2021-2022學(xué)年新教材湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)32函數(shù)的基本性質(zhì) 課時(shí)練習(xí)題_第1頁
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文檔簡介

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)練習(xí)題

1、函數(shù)的單調(diào)性............................................1

2、函數(shù)的最大(小)值.........................................6

3、奇偶性的概念...........................................13

4、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(習(xí)題課).................................18

1、函數(shù)的單調(diào)性

1.函數(shù)加)=|x+2|在[一3,0]±()

A.單調(diào)遞減B.單調(diào)遞增

C.先減后增D.先增后減

解析:選C作出兀v)=|x+2|在(-8,+8)上的圖象,如圖所示,

易知?r)在[一3,0]上先減后增.

2.已知函數(shù)共幻的定義域?yàn)椋╩b),且對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)汨,X2,均有(汨

一動(dòng)砍為)一段2)]<0,則於)在3份上()

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增

D.先單調(diào)遞增再單調(diào)遞減

Xi-X2<0,

解析:選B若(XI—也)伏方)—於2)]<0,則1/、,、或

f(xi)—f(X2)>0

X\-X2>0,

即當(dāng)X\<X2時(shí),7UD次h)或當(dāng)X\>X2時(shí),於1)勺(X2).不論哪

fGl)—f(X2)<0,

種情況,都說明/(X)在(凡份上單調(diào)遞減.

3.已知四個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是

解析:選B對(duì)于A,函數(shù)分別在(一8,1)和[1,+8)上單調(diào)遞增,但存在

xie(O,1),便於1)41),故A不符合題意;對(duì)于C,函數(shù)分別在(一8,1)和(1,

+8)上單調(diào)遞增,但存在汨>1,使於|)勺(1),故C不符合題意;對(duì)于D,函數(shù)

分別在(一8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞減,但存在X]=—1,x:=l,使y(Xl)勺(X2),

故D不符合題意;只有B符合題意,故選B.

4.(多選)已知函數(shù)應(yīng)¥)=2加+4(〃-3)x+5,下列關(guān)于函數(shù)兀0的單調(diào)性說法

正確的是()

A.函數(shù)人幻在R上不具有單調(diào)性

B.當(dāng)。=1時(shí),危)在(一8,0)上遞減

C.若加)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,-4],則。的值為一1

D.若加)在區(qū)間(-8,3)上是減函數(shù),則。的取值范圍是[0,4

解析:選BD當(dāng)〃=0時(shí),應(yīng)x)=-12x+5,在R上是減函數(shù),A錯(cuò)誤;當(dāng)

67=1時(shí),/U)=2f—8x+5,其單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,2],因此於)在(一8,0)

2a>0,

上遞減,B正確;由?r)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,—4]得彳4(a-3)a

——口~=―今

的值不存在,C錯(cuò)誤;在D中,當(dāng)。=0時(shí),兀0=—12丫+5,在(一8,3)上是

33

減函數(shù):當(dāng)時(shí),由14(〃-3)得0<。在不所以。的取值范圍是0,4,

D正確.

5.已知函數(shù)代x)=/+4x+c,貝lj()

A.Xl)<c</(-2)B.c勺(一2)勺(1)

C.c41)次一2)D.川)>c次-2)

解析:選D二次函數(shù)兀+4x+c圖象的對(duì)稱軸為x=-2,且開口向上,

所以在[-2,+8)上單調(diào)遞增,所以五一2)勺(0)41),又負(fù)0)=c,所以川)〉。力一

2).

f+1,120,

6.函數(shù)加0=2八的單調(diào)遞增區(qū)間為_________

1―x2,x<0

解析:畫出函數(shù)圖象如圖所示,由圖象可知,府)在(一8,+8)上是增函數(shù),

即兀0的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,+8).

答案:(-8,+OO)

7.函數(shù)凡在區(qū)間(―2,+8)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

人I乙

or+1a(x+2)-2〃+l1-267

解析:“r)=

x+2x+2x+2'

依題意有1—2〃<0,即

答案:g+8)

8.能說明“若y(x)M0)對(duì)任意的x£(o,2]都成立,則兀0在[0,2]上是增函

數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是.

