高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第08講函數(shù)的概念及其表示方法(原卷版+解析)

第08講函數(shù)的概念及其表示方法1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的，如果對(duì)于集合A中的一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：、、．(2)如果兩個(gè)函數(shù)的相同，并且完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等．3．函數(shù)的表示法解析法圖象法列表法就是把變量x，y之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)來表示，通過關(guān)系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量x，y的值.就是將變量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．5.常見函數(shù)的定義域：(1)分式函數(shù)中分母.(2)偶次根式函數(shù)被開方式.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)?(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定義域均為.(5)y＝tanx的定義域?yàn)?6)函數(shù)f(x)＝xα的定義域?yàn)?【2018年新課標(biāo)1卷文科】已知函數(shù)，若，則________．1、下列圖形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的圖象是()2、下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．f(x)＝elnx，g(x)＝xB．f(x)＝eq\f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2C．f(x)＝eq\f(sin2x,2cosx)，g(x)＝sinxD．f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)3、函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．4、(多選)(2022·雅禮中學(xué)高三月考)下列說法中，正確的有()A.式子y＝eq\r(x－1)＋eq\r(－x－1)可表示自變量為x，因變量為y的函數(shù)B.函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)最多有1個(gè)C.若f(x)＝|x－1|－|x|，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝1D.f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數(shù)考向一函數(shù)的概念例1、（1）下列各曲線表示的y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是()（2）(多選)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的為()A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B.f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2－1,x＋1)C.f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))D.f(x)＝eq\r(－x3)，g(x)＝xeq\r(－x)變式1、下列各對(duì)函數(shù)中是同一函數(shù)的是()．A．f(x)＝2x－1與g(x)＝2x－x0B．f(x)＝eq\r(（2x＋1）2)與g(x)＝|2x＋1|；C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)；D．f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2.變式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列從P到Q的各對(duì)應(yīng)關(guān)系f不是函數(shù)的是________．(填序號(hào))①f：x→y＝eq\f(1,2)x；②f：x→y＝eq\f(1,3)x；③f：x→y＝eq\f(2,3)x；④f：x→y＝eq\r(x).方法總結(jié)：(1)定義是解題的重要依據(jù)，它有雙重功能：一是判定；二是性質(zhì)．要判定一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，就要看其是否滿足函數(shù)的定義，反之亦然；(2)函數(shù)的值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)，而定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則中有一個(gè)不同就不是同一函數(shù)．考向二函數(shù)的定義域例1、求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\r(lg(5－x2))；(2)f(x)＝eq\f(1,ln(x－1)).變式1、（1）函數(shù)f(x)＝ln(4x－x2)＋eq\f(1,x－2)的定義域?yàn)?)A.(0，4)B.[0，2)∪(2，4]C.(0，2)∪(2，4)D.(－∞，0)∪(4，＋∞)（2）.函數(shù)f(x)＝eq\r(lnx)·lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,2－x)))的定義域是()A.[1，2] B.[2，＋∞)C.[1，2) D.(1，2]變式3、.已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1，1]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f（2x－1）,ln（1－x）)的定義域是()A.[0，1] B.(0，1)C.[0，1) D.(0，1]方法總結(jié)：1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.2.求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域.考向三函數(shù)的解析式例2、(1)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x＋1)＝2f(x).若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1－x)，求當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式；(3)已知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，滿足3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1，求函數(shù)f(x)的解析式．變式1、(1)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．變式2、求下列函數(shù)的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.方法總結(jié)：函數(shù)解析式的常見求法函數(shù)解析式的求法主要有以下幾種：(1)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；(2)配湊法：由已知條件f(g(x))＝f(x)，可將f(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(3)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次函數(shù)f(x)可設(shè)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出a，b，c即可．(4)解方程組法：已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))(或f(－x))等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．考向四分段函數(shù)例3、（1）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg（x2＋1），x<1，))則f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.（2）、已知?jiǎng)tf(7）=______.（3）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(log2（3－x），,x≤0，,2x－1，,x>0，)))若f(a－1)＝eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)a＝________．（4）、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,－x－12，x>0，))則不等式f(x)≥－1的解集是________．變式1、設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是___．方法總結(jié)：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，再通過分類討論求解；(2)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍．1、設(shè)函數(shù),()A．3B．6C．9D．122、設(shè)函數(shù)則使得成立的的取值范圍是________.3、(2022·泰州中學(xué)期初考試)下列關(guān)于x，y的關(guān)系中為函數(shù)的是（）A. B. C. D.4、(2022·湖南省雅禮中學(xué)開學(xué)考試)已知函數(shù)eqf(x)＝\B\lc\{(\a\al((x－1)\s\up6(2)，x≤1，,log\s\do(\f(1,2))x，x＞1，))eqf(x\s\do(0))＝－2，則eqx\s\do(0)＝．