高考數(shù)學第一輪復習講練測(新教材新高考)專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(講)原卷版+解析

專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式新課程考試要求1.一元二次不等式：(1)會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.(3)會解一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).核心素養(yǎng)培養(yǎng)學生數(shù)學運算（例1--9）、數(shù)學建模（例9）、邏輯推理（例7）等核心數(shù)學素養(yǎng).考向預測1.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及應(yīng)用2.一元二次不等式的解法3.一元二次不等式的恒成立問題【知識清單】1．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n).零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－eq\f(b,2a)對稱2.一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有一個未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.3.三個“二次”之間的關(guān)系（1）關(guān)于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函數(shù)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分別使二次函數(shù)f(x)的函數(shù)值為正值或負值時自變量x的取值的集合．（2）三個“二次”之間的關(guān)系：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f(x)>0或f(x)<0的步驟求方程f(x)＝0的解有兩個不等的實數(shù)解x1，x2有兩個相等的實數(shù)解x1＝x2沒有實數(shù)解畫函數(shù)y＝f(x)的示意圖得不等式的解集f(x)>0__{x|x<x1或x>x2}__{x|x≠－eq\f(b,2a)}Rf(x)<0__{x|x1<x<x2}____?____?__3.不等式恒成立問題1．一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).2．含參數(shù)的一元二次不等式恒成立．若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.4.待定系數(shù)法的應(yīng)用待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程．使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學問題是否具有某種確定的數(shù)學表達式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解．例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學表達形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解．使用待定系數(shù)法解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決．如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：①利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；③利用定義本身的屬性列方程；④利用幾何條件列方程．【考點分類剖析】考點一：二次函數(shù)的解析式例1.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式．【規(guī)律方法】根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：【變式探究】（2020·江蘇常州市·常州高級中學高一期中）已知二次函數(shù)，滿足且方程有兩個相等實根．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當且僅當時，不等式恒成立，試求，的值．考點二：二次函數(shù)圖象的識別例2.（2020·山東省微山縣第一中學高一月考）對數(shù)函數(shù)且與二次函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖像不可能是（）A． B．C． D．【總結(jié)提升】識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學會“三看”【變式訓練】（2019·遼寧高考模擬（理））函數(shù)y=1?|x?xA．B．C．D．考點三：二次函數(shù)的單調(diào)性問題例3.（2021·浙江高三專題練習）若函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【總結(jié)提升】研究二次函數(shù)單調(diào)性的思路(1)二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時要依據(jù)其圖象的對稱軸進行分類討論．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A?eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A?\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))))，即區(qū)間A一定在函數(shù)對稱軸的左側(cè)(右側(cè))．【變式探究】（2020·泰州市第二中學高一月考）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.考點四：二次函數(shù)的最值問題例4.（2020·全國高一單元測試）已知二次函數(shù)的兩個零點分別是0和5，圖象開口向上，且在區(qū)間上的最大值為12．（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的解析式．【技巧點撥】二次函數(shù)最值問題的類型及求解策略(1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動．(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成．【變式探究】（2021·長春市第二實驗中學高二月考（文））函數(shù)在上的最大值和最小值依次是（）A．， B．， C．， D．，考點五：二次函數(shù)的恒成立問題例5.（2021·全國高三專題練習）已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，求實數(shù)a的取值范圍．【總結(jié)提升】由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的思路及關(guān)鍵1.一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．2.兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個思路的依據(jù)是：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min..3.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．【變式探究】（2020·天津市咸水沽第二中學高三一模）已知函數(shù)．若存在使得關(guān)于x的不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．考點六：二次函數(shù)與函數(shù)零點問題例6.（2020·宜賓市敘州區(qū)第一中學校高一月考（理））已知函數(shù).（1）若的值域為，求關(guān)于的方程的解；（2）當時，函數(shù)在上有三個零點，求的取值范圍.【規(guī)律總結(jié)】1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標．2．注意靈活運用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題．【變式探究】（2019·馬關(guān)縣第一中學校高一期末）已知二次函數(shù)，且-1,3是函數(shù)的零點.（1）求解析式，并解不等式;（2）若，求行數(shù)的值域考點七：一元二次不等式恒成立問題例7.（2021·全國高三專題練習）設(shè)函數(shù)．若對于，恒成立，求m的取值范圍．【總結(jié)提升】由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的思路及關(guān)鍵1.一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．2.兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個思路的依據(jù)是：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min..3.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．【變式探究】（2020·濟源市第六中學高二月考（文））已知函數(shù)，若在區(qū)間上，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________．考點八：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用例8．（2021·上海高三二模）已知函數(shù)(為常數(shù)，).（1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）當為偶函數(shù)時，若方程在上有實根，求實數(shù)的取值范圍.