解析:這是一道開放性試題,答案不唯一,只要滿足次0)對(duì)任意的x£(0,

x2(OWxWl),

2]都成立,且函數(shù)段)在[0,2]上不是增函數(shù)即可.如y(x)=J/、、-

.Q—1)(1<XW2).

x2(OWxSl),

答案:段)=(2-VC(答案不唯一)

(X—1)/(1<XW2)

9.判斷并證明函數(shù)y(x)=—:+i在(0,+8)上的單調(diào)性.

解:函數(shù)"^)=一!+1在[0,+8)上單調(diào)遞增.證明如Y:

設(shè)XI,X2是(0,+8)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且Xi",則?汨)一/(田)=(小

二+/=『

X2)X\X2

由Xl,X2€(0,+°°),得XlX2>0,

又由X|<X2,得X2<0,

于是汽笛)~/(12)<0,即/(川)<fiX2),

?\/(X)=—:+1在(。,+8)上單調(diào)遞增.

io.已知函數(shù)7U)的圖象如圖所示.

(1)根據(jù)函數(shù)的圖象,寫出次0的單調(diào)區(qū)間;

(2)若yu)在[。-1,。+1]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)。的取

值范圍.

解:(1)由函數(shù)圖象得加)在(一8,—1]和[2,+8)上單調(diào)遞增;段)在(一1,

2)上單調(diào)遞減.

(2)因?yàn)?U)在上單調(diào)遞增,所以a+l<—1或〃一122,解得

—2或。力3.

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一8,-2]U[3,+8).

11.(多選)已知函數(shù)/U)=—f+2x+l的定義域?yàn)椋ㄒ?,3),則函數(shù)*x|)的

單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(一8,-1)B.(-3,-1)

C.(0,1)D.(1,3)

解析:選BC因?yàn)楹瘮?shù)4x)=-f+2x+l的定義域?yàn)椋?2,3),

圖象的對(duì)稱軸為直線x=l,開口向下,

所以函數(shù)XM)滿足一2VH<3,

所以一3<x<3.

又|H)=—f+2|x|+l

—X2+2X+1,0^x<3,

x2-2x4-1,-3<r<0,

且y=-x2—2x+l圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1,

所以由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,函數(shù)穴因)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一3,-1)

和(0,1).故選B、C.

12.已知函數(shù)段)是R上的增函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若〃+。>0,則有()

A./S)七/S)>(一。)十八一。)

B.人。)+434—。)+/(一與

C.j{ci)b)

D.fia)-a)—fi-b)

解析:選AVtz+Z?>0,.*.?>-/?,b>—a,:?\/(a)

+?力次一幻+y(一力.故選A.

13.若函數(shù)/U)=f-23—l)x+2在區(qū)間(1,4)上不是單調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)。

的取值范圍是.

解析:因?yàn)楹瘮?shù)y(x)=f—2(〃-l)x+2在區(qū)間(1,4)上不是單調(diào)函數(shù),函數(shù)

圖象的對(duì)稱軸為直線x=a—1,所以1<4,所以2v〃v5.

答案:(2>5)

3x+7

14.己知函數(shù)人¥)=;+2。

(1)判斷并證明函數(shù)7U)在(一2,+8)上的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)“X)的定義域?yàn)椋ㄒ?,2),且滿足式-2m+3)M加2),求機(jī)的取值范

圍.

解:(1次萬=3+士,犬工)在(-2,+8)上單調(diào)遞減,證明如下:設(shè)

人IL人I4

XI,X2是區(qū)間(-2,+8)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且X2<X1,

則以(k+2),因?yàn)榛肦2>_2,

所以總+2>0,X2+2>0,X2—XI<0,

所以人1|)勺(X2),所以ZU)在(-2,+8)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知,當(dāng)了£(—2,2)時(shí),函數(shù)?x)單調(diào)遞減,所以由次一2m+3)習(xí)(一)

<2<一2"z+3<2,

得,<-2<m2<2,

、―2m+3v層,

解得\<m<^2f

所以機(jī)的取值范圍為(1,啦).