5、(2022·湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高三起點(diǎn)考試)已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.6、(2022·沭陽如東中學(xué)期初考試)(多選題)設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義域?yàn)镈，若存在x，y∈D，且x≠y，使得eq2f(\f(x＋y,2))＝f(x)＋f(y)，則稱函數(shù)y＝f(x)是D上的“S函數(shù)”，下列函數(shù)是“S函數(shù)”的是A．eqy＝2\s\up6(x)B．y＝x－sinx＋1C．y＝lnxD．y＝EQ\B\lc\{(\a\al(\l(\F(1,x)，x＞0),\l(1，x≤0)))7、已知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq\f(1,x4)，則f(x)＝__________.第08講函數(shù)的概念及其表示方法1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等．3．函數(shù)的表示法解析法圖象法列表法就是把變量x，y之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)來表示，通過關(guān)系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量x，y的值.就是將變量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．5.常見函數(shù)的定義域：(1)分式函數(shù)中分母不等于零.(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽.(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定義域均為R.(5)y＝tanx的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(6)函數(shù)f(x)＝xα的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}.【2018年新課標(biāo)1卷文科】已知函數(shù)，若，則________．【答案】-7【解析】【詳解】分析：首先利用題的條件，將其代入解析式，得到，從而得到，從而求得，得到答案.詳解：根據(jù)題意有，可得，所以，故答案是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知某個(gè)自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，來確定有關(guān)參數(shù)值的問題，在求解的過程中，需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.1、下列圖形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的圖象是()【答案】C【解析】A中的值域不滿足，B中的定義域不滿足，D項(xiàng)不是函數(shù)的圖象，由函數(shù)的定義可知C正確.2、下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．f(x)＝elnx，g(x)＝xB．f(x)＝eq\f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2C．f(x)＝eq\f(sin2x,2cosx)，g(x)＝sinxD．f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)【答案】D【解析】A，B，C的定義域不同，所以答案為D.3、函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，知解之得：故選：B4、(多選)(2022·雅禮中學(xué)高三月考)下列說法中，正確的有()A.式子y＝eq\r(x－1)＋eq\r(－x－1)可表示自變量為x，因變量為y的函數(shù)B.函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)最多有1個(gè)C.若f(x)＝|x－1|－|x|，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝1D.f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數(shù)【答案】BCD【解析】對(duì)于A，對(duì)于函數(shù)y＝eq\r(x－1)＋eq\r(－x－1)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,－x－1≥0，))此不等式組無解，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)函數(shù)y＝f(x)在x＝1處無定義時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1無交點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)y＝f(x)在x＝1處有定義時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1只有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)最多有1個(gè)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閒(x)＝|x－1|－|x|，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(0)＝1，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t的定義域均為R，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數(shù)，故D正確．故選BCD.考向一函數(shù)的概念例1、（1）下列各曲線表示的y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是()【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)意義：對(duì)任意x值，y都有唯一值與之對(duì)應(yīng)，只有C不滿足.（2）(多選)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的為()A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B.f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2－1,x＋1)C.f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))D.f(x)＝eq\r(－x3)，g(x)＝xeq\r(－x)【答案】AC【解析】同一函數(shù)滿足①定義域相同；②對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，只有A、C滿足.變式1、下列各對(duì)函數(shù)中是同一函數(shù)的是()．A．f(x)＝2x－1與g(x)＝2x－x0B．f(x)＝eq\r(（2x＋1）2)與g(x)＝|2x＋1|；C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)；D．f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2.【答案】BD【解析】①函數(shù)g(x)＝2x－x0＝2x－1，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)；②f(x)＝eq\r(（2x＋1）2)＝|2x＋1|與g(x)＝|2x＋1|的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一函數(shù)；④f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)．變式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列從P到Q的各對(duì)應(yīng)關(guān)系f不是函數(shù)的是________．(填序號(hào))①f：x→y＝eq\f(1,2)x；②f：x→y＝eq\f(1,3)x；③f：x→y＝eq\f(2,3)x；④f：x→y＝eq\r(x).【答案】：③【解析】：對(duì)于③，因?yàn)楫?dāng)x＝4時(shí)，y＝eq\f(2,3)×4＝eq\f(8,3)?Q，所以③不是函數(shù)．方法總結(jié)：(1)定義是解題的重要依據(jù)，它有雙重功能：一是判定；二是性質(zhì)．要判定一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，就要看其是否滿足函數(shù)的定義，反之亦然；(2)函數(shù)的值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)，而定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則中有一個(gè)不同就不是同一函數(shù)．考向二函數(shù)的定義域例1、求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\r(lg(5－x2))；(2)f(x)＝eq\f(1,ln(x－1)).【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝eq\r(lg(5－x2))，所以lg(5－x2)≥0且5－x2>0，所以lg(5－x2)≥lg1，－eq\r(5)<x<eq\r(5).因?yàn)閥＝lgx在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以5－x2≥1，解得－2≤x≤2，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－2，2].(2)因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,ln(x－1))，所以ln(x－1)≠0，即ln(x－1)≠ln1，且x－1>0，解得x>1，且x≠2，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，2)∪(2，＋∞).變式1、（1）函數(shù)f(x)＝ln(4x－x2)＋eq\f(1,x－2)的定義域?yàn)?)A.(0，4)B.[0，2)∪(2，4]C.(0，2)∪(2，4)D.(－∞，0)∪(4，＋∞)【答案】C【解析】要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－x2＞0，,x－2≠0，))解得0＜x＜4且x≠2.（2）.