基礎(chǔ)課15 函數(shù)的模型及其應(yīng)用

第6頁8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)，AD=2．(Ⅰ)求證：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)證明：取AD中點(diǎn)為O，BC中點(diǎn)為F，由側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，則FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD?FO，則CD⊥AE，又E是PD中點(diǎn)，則AE⊥PD，由線面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；課時(shí)評(píng)價(jià)·提能基礎(chǔ)鞏固練1.一根蠟燭長20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒時(shí)剩余的長度?（單位：cm）與燃燒時(shí)間A. B.C. D.[解析]由題意得函數(shù)關(guān)系式為?=20?5t2.若用實(shí)線表示某景點(diǎn)收支差額y關(guān)于游客量x的圖象，由于目前虧損，景點(diǎn)決定降低成本，同時(shí)提高門票的價(jià)格，改變后收支差額y關(guān)于游客量x的圖象用虛線表示，以下能說明該事實(shí)的圖象是（D）.A. B.C. D.[解析]對(duì)于A，當(dāng)x=0時(shí)，虛線的y值比實(shí)線的y值減小，不滿足題意，A對(duì)于B，兩函數(shù)的圖象平行，說明票價(jià)不變，不符合題意，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)x=0時(shí)，y值不變，說明成本不變，不滿足題意，C對(duì)于D，當(dāng)x=0時(shí)，虛線的y值變大，說明成本減小，虛線的傾斜角比實(shí)線的傾斜角大，說明提高了門票的價(jià)格，符合題意，D正確.故選3.某農(nóng)科院學(xué)生為研究某花卉種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系,在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn),由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,?,20A.y=ax+b B.y=a[解析]根據(jù)圖中散點(diǎn)圖可知,散點(diǎn)大致分布在某一條對(duì)數(shù)型函數(shù)曲線周圍,A選項(xiàng)是直線型,B選項(xiàng)是拋物線型,D選項(xiàng)是指數(shù)型,只有C選項(xiàng)是對(duì)數(shù)型.故選C.4.已知三個(gè)因變量y1，y2，y3x12468…y1241664256…y214163664…y30122.5853…則下列反映y1，y2，y3隨xA.y1=x2，y2=2x，C.y1=log2x，y2=x2[解析]從題表可以看出，y1，y2，y3都隨著x的增大而增大，但是增長速度不同，其中變量y1的增長呈指數(shù)函數(shù)型變化，變量y2的增長呈冪函數(shù)型變化，變量y35.某研究表示，蓄電池的容量C（單位：A?h）與放電時(shí)間t（單位：h）、放電電流I（單位：A）之間的關(guān)系符合經(jīng)驗(yàn)公式C=In?t，其中n=log32A.28h B.28.5h C.[解析]由C=Ilog322，當(dāng)I=10當(dāng)I=15A時(shí)，∴t=236.在入住新房時(shí)，空氣中的甲醛濃度不能超過0.08mg/m3，否則該新房達(dá)不到安全入住的標(biāo)準(zhǔn).若某套住房自裝修完成后，通風(fēng)xx=1,2,3,?,50周與室內(nèi)甲醛濃度yA.17周 B.24周 C.28周 D.26周[解析]fx由f2=2，f8=3兩式相減得loga9=1，則a所以fx若要該住房裝修完成后達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，則0.48?0.1fx≤0.08，則fx≥4，即1+2log7.現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過60℃.一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測(cè)得這杯茶的溫度分別為80℃，65℃.現(xiàn)給出三個(gè)茶溫T（單位：℃）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①T=at+ba<0；A.1分鐘 B.2分鐘 C.3分鐘 D.4分鐘[解析]根據(jù)生活常識(shí)，若選擇模型①或模型②，茶溫T在一定時(shí)間后會(huì)低于室溫，不符合題意，故選擇模型③較為合適，則ab+20=80a2b令T=80?34t+8.