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文檔簡介

湘教·九年級上冊2.3一元二次方程根的判別式回顧總結(jié)1.用公式法解方程???2.解一元二次方程時,最終結(jié)果,可分為哪三種不同情形?3.為什么會有三種不同情形?由什么決定?①有兩個不相等的實(shí)根②有兩個相等的實(shí)根③無實(shí)根由Δ=b2-4ac的值來決定新課探究我們在運(yùn)用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)時,總是要求b2-4ac≥0.這是為什么?回顧:用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0).解:二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得

x2+x+=0.配方,得

x2+x+--=0,移項(xiàng),得=問題1:接下來能用直接開平方解嗎?一元二次方程根的判別式問題2:什么情況下可以直接開平方?什么情況下不能直接開?≥0,4a2>0.當(dāng)

b2-4ac>0時,x1=

,x2=當(dāng)

b2-4ac=0時,

x1=x2=當(dāng)

b2-4ac<0時,不能開方(負(fù)數(shù)沒有平方根),所以原方程沒有實(shí)數(shù)根.

我們把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式,記作“Δ”,即Δ=b2-4ac.綜上可知,我們不難發(fā)現(xiàn)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況可由Δ=b2-4ac來判斷:當(dāng)Δ>0時,原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,其根為當(dāng)Δ=0時,原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,其根為當(dāng)Δ<0時,原方程沒有實(shí)數(shù)根.兩個不等的實(shí)數(shù)根

兩個相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根兩個實(shí)數(shù)根判別式的情況

根的情況

Δ>0

Δ=0

Δ<0

Δ≥0要點(diǎn)歸納要點(diǎn)歸納例不解方程,利用判別式判斷下列方程根的情況:(1)3x2+4x-3=0; (2)4x2=12x-9;(3)7y=5(y2+1).解:(1)因?yàn)棣?b2-4ac=42-4×3×(-3) =16+36=52>0,所以,原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.3.判別根的情況,得出結(jié)論.1.化為一般式,確定a,b,c的值.根的判別式使用方法2.計(jì)算Δ

的值,確定Δ的符號.要點(diǎn)歸納例不解方程,利用判別式判斷下列方程根的情況:(1)3x2+4x-3=0; (2)4x2=12x-9;(3)7y=5(y2+1).解:(1)因?yàn)棣?b2-4ac=42-4×3×(-3) =16+36=52>0,所以,原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.(2)將原方程化為一般形式,得4x2-12x+9=0.因?yàn)棣?b2-4ac=(-12)2-4×4×9 =144-144=0,所以,原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.例不解方程,利用判別式判斷下列方程根的情況:(1)3x2+4x-3=0; (2)4x2=12x-9;(3)7y=5(y2+1).(3)將原方程化為一般形式,得5y2-7y+5=0.因?yàn)棣?b2-4ac=(-7)2-4×5×5 =49-100=-51<0,所以,原方程沒有實(shí)數(shù)根.課堂練習(xí)練習(xí)1.一元二次方程x2-x+1=0的根的情況為()(A)有兩個相等的實(shí)數(shù)根 (B)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(C)只有一個實(shí)數(shù)根 (D)沒有實(shí)數(shù)根因?yàn)棣?b2-4ac=(-1)2-4×1×1 =1-4=-3<0,x2-x+1=0所以,原方程沒有實(shí)數(shù)根.D2.不解方程,利用判別式判斷下列方程根的情況:

解:(1)因?yàn)棣?b2-4ac=32-4×1×(-1) =9+4=13>0,所以,原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.2.不解方程,利用判別式判斷下列方程根的情況:

解:(2)因?yàn)棣?b2-4ac=(-6)2-4×1×9 =36-36=0,所以,原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.2.不解方程,利用判別式判斷下列方程根的情況:

解:(3)因?yàn)棣?b2-4ac=(-3)2-4×2×4 =9-32=-23<0,所以,原方程沒有實(shí)數(shù)根.2.不解方程,利用判別式判斷下列方程根的情況:

解:(4)將原方程化為一般形式,得

所以,原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.3.若關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實(shí)數(shù)解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示).解:∵關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實(shí)數(shù)根.∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0∴a<-2

4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根為2.(1)求q關(guān)于p的關(guān)系式;(2)求證:拋物線y=x2+px+q與x軸有兩個交點(diǎn).解:(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根為2, ∴4+2p+q+1=0,

即q=-2p-5;4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根為2.(1)求q關(guān)于p的關(guān)系式;(2)求證:拋物線y=x2+px+q與x軸有兩個交點(diǎn).(2)證明:令x2+px+q=0.

則Δ=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4>0,即Δ>0,

所以,關(guān)于x的方程x2+px+q=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

即拋物線y=x2+px+q與x軸有兩個交點(diǎn).課堂小結(jié)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況可由Δ=b2-4ac來判斷:當(dāng)Δ>0時,原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,其根為當(dāng)Δ=0時,原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,其根為當(dāng)Δ<0時,原方程沒有實(shí)數(shù)根.2.不解方程,利用判別式判斷下列方程根的情況:【選自教材P45習(xí)題2.3第2題】(1)3x2-4x+1=0; (2)3x2-6x+1=0;(3)x(x+8)=16; (4)(x+2)(x-5)=1.解:(2)因?yàn)棣?b2-4ac=(-6)2-4×3×1 =36-12=24>0,所以,原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.2.不解方程,利用判別式判斷下列方程根的情況:【選自教材P45習(xí)題2.3第2題】(1)3x2-4x+1=0; (2)3x2-6x+1=0;(3)x(x+8)=16; (4)(x+2)(x-5)=1.解:(3)將原方程化為一般形式,得所以,原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.x2+8x-16=0因?yàn)棣?b2-4ac=82-4×1×(-16) =64+64=128>0,2.不解方程,利用判別式判斷下列方程根的情況:【選自教材P45習(xí)題2.3第2題】(1)3x2-4x+1=0; (2)3x2-6x+1=0;(3)x(x+8)=16; (4)(x+2)(x-5)=1.解:(4)將原方程化為一般形式,得所以,原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.x2-3x-11=0因?yàn)棣?b2-4ac=(-3)2-4×1×(-11) =9+44=53>0,B

組3.不解方程,利用判別式判斷方程【選自教材P45習(xí)題2.3第3題】的根的情況.解:因?yàn)樗?,原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.4.先閱讀下面的材料:【選自教材P45習(xí)題2.3第4題】對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,那么Δ>0;如果方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,那么Δ=0;如果方程沒有實(shí)數(shù)根,那么Δ<0.再解答下面的題目:當(dāng)t取什么值時,關(guān)于x的一元二次方程x2+x+t=2t-1,(1)有實(shí)數(shù)根;(2)沒有實(shí)數(shù)根.如果方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,那么Δ>0;如果方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,那么Δ=0;如果方程沒有實(shí)數(shù)根,那么Δ<0.當(dāng)t取什么值時,關(guān)于x的一元二次方程x2+x+t=2t-1,(1)有實(shí)數(shù)根;(2)沒有實(shí)數(shù)根.當(dāng)t取什么值時,關(guān)于x的一元二次方程x2+x+t=2t-1,(1)有實(shí)數(shù)根;(2)沒有實(shí)數(shù)根.解:(1)關(guān)于x的方程可化為x2+x+1–t=0依題意Δ=b2-4ac=12-4×1×(1-t)=4t-3

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