函數(shù)f(x)＝eq\r(lnx)·lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,2－x)))的定義域是()A.[1，2] B.[2，＋∞)C.[1，2) D.(1，2]【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋2）（2－x）＞0，,x＞0，,lnx≥0，))解得1≤x＜2，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1，2).變式3、.已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1，1]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f（2x－1）,ln（1－x）)的定義域是()A.[0，1] B.(0，1)C.[0，1) D.(0，1]【答案】B【解析】由題意可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1，1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由g(x)滿足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0，所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0，1).方法總結(jié)：1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.2.求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域.考向三函數(shù)的解析式例2、(1)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x＋1)＝2f(x).若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1－x)，求當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式；(3)已知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，滿足3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1，求函數(shù)f(x)的解析式．【解析】(1)因?yàn)閒(x)為二次函數(shù)，所以設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(0)＝c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.因?yàn)閒(x＋1)＝f(x)＋x＋1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2)，))所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x.(2)當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，0≤x＋1≤1，所以f(x)＝eq\f(f(x＋1),2)＝eq\f(1,2)(x＋1)(1－x－1)＝－eq\f(x,2)(x＋1).(3)因?yàn)?f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1，①所以3feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋5f(x)＝3x＋1.②由①＋②，得8f(x)＋8feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x＋eq\f(3,x)＋2，③由②－eq\f(3,8)×③，得2f(x)＝eq\f(15,8)x－eq\f(9,8x)＋eq\f(1,4)，所以f(x)＝eq\f(15,16)x－eq\f(9,16x)＋eq\f(1,8).變式1、(1)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．【解析】(1)(換元法)令eq\f(2,x)＋1＝t，得x＝eq\f(2,t－1)，代入得f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lgeq\f(2,x－1)，x∈(1，＋∞)．(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，x∈R.(3)(解方程組法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3).故f(x)的解析式是f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3)，x∈R.變式2、求下列函數(shù)的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.【解析】(1)(換元法)設(shè)1－sinx＝t，t∈[0，2]，則sinx＝1－t.∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配湊法)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(2)－2，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7，))∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(方程組法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.方法總結(jié)：函數(shù)解析式的常見求法函數(shù)解析式的求法主要有以下幾種：(1)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；(2)配湊法：由已知條件f(g(x))＝f(x)，可將f(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(3)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次函數(shù)f(x)可設(shè)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出a，b，c即可．(4)解方程組法：已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))(或f(－x))等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．考向四分段函數(shù)例3、（1）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg（x2＋1），x<1，))則f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.（2）、已知?jiǎng)tf(7）=______.（3）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(log2（3－x），,x≤0，,2x－1，,x>0，)))若f(a－1)＝eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)a＝________．（4）、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,－x－12，x>0，))則不等式f(x)≥－1的解集是________．【答案】（1）02eq\r(2)－3；（2）6（3）log23（4）[－4,2]【解析】（1）∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝0，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r(2)－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)f(x)min＝2eq\r(2)－3<0；當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)f(x)min＝0.∴f(x)的最小值為2eq\r(2)－3.（2）∵7＜9，∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．又∵8＜9，∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.（3）當(dāng)a－1≤0，即a≤1時(shí)，f(a－1)＝log2(4－a)＝eq\f(1,2)，解得a＝4－eq\r(2)(舍)；當(dāng)a－1>0，即a>1時(shí)，f(a－1)＝2a－1－1＝eq\f(1,2)，解得a＝log23.（4）當(dāng)x≤0時(shí)，不等式f(x)≥－1可以化為eq\f(1,2)x＋1≥－1，解之得x≥－4，此時(shí)－4≤x≤0；當(dāng)x>0時(shí)，不等式f(x)≥－1可以化為－(x－1)2≥－1，解之得0<x≤2，綜上所述，不等式f(x)≥－1的解集為[－4,2]．變式1、設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是___．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立；當(dāng)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式為，解得，即；綜上，的取值范圍為．

方法總結(jié)：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，再通過分類討論求解；(2)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍．1、設(shè)函數(shù),()A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】由已知得，又，所以，故，故選C．2、設(shè)函數(shù)則使得成立的的取值范圍是________.【答案】.【解析】原不等式等價(jià)于或，解得，故的取值范圍是.3、(2022·泰州中學(xué)期初考試)下列關(guān)于x，y的關(guān)系中為函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，定義域需滿足即，不能滿足函數(shù)的定義，故B不是函數(shù)；對(duì)于C，不能滿足函數(shù)的定義，故C不是函數(shù)；對(duì)于D，滿足構(gòu)成函數(shù)的要素，故D是函數(shù)，故選D.4、(2022·湖南省雅禮中學(xué)開學(xué)考試)已知函數(shù)eqf(x)＝\B\lc\{(\a\al((x－1)\s\up6(2)，x≤1，,log\s\do(\f