【總結(jié)提升】對于含有參數(shù)的一元二次不等式常見的討論形式有如下幾種情形：1、對二次項系數(shù)進行討論；2、對應(yīng)方程的根進行討論；3、對應(yīng)根的大小進行討論等；考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或即可，利用導數(shù)知識結(jié)合單調(diào)性求出或即得解.【變式探究】（2020·海豐縣彭湃中學高一期末）已知函數(shù)，，且函數(shù)是偶函數(shù).（1）求的解析式；（2）若不等式在上恒成立，求n的取值范圍；例9.（山東省青島市春季高考二模）山東省壽光市綠色富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國際市場上頗具競爭力，其中香菇遠銷日本和韓國等地.上市時，外商李經(jīng)理按市場價格10元/千克在本市收購了2000千克香菇存放入冷庫中.據(jù)預測，香菇的市場價格每天每千克將上漲0.5元，但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費用合計340元，而且香菇在冷庫中最多保存110天，同時，平均每天有6千克的香菇損壞不能出售.（1）若存放x天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）李經(jīng)理如果想獲得利潤22500元，需將這批香菇存放多少天后出售？（提示：利潤=銷售總金額-收購成本-各種費用）（3）李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤？最大利潤是多少？【重點總結(jié)】解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：=1\*GB3①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；=2\*GB3②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；=3\*GB3③求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；=4\*GB3④還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義．【變式探究】（2020·攀枝花市第十五中學校高一期中）“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度（單位：尾/立方米）的函數(shù).當時，的值為2千克/年；當時，是的一次函數(shù)；當時，因缺氧等原因，的值為0千克/年.（1）當時，求關(guān)于的函數(shù)表達式.（2）當養(yǎng)殖密度為多少時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值.專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式新課程考試要求1.一元二次不等式：(1)會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.(3)會解一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).核心素養(yǎng)培養(yǎng)學生數(shù)學運算（例1--9）、數(shù)學建模（例9）、邏輯推理（例7）等核心數(shù)學素養(yǎng).考向預測1.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及應(yīng)用2.一元二次不等式的解法3.一元二次不等式的恒成立問題【知識清單】1．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n).零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－eq\f(b,2a)對稱2.一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有一個未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.3.三個“二次”之間的關(guān)系（1）關(guān)于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函數(shù)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分別使二次函數(shù)f(x)的函數(shù)值為正值或負值時自變量x的取值的集合．（2）三個“二次”之間的關(guān)系：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f(x)>0或f(x)<0的步驟求方程f(x)＝0的解有兩個不等的實數(shù)解x1，x2有兩個相等的實數(shù)解x1＝x2沒有實數(shù)解畫函數(shù)y＝f(x)的示意圖得不等式的解集f(x)>0__{x|x<x1或x>x2}__{x|x≠－eq\f(b,2a)}Rf(x)<0__{x|x1<x<x2}____?____?__3.不等式恒成立問題1．一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).2．含參數(shù)的一元二次不等式恒成立．若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.4.待定系數(shù)法的應(yīng)用待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程．使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學問題是否具有某種確定的數(shù)學表達式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解．例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學表達形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解．使用待定系數(shù)法解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決．如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：①利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；③利用定義本身的屬性列方程；④利用幾何條件列方程．【考點分類剖析】考點一：二次函數(shù)的解析式例1.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7【解析】解法一(利用“一般式”解題)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用“頂點式”解題)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線的對稱軸為x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2).又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用“零點式”解題)由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值8，即eq\f(4a－2a－1－a2,4a)＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.【規(guī)律方法】根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：【變式探究】（2020·江蘇常州市·常州高級中學高一期中）已知二次函數(shù)，滿足且方程有兩個相等實根．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當且僅當時，不等式恒成立，試求，的值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由，以及二次方程有兩個相等實根的條件：判別式為0，可得，的方程，解方程可得所求解析式；（2）由，解不等式可得解集，再由題意可得原不等式的解集即為，，可得，的方程組，解方程可得所求值．【詳解】解：（1）由，，可得，即，則，方程有兩個相等實根，即有兩個相等實根，則，所以，從而；（2）不等式即為，化為，由，可得，則不等式的解集為，，又當且僅當，時，不等式恒成立，可得，，，所以且，解得，．考點二：二次函數(shù)圖象的識別例2.（2020·山東省微山縣第一中學高一月考）對數(shù)函數(shù)且與二次函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖像不可能是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，函數(shù)單調(diào)遞減，開口向下，對稱軸在y軸的左側(cè)，排除C，D；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，開口向上，對稱軸在y軸的右側(cè)，排除B；故選：A【總結(jié)提升】識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學會“三看”【變式訓練】（2019·遼寧高考模擬（理））函數(shù)y=1?|x?xA．B．C．D．【答案】C【解析】當x=?1時，y=1??1?1當x=2時，y=1?2?4綜上選C.考點三：二次函數(shù)的單調(diào)性問題例3.（2021·浙江高三專題練習）若函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】先求出函數(shù)的對稱軸，由于函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，所以對稱軸在此區(qū)間，即，從而可求出實數(shù)a的取值范圍【詳解】由題意得的對稱軸為，因為函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，所以，得．