15.設(shè)yu)=f+i,g(x)=j</u)),F(x)=ga)—A/U).問是否存在實(shí)數(shù)人使

尸(處在區(qū)間(一8,一罷|上單調(diào)遞減且在區(qū)間(一半,0)上單調(diào)遞增?若存在,

求出2的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

解:假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)九則由.Kr)=f+1,g(x)=/(/*)),得g(x)=(f

+1)2+1,

???F(x)=g(x)-Xf(x)=x4+(2—2濡+2—工

令,=f,則f=f在(-8,0)上單調(diào)遞減,且當(dāng)工£(—8,一乎)時(shí),分;;

當(dāng)XW(一坐0)時(shí),0<r<1.

故若F(x)在(一8,一挈上單調(diào)遞減,在(一堂,())上單調(diào)遞增,則函數(shù)力⑺

=產(chǎn)+(2—2?+2—2在(;,+°°)上單調(diào)遞增,在(0,上單調(diào)遞減,,函數(shù)夕⑺

2—21人一2?

=尸+(2—++2—2的圖象的對(duì)稱軸f=、一為直線t=2,即一了二=受,則%=3.

故存在滿足條件的實(shí)數(shù)4A=3),使尸(x)在區(qū)間(-8,一乎)上單調(diào)遞減且在

區(qū)間(一乎,。)上單調(diào)遞增.

2、函數(shù)的最大(?。┲?/p>

工,百,

1.函數(shù)'的最大值為()

、一f+2,x<l

A.1B.2

八11

C,2D.g

解析:選B當(dāng)時(shí),函數(shù)4x)=:為減函數(shù),此時(shí)ZU)在x=l處取得最

大值,最大值為41)=1;當(dāng)#1時(shí),函數(shù)兀0=—/+2在1=0處取得最大值,

最大值為/(0)=2.綜上可得,寅1)的最大值為2,故選B.

2.(2021?聊城高一檢測(cè))已知函數(shù)),=且#=0)在[3,8]上的最大值為1,則

k的值為()

A.1B.-6

C.1或一6D.6

解析:選A當(dāng)心>0時(shí),函數(shù)),=三在[3,8]上單調(diào)遞減,???函數(shù)在[3,8]

上的最大值為1,???春=1,:.k=\;

當(dāng)攵<0時(shí),函數(shù)),=告在[3,8]上單調(diào)遞增,函數(shù)在[3,8]上的最大值為

1,???3]=1,??/=6(舍去).故選A?

3.設(shè)函數(shù)11)=意在區(qū)間[3,4]上的最大值和最小值分別為M,加,則除=

()

23

AB.

38

C.|8

D.

3

2r4

解析:選D易知於)=二=2+=,所以/U)在區(qū)間[3,4]上單調(diào)遞減,

44w2168

所以M=A3)=2+*^=6,加=式4)=2+[^=4,所以石=不=彳

—x+a,xWO,

4.設(shè)yu)=”若犬0)是/U)的最小值,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

x4--,x>0,

A.(-oo,2]B.(-8,2)

C.(2,+8)D.[2,+8)

解析:選A由題意,當(dāng)心>0時(shí),兒E)的最小值為火1)=2;當(dāng)xWO時(shí),/U)

的最小值為火0)=〃.若<0)是於)的最小值,則々W2.

5.當(dāng)0WxW2時(shí),〃<一《+2]恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(—8,1]B.(—8,0]

C.(一8,0)D.(0,4-00)

解析:選C〃<一f+2x恒成立,則a小于函數(shù)?x)=-f+2x,/£[0,2]

的最小值,而Ar)=-f+2x,xE[0,2]的最小值為0,故小Q

6.函數(shù)y=一xe[—3,-1]的最大值與最小值的差是.

解析:易證函數(shù)產(chǎn)一;在L3,—1]上為增函數(shù),所以>min=;,Vmax=l,所

,12

以Jmax-ymin=1~~^=y

2

答案:f

7.函數(shù)y=?x)的定義域?yàn)椋?4,6],若函數(shù)段)在區(qū)間[-4,一2]上單調(diào)遞

減,在區(qū)間(-2,6]上單調(diào)遞增,且人-4)勺(6),則函數(shù)於)的最小值是,

最大值是.

解析:作出符合條件的函數(shù)的簡圖(圖略),可知/U)min=>(-2),/(X)max=y(6).

