在直三棱柱中，.∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.又平面，平面，∴平面.∵分別為中點(diǎn)，∴.又平面，平面，∴平面.平面平面.平面平面.（2）法一：直三棱柱中，平面，∴.又∵，且，∴平面.過作于.∵平面，∴.又平面.又即為與平面所成的角..法二：（等積法）與平面所成的角相等.連結(jié)，直三棱柱中，平面，∴.又平面.，.設(shè)到平面的距離為，.∵，即.設(shè)與平面所成的角為，.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行，線面角所成正弦值的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的空間想象能力，分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力.20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A，B，C，D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)題意列出方程組，求解，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)

當(dāng)直線與中有一條直線斜率不存在時(shí)，有；當(dāng)當(dāng)直線斜率存在且，設(shè)方程為，設(shè)，，與橢圓方程聯(lián)立求出，利用弦長(zhǎng)公式求出，同理求出，從而表示出,根據(jù)題意求出k的取值范圍從而求出的范圍.【詳解】解：(1）由題意得，當(dāng)點(diǎn)是橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值此時(shí)所以因?yàn)?，所以，所以橢圓方程為（2）由（1）得橢圓方程為，則的坐標(biāo)為因?yàn)?，所以①?dāng)直線與中有一條直線斜率不存在時(shí)，易得②當(dāng)直線斜率存在且，則其方程為，設(shè)，則點(diǎn)、的坐標(biāo)是方程組的兩組解所以所以所以此時(shí)直線的方程為同理由可得令，則，因?yàn)?，所以所以綜上【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，屬于較難題.21．設(shè)函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；【解析】（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程無(wú)解，即可得到結(jié)論．【詳解】，，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；依題意，函數(shù)沒有零點(diǎn)，即無(wú)解，由1知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，區(qū)間上為減函數(shù)，只需，解得．實(shí)數(shù)a的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是中檔題22．在極坐標(biāo)系中，圓.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，直線經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為.求圓的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；已知直線與圓交與，，滿足為的中點(diǎn)，求.【答案】（1），，(為參數(shù)，).（2）【解析】（1）利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式，可求解圓的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的形式，即可求得直線的參數(shù)方程；將直線的方程代入圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，由為的中點(diǎn)，得到，求得，即可求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，圓，可得，因?yàn)?，，所以，即，根?jù)直線的參數(shù)方程的形式，可得直線:，(為參數(shù)，).設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，將直線的方程代入，整理得，所以，，又為的中點(diǎn)，所以，因此，，所以，即，因?yàn)?，所以，從而，?【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程，直線參數(shù)方程的求解，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中合理利用直線參數(shù)中參數(shù)的幾何意義求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.23．已知函數(shù).（1）解不等式；（