故答案為：．【總結(jié)提升】研究二次函數(shù)單調(diào)性的思路(1)二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時要依據(jù)其圖象的對稱軸進行分類討論．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A?eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A?\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))))，即區(qū)間A一定在函數(shù)對稱軸的左側(cè)(右側(cè))．【變式探究】（2020·泰州市第二中學高一月考）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系求解；（2）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，分類討論求解.【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象的對稱軸為，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，（1）因為函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，所以或，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）（i）當，即時，有在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，（ii）當，即時，有在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上的最小值.考點四：二次函數(shù)的最值問題例4.（2020·全國高一單元測試）已知二次函數(shù)的兩個零點分別是0和5，圖象開口向上，且在區(qū)間上的最大值為12．（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的解析式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)求出函數(shù)解析式；（2）結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，及對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系，分類討論求出最小值為g(t)的解析式.【詳解】（1）因為二次函數(shù)的兩個零點分別是0和5，圖象開口向上，所以可設(shè)，又在區(qū)間上的最大值為12，所以，．．（2），圖象開口向上，對稱軸為．①當即時，在上是減函數(shù)，；②當即時，；③當時，在上是增函數(shù)，．綜上所述，.【技巧點撥】二次函數(shù)最值問題的類型及求解策略(1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動．(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成．【變式探究】（2021·長春市第二實驗中學高二月考（文））函數(shù)在上的最大值和最小值依次是（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此可得出該函數(shù)的最大值和最小值.【詳解】二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，，所以，.故選：D.考點五：二次函數(shù)的恒成立問題例5.（2021·全國高三專題練習）已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】．【解析】分類：適合，時，分離參數(shù)，求出右端的最小值即可得．【詳解】由題可知2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立．x＝0時，有－3<0恒成立；x≠0時，a<，因為∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，當＝1，即x＝1時，不等式右邊取最小值，所以a<，且a≠0．綜上，實數(shù)a的取值范圍是．【總結(jié)提升】由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的思路及關(guān)鍵1.一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．2.兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個思路的依據(jù)是：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min..3.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．【變式探究】（2020·天津市咸水沽第二中學高三一模）已知函數(shù)．若存在使得關(guān)于x的不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】由題意，當時，不等式可化為顯然不成立；當時，不等式可化為，所以，又當時，，當且僅當，即時，等號成立；當時，不等式可化為，即；因為存在使得關(guān)于x的不等式成立，所以，只需或.故答案為：.考點六：二次函數(shù)與函數(shù)零點問題例6.（2020·宜賓市敘州區(qū)第一中學校高一月考（理））已知函數(shù).（1）若的值域為，求關(guān)于的方程的解；（2）當時，函數(shù)在上有三個零點，求的取值范圍.【答案】（1）或.（2）【解析】（1）因為的值域為，所以.因為，所以，則.因為，所以，即，解得或.（2）在上有三個零點等價于方程在上有三個不同的根.因為，所以或.因為，所以.結(jié)合在上的圖象可知，要使方程在上有三個不同的根，則在上有一個實數(shù)根，在上有兩個不等實數(shù)根，即，解得.故的取值范圍為.【規(guī)律總結(jié)】1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標．2．注意靈活運用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題．【變式探究】（2019·馬關(guān)縣第一中學校高一期末）已知二次函數(shù)，且-1,3是函數(shù)的零點.（1）求解析式，并解不等式;（2）若，求行數(shù)的值域【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意得即，（2）令考點七：一元二次不等式恒成立問題例7.（2021·全國高三專題練習）設(shè)函數(shù)．若對于，恒成立，求m的取值范圍．【答案】．【解析】由題意等價于對于，恒成立，令，即恒成立，分類討論，和三種情況進行討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解即得.【詳解】由題意對于，恒成立，．等價于對于，恒成立，令（1）當時，恒成立，符合題意；（2）當時，在上單調(diào)遞增，要使恒成立，只要即可，即，解得：，故.（3）當時，在上單調(diào)遞減，要使恒成立，只要即可，即，解得：，故.綜上，m的取值范圍是.【總結(jié)提升】由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的思路及關(guān)鍵1.一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．2.兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個思路的依據(jù)是：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min..3.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．【變式探究】（2020·濟源市第六中學高二月考（文））已知函數(shù)，若在區(qū)間上，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】要使在區(qū)間上，不等式恒成立，只需恒成立，設(shè)，只需小于在區(qū)間上的最小值，因為，所以當時，，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.考點八：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用例8．（2021·上海高三二模）已知函數(shù)(為常數(shù)，).（1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）當為偶函數(shù)時，若方程在上有實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義求解即可；（2）當函數(shù)為偶函數(shù)時，，列出方程，利用換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對勾函數(shù)的性質(zhì)，由求根公式解出方程的根，可得實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）∵函數(shù)的定義域為，又∵∴①當時，即時，可得即當時，函數(shù)為偶函數(shù)；②當時，即時，可得即當時，函數(shù)為奇函數(shù).（2）由（1）可得，當函數(shù)為偶函數(shù)時，，即時，由題可得，令，則有∵∴，又∵，當且僅當時，等號成立根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，，即①此時的取值不存在；②此時，可得的取值為綜上可得【總結(jié)提升】對于含有參數(shù)的一元二次不等式常見的討論形式有如下幾種情形：1、對二次項系數(shù)進行討論；2、對應(yīng)方程的根進行討論；3、對應(yīng)根的大小進行討論等；考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數(shù)可