答案:X-2)/6)

8.某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌汽車,銷售X輛該品牌汽車的利

潤(單位:萬元)分別為L=-f+21x和£2=2x若該公司在兩地共銷售15輛,

則能獲得的最大利潤為萬元.

解析:設(shè)該公司在甲地銷售/輛,則在乙地銷售(15-x)輛,公司獲利為L=

(19)2192

-?+21x+2(15-x)=-^+19x+30=+304--;所以當(dāng)x=9或10

時(shí),L最大為120萬元.

答案:120

-1j-g2x+1

9.已知函數(shù)?r)=.+].

(1)用定義證明於)在區(qū)間[1,+8)上單調(diào)遞增;

(2)求該函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的最大值與最小值.

解:(1)證明:設(shè)X]和及是區(qū)間[1,+8)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且沏勺2,則

2x|+12x2+1_______-L及_________

=

J(Xl)-fiX2)=X1+]~X2+[(x,+l)(X2+l),

\*1<X2,/.X\—X2<0,(X1+1)(X2+l)>0,

?*-7(X1)—y(X2)<0,即加1)磯X2),

故函數(shù)j(x)在區(qū)間n,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知函數(shù)人笛在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增,

°?2X4+19?,2X2+15

?JU)max=犬4)=4+]-=5,<X)min=貝2)=2+]—=§?

10.己知函數(shù),;X—1)=/—%—2.

⑴求函數(shù)/U)的解析式;

(2)對(duì)任意的2,夕(3)2%+依一I*恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解:⑴令尸那一1,則x=2f+2,

??J“)=(2z+2)2—奶+2)—2=4尸+7/+1,

?\/(冗)=4~+7冗+1.

(2)由1x)25+ar—5,得g(4f+7x+3

2f

即ar^2¥2+3x+2.

VxeI,2,???aW2d+3,

令ga)=2Q+0+3,I,2,

則〃Wg(X)min,

又yjx?:=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立,.??ga)min=2X2+3=7,

:?a&7,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,7].

X3,xW”,

11.(多選)已知函數(shù)?r)=2LN其中M,N為非空集合,且滿足MUN

[X。x£N,

=R,則下列結(jié)論中不正確的是()

A.函數(shù)./(x)一定存在最大值

B.函數(shù)yu)一定存在最小值

c.函數(shù)./lx)一定不存在最大值

D.函數(shù)凡X)一定不存在最小值

丁,工£M,

解析:選ABD???函數(shù)式¥)=彳9'其中N為非空集合,且滿足

I—xWN,

MUN=R,?,?若M=(0,+8),N=(-8,0],則£E)的最小值為0,故D錯(cuò)誤;

若M=(—8,0),N=[0,+°°),則於)無最小值,故B錯(cuò)誤;由MUN=R,

可得圖象無限上升,則人x)無最大值,故A錯(cuò)誤,C正確.

12.若函數(shù)於)=f+or+h在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是相,則

A.與。有關(guān),且與人有關(guān)

B.與。有關(guān),但與b無關(guān)

C.與a無關(guān),且與b無關(guān)

D.與。無關(guān),但與Z?有關(guān)

解析:選B段)=(%+£—(+〃,①當(dāng)0W—時(shí),危)min=m=/(—9=

a2

—疝+6,/(x)max=M=max伏0),/I))=max{Z?,1+〃+。},故M-m=

maxm,1+a+g與。有關(guān),與/?無關(guān);②當(dāng)一紅0時(shí),/(外在[0,1]上單調(diào)遞增,

故“一〃2=/0)一火0)=1+々,與。有關(guān),與。無關(guān);③當(dāng)一多>1時(shí),朋在[0,1]

上單調(diào)遞減,故M一m=,*0)一次1)=-1—〃,與。有關(guān),與方無關(guān).綜上所述,

M-加與a有關(guān),但與Z?無關(guān).

13.已知函數(shù)兀t)=f+奴+2(?0)在區(qū)間[0,2]上的最大值等于8,則。=

,函數(shù))=兀0在區(qū)間[―2,1]上的值域?yàn)?

解析:由題知函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=一彳<0,故人。|住=嗔2)=6+

2a=8,所以。=1,則於)=F+x+2=(x+T)+:.因?yàn)殪?的對(duì)稱軸為直線尸

一^£[_2,1]且{一目=:,大-2)=4,*1)=4,所以所求值域?yàn)?4.