[2024·福州質(zhì)檢]某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例P關(guān)于貸款人的年收入x（單位：萬元）的函數(shù)模型：Px=e?0.9680+kx1+e?A.4.65萬元 B.5.63萬元 C.6.40萬元 D.10.00萬元[解析]由題意得，P8=e?0.9680+8k1+e令Px=e?0.9680+0.121x1+e?0.9680+0.121x=40綜合提升練9.（多選題）當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，下列有關(guān)函數(shù)fx=12A.fx的遞減速度越來越慢 B.gC.?x的遞減速度越來越慢 D.gx的遞減速度慢于[解析]如圖，畫出fx=12x,gx=log12x,?x=x?12的大致圖象，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合圖象可知，在0,+∞上，10.（多選題）某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（單位：微克）與時(shí)間t（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.已知當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療對(duì)應(yīng)的疾病有效，則（AD）.A.aB.注射一次時(shí)治療該病的有效時(shí)間為6小時(shí)C.注射該藥物18D.注射一次時(shí)治療該病的有效時(shí)間為19132[解析]由函數(shù)圖象可知y=4t，12t?a，t≥1,當(dāng)t=1時(shí),所以y=4t，12t?3，t≥1當(dāng)4t=0.125，即t=132時(shí)，藥物剛好起效，當(dāng)12t?3=0.125，即t=6時(shí)，藥物剛好失效，故藥物的有效時(shí)間為6?132=19132（小時(shí)），藥物的有效時(shí)間不到6個(gè)小時(shí)，故B錯(cuò)誤，11.某病毒的檢測(cè)分析是用熒光定量PCR法,通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào),對(duì)在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)DNA實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè),在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期,熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閾值時(shí),DNA的數(shù)量Xn與擴(kuò)增次數(shù)n滿足關(guān)系式lgXn=nlg1+p+lgX0,其中p為擴(kuò)增效率,[解析]由題意知,lg100即2+lgX0解得p≈12.（雙空題）某中學(xué)擬建一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇（如圖）,該扇環(huán)面是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后可通過點(diǎn)O的兩條直線段圍成.按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)的周長為30米,其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米,圓心角為θ（弧度）.當(dāng)θ=43時(shí),x=5米.現(xiàn)要給花壇的邊緣（實(shí)線部分）進(jìn)行裝飾,已知直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米,弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米,則花壇每平方米的裝飾費(fèi)用M[解析]由題意可得,30=xθ+10θ當(dāng)θ=43時(shí),因?yàn)榛▔拿娣eS花裝飾費(fèi)為9θx所以M=令t=17+x則M=?又t+324t≥2t?324t=36,當(dāng)且僅當(dāng)t=324t,即所以花壇每平方米的裝飾費(fèi)用M最少為103元應(yīng)用情境練13.建筑學(xué)中必須要對(duì)組合墻的平均隔聲量進(jìn)行設(shè)計(jì).組合墻是指帶有門或窗等的隔墻，假定組合墻上有門、窗及孔洞等幾種不同的部件，各種部件的面積分別為S1，S2，?，Sn（單位：m2），其相應(yīng)的透射系數(shù)分別為τ1，τ2，?，τn，則組合墻的實(shí)際隔聲量應(yīng)由各部分的透射系數(shù)的平均值τ確定：τ=S1τ1+S2τ2+?+Sn[解析]由題意得,組合墻的透射系數(shù)的平均值τ=故組合墻的平均隔聲量R=設(shè)ln10=k，則ek=10，由于e0.693≈2,e創(chuàng)新拓展練14.某地中學(xué)生社會(huì)實(shí)踐小組為研究學(xué)校附近某路段的交通擁堵情況,經(jīng)實(shí)地調(diào)查、數(shù)學(xué)建模,得到該路段上的平均行車速度v（單位：km/h）與該路段上的行車數(shù)量n（單位：輛）的關(guān)系為v=600n+10,n≤9,33000n2+k（1）求實(shí)數(shù)k的值;（2）定義車流量q=n