3 培優(yōu)點4　焦點三角形

焦點三角形橢圓或雙曲線上的點P(x0，y0)與左、右焦點構成的三角形稱為焦點三角形，其中∠F1PF2為頂角θ，F(xiàn)1F2為底邊．(1)在橢圓中，①焦點三角形的周長是定值，l＝2a＋2c.②△PF1F2中三邊的關系，除定義|PF1|＋|PF2|＝2a外，還有余弦定理：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.③|PF1|·|PF2|的最大值為a2(當且僅當x0＝0時取得)，最小值為b2(當且僅當x0＝±a時取得).④S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2取得最大值，最大值為bc.(2)在雙曲線中，雙曲線上的一點(非實軸端點)與兩個焦點構成的三角形為焦點△PF1F2，由余弦定理與定義可得S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝c·|yP|.類型一焦點三角形的面積計算已知雙曲線C：eq\f(x2,4)－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線C上，且滿足∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積是________．【解析】方法一：不妨假設點P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝4.由余弦定理，知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，即20＝16＋|PF1||PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝4，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\r(3).方法二：易知b2＝1，所以S△F1PF2＝eq\f(b2,tan\f(∠F1PF2,2))＝eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)類型二焦點三角形與離心率橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓M上任一點，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范圍是[2c2，3c2]，其中c＝eq\r(a2－b2)，則橢圓M的離心率e的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))【解析】由基本不等式，得(|PF1|＋|PF2|)2≥4|PF1|·|PF2|.又|PF1|＋|PF2|＝2a，所以4a2≥4|PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2|≤a2，所以(|PF1|·|PF2|)max＝a2，此時|PF1|＝|PF2|＝a，所以2c2≤a2≤3c2，得2e2≤1≤3e2，所以eq\f(1,3)≤e2≤eq\f(1,2).又0<e<1，所以eq\f(\r(3),3)≤e≤eq\f(\r(2),2).【答案】A1.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標等于右焦點的橫坐標，其縱坐標等于短半軸長的eq\f(2,3)，則橢圓的離心率為()A．eq\f(\r(5),3)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(4,5)解析：選A.設橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距分別為a，b，c，可得焦點為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(2,3)b))，因為在Rt△MF1F2中，F(xiàn)1F2⊥MF2，所以|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋eq\f(4,9)b2＝|MF1|2，根據(jù)橢圓的定義得|MF1|＋|MF2|＝2a，可得|MF1|2＝(2a－|MF2|)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(2,3)b))eq\s\up12(2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(2,3)b))eq\s\up12(2)＝4c2＋eq\f(4,9)b2，整理得3(a2－c2)＝2ab，所以3b2＝2ab，解得b＝eq\f(2,3)a，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(5),3)a，因此可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，所以該橢圓的離心率等于eq\f(\r(5),3).故選A.2．設F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是雙曲線右支上一點，滿足∠F1PF2＝60°，且以PF1，PF2為鄰邊的平行四邊形的兩對角線長分別為2c，4b，則該雙曲線的離心率為()A．eq\r(3)＋1 B．eq\r(5)C．eq\r(2) D．eq\f(1＋\r(3),2)解析：選C.由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2a，由平行四邊形知|PF1＋PF2|＝4b.同時將上述兩式等號兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|cos60°＝16b2，所以3(|PF1|2＋|PF2|2)＝32b2＋4a2，3|PF1||PF2|＝16b2－4a2.(*)由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝2|PF1|·|PF2|cos60°，將(*)式代入，可得4b2＋2a2－3c2＝0，而c2＝a2＋b2，整理得c2＝2a2，故該雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2)a,a)＝eq\r(2).故選C.3．(2022·昆明八中高二期中)設橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓C上一動點，則下列說法中正確的是________(填序號).①當點P不在x軸上時，△PF1F2的周長是6；②當點P不在x軸上時，△PF1F2面積的最大值為eq\r(3)；③存在點P，使PF1⊥PF2.解析：對于①，由橢圓的方程可知，a＝2，b＝eq\r(3)，則c＝eq\r(a2－b2)＝1.根據(jù)橢圓的定義，知△PF1F2的周長為2a＋2c＝6，故①正確；對于②，設P(x0，y0)(y0≠0)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝|y0|，因為0<|y0|≤b＝eq\r(3)，所以△PF1F2面積的最大值為eq\r(3)，故②正確；對于③，當點P位于橢圓短軸的一個端點處時，∠F1PF2最大，此時|PF1|＝|PF2|＝a＝2，又|F1F2|＝2，所以△PF1F2為正三角形，∠F1PF2＝60°，所以不存在點P，使PF1⊥PF2，故③錯誤．答案：①②4．已知F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P在橢圓上，且△PF1F2的面積為eq\f(\r(2),2)b2，求cos∠F1PF2的值．解：依題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2，,|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝4c2，))整理得|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1＋cos∠F1PF2).因為△PF1F2的面積為eq\f(\r(2),2)b2