答幕?1rz44

14.現(xiàn)有三個(gè)條件:①對(duì)任意的x£R都有7^+1)—#刈=21-2;②不等式

7U)V0的解集為{x|lVxV2};③函數(shù)y=?r)的圖象過點(diǎn)(3,2).請(qǐng)你在上述三個(gè)

條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到下面的問題中,并求解.

已知二次函數(shù)穴])=加+云+或?!?),且滿足(填所選條件的序

號(hào)).

(1)求函數(shù)/U)的解析式;

(2)設(shè)g(x)=/(x)一如,若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為3,求實(shí)數(shù)的

值.

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

解:(1)條件①:因?yàn)?(x)="+bx+c(4W0),

所以7(工+1)—a(x-\-1)2+Z?(x+l)+c—(ar2+Z?x+(?)=2f7x4-6f+Z?=2r—

2,

即2(〃一l)x+〃+6+2=0對(duì)任意的x恒成立,

4—1=0,4=1,

所以,解得

〃+/>+2=0,b=-3.

條件②:因?yàn)椴坏仁届?V0的解集為{M1VXV2},

1+2=/

b=~3af

所以”X2=A解得且。>0,

ac=2at

、〃+Z?+c=0,

條件③:函數(shù)y=/(x)的圖象過點(diǎn)(3,2),所以9〃+3b+c=2.

若選擇條件①②:則〃=1,b=-3,c=2,此時(shí)兀0=?—3尤+2;

若選擇條件①③:則Q=1,b=—3,c=2,此時(shí)段)=/一31+2;

若選擇條件②③:則Q=1,b=-3,c=2,此時(shí)段)=f-3x+2.

⑵由⑴知g(x)=f—(m+3)x+2,其對(duì)稱軸為x=^A~W2I—3,

/%?3

①當(dāng)‘2Y1,即mW—1時(shí),g(x)min=g(l)=3—(〃z+3)=—"2=3,解得m

=-3,

②當(dāng)一廠22,即加21時(shí),g(x)min=g(2)=6—(2〃z+6)=—2m=3,解得m

3人

=一2(舍),

A[,"z+3f/n+3、(加+3)2

③當(dāng)<2,即一IVmVl時(shí),g(x)mM=gy—)=---------------+2=3,

無解.

綜上所述,所求實(shí)數(shù)加的值為一3.

15.請(qǐng)先閱讀下列材料?,然后回答問題:

對(duì)于問題“已知函數(shù)人不)=3+,_^,問函數(shù)7U)是否存在最大值或最小值?

若存在,求出最大值或最小值;若不存在,說明理由",一個(gè)同學(xué)給出了如下解

答:令〃=3+2x—X2,則〃=—(X—1)2+4,當(dāng)X=1時(shí),〃有最大值,〃max=4,

顯然〃沒有最小值.故當(dāng)工=1時(shí),凡¥)有最小值;,沒有最大值.

(1)你認(rèn)為上述解答是否正確?若不正確,說明理由,并給出正確的解答;

2

(2)試研究函數(shù)尸至十—2的最值情況;

(3)對(duì)于函數(shù)fix)=(*+1+叩>。),試研究其最值情況.

解:⑴不正確.沒有考慮到〃還可以小于0.正確解答如下:令"=3+2x—f,

則〃=一(x—1/+4W4,易知〃豐0,當(dāng)0<〃W4時(shí),戶不即7U)*;

當(dāng)w<0時(shí),]<0,即於)v0.

?\/w<o或yw2/,即左)既無最大值,也無最小值?

/]\2778

(2),.?/+犬+2=卜+引+彳2不二。勺與,

/.函數(shù))\+:+2的最大值為|(當(dāng)彳=一3時(shí)取到),

而無最小值.

(3)對(duì)于函數(shù)./U)=加+Z+J?!怠?,令,=加+以+c,

4ac-白

①當(dāng)/>0時(shí),〃有最小值,〃min=4aV°

Z?214ac~?4。

當(dāng)4〃.vO時(shí),嬴二即A"這4a_y;

當(dāng)u>0時(shí),J(x)>0.

4a

[JU)>0或一工)二4__序,即/W既無最大值也無最小值.

4QC—b"|

②當(dāng)4=0時(shí),〃有最小值,〃min=一心—=0,結(jié)合<X)=7知〃W0,.*.?>0,

此時(shí):>0,即yu)>o,y(x)既無最大值也無最小值.

4〃(、―/??4〃(、一

③當(dāng)/V0時(shí),〃有最小值,4/min=,>0,即心>°,

????!?,〃.―戶即0極入4a_廬

???當(dāng)x=一、時(shí),y(x)有最大值4.::I,,沒有最小值.

綜上,當(dāng)420時(shí),段)既無最大值,也無最小值;

當(dāng)/<0時(shí),7U)有最大值T;上屆,此時(shí)x=—/,沒有最小值.

3、奇偶性的概念

1.函數(shù)?x)=5-x的圖象()

A.關(guān)于y軸對(duì)稱

B.關(guān)于直線》=工對(duì)稱

C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D.關(guān)于直線曠=—x對(duì)稱

解析:選C=/U)的定義域?yàn)椋ㄒ?,0)U(0,+oo),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且人一

X)=—J—(—X)=X—2=—?x),?\/(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

2.(多選)下列函數(shù)是偶匣數(shù)的有()

A.y=x2+lB.了=2'+不

C.y=yjx—1+y11-xD.y=|x|+l

解析:選ABD選項(xiàng)C,定義域?yàn)閧1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,是非奇非偶函數(shù),

其他函數(shù)都滿足偶函數(shù)的要求,故選A、B、D.

3.若函數(shù)yu)(/u)/o)為奇函數(shù),則必有()

A.加浜一加0B.於次一次0

c.Xx)</(-x)D.Xx)>/(-x)

解析:選B??"U)為奇函數(shù),.\A-x)=-/u).

又兀r)WO,?"U)A—X)=—[/U)]2<0.

4.(多選)已知定義在區(qū)間[—7,7]上的一個(gè)偶函數(shù),它在[0,7]上的圖象如

圖,則下列說法正確的有()

A.這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間

B.這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間

C.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7

D.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值一7

解析:選BC根據(jù)偶函數(shù)在[0,7]上的圖象及其對(duì)稱性,

作出其在[-7,7]上的圖象,如圖所示.由圖象可知這個(gè)函

數(shù)有三個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間,有三個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間,在其定義域

內(nèi)有最大值7,最小值不是一7,故選B、C.

5.若凡¥)=加+云+以4。0)是偶函數(shù),則8(%)=加+云2+3是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

解析:選A因?yàn)榛鹜?加+芯+^。*。)是偶函數(shù),所以由犬一?=yu),得

6=0.所以g(x)=cu^+cx.

所以g(一1)=〃(—+c(-x)=-g(x),

所以g(x)為奇函數(shù).

6.若函數(shù)y=(x—1)。+〃)為偶函數(shù),則。=.

解析:?.?函數(shù)y=。-1)。+〃)=/+(〃-1)X一〃為偶函數(shù),.?.X2—(4—1)X—4

=/+3—l)x—a恒成立,'.a—1=0,/.?

答案:1

7.(2021?北京通州高一月考)能說明"若\")是奇函數(shù),則./U)的圖象一定過

原點(diǎn)”是假命題的一個(gè)函數(shù)是4刈=.

解析:舉出x=o不在定義域內(nèi)的奇函數(shù)即可,如yu)=:.

答案::(答案不唯一)

8.設(shè)奇函數(shù)兀r)的定義域?yàn)椋邸?,6],當(dāng)工£[0,6]時(shí)?x)的圖象如圖所示,

不等式7U)<0的解集用區(qū)間表示為.

解析:由,/U)在[0,6]上的圖象知,滿足{r)<0的不等式的解集為(0,3).又

7U)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以在[-6,0)上,不等式人工)<0的解集為(一

6,-3).綜上可知,不等式J(x)v0的解集為(-6,-3)U(0,3).

答案:(-6,-3)U(0,3)

9.已知函數(shù)/(x)=x+*a>0).

(1)若41)=3,求4的值;

⑵判斷函數(shù)/U)的奇偶性并證明.

解:(1)由題意知,/(l)=14-6f=3,

所以〃=2>0滿足題意.

(2)函數(shù)yu)為奇函數(shù),證明如下:

函數(shù)yO)=x+9(a>0)的定義域?yàn)椋?8,0)0(0,+8)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

又因?yàn)槿D幻=一工3=_卜+*_/),

—X

所以函數(shù)兀燈為奇函數(shù).

io.(1)如圖①,給出奇函數(shù)),=/a)的局部圖象,試作出)軸右側(cè)的圖象并求

出大3)的值;

圖①圖②

(2)如圖②,給出偶函數(shù)y=/(x)的局部圖象,試作出y軸右側(cè)的圖象并比較犬1)

與43)的大小.

解:⑴奇函數(shù)y=./W在y軸左側(cè)圖象上任一點(diǎn)P(—x,,/(—x))關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)

稱點(diǎn)為產(chǎn)(匕/W),圖③為圖①補(bǔ)充后的圖象,易知人3)=-2.

圖③

⑵偶函數(shù)y=7(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點(diǎn)P(一羽式一》))關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為

11.(多選)若犬X)為R上的奇函數(shù),則下列四個(gè)說法正確的是()

A.人0+大一幻=0B.y(x)-X-x)=2/(x)

“f(4)

網(wǎng)次一幻<。

c.D.y(_x)=-i

解析:選AB???加)在R上為奇函數(shù),??J(一x)=—yu),??ju)+/(—x)=/a)

一兀0=0,故A正確;yu)—A—x)=/m)+yu)=〃u),故B正確;當(dāng)x=o時(shí),負(fù)功出一

f(x)

x)=0,故C不正確;當(dāng)x=0時(shí),/(_?的分母為0,無意義,故D不正確.

12.已知函數(shù)應(yīng)¥)=〃優(yōu)2+依+2m+〃是偶函數(shù),其定義域?yàn)椋踡+1,—2〃+

21,則()

A./n=0,n=0B.〃z=-3,n=0

C."2=1,n=0D.〃?=3,n=0

解析:選B由4外="/+/優(yōu)+2m+〃是偶函數(shù),得〃=0.又函數(shù)的定義域

為[7九+1,—2n+2],所以m+1=2〃-2,則〃z=-3.

13.函數(shù)於)=£=]的定義域?yàn)?,是函?shù)(填“奇”或

“偶”).

4—W20,

解析:依題意有。,℃1一c

-2一僅+21H0,

解得一2WxW2且%#0,

???一力的定義域?yàn)椋?2,0)U(0,2].

???於)=^^=吁=一早,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

、/4一?

又二?一幻=女—=一/戊),??.火幻為奇函數(shù).

答案:[一2,0)U(0,2]奇

(2X—h\

14.函數(shù)兀0=u是定義在(一2,2)上的奇函數(shù),且70)=1.

(1)求人x)的解析式;

(2)判斷并證明於)的單調(diào)性.

ax—b

解:(1)根據(jù)題意,得函數(shù)遂曾二匚7是定義在(一2,2)上的奇函數(shù),則10)

-b

=—=0,解得b=0.

又由川)=;,得1D=三4解得a=L

X

所以yu)=二^

(2)/U)在區(qū)間(一2,2)上為增函數(shù).證明如下:

.八ci~、e(44-X1X2)(Xl-X2)

設(shè)rt一2<¥|42<2,則H>I)-/(X2)=(4-.)一(4-3)?

由一2<XI<X2<2,得4+/1及>0,即一及<0,4—x?>0,4一冠>0,

所以人用)一加2)<0,所以函教於)在(一2,2)上為增函數(shù).

15.設(shè)函數(shù)/W=f-2W—a+3,xeR.

(1)王鵬同學(xué)認(rèn)為,無論。取何值,都不可能是奇函數(shù).你同意他的觀點(diǎn)

嗎?請(qǐng)說明你的理由;

(2)若/U)是偶函數(shù),求。的值;

(3)在(2)的情況下,畫出)=/1)的圖象并指出其單調(diào)遞增區(qū)間.

解:(1)我同意王鶴同學(xué)的觀點(diǎn).

理由如下:假設(shè)人的是奇函數(shù),

則由4〃)=々2+3,?—〃)=,-41al+3,

可得大。)+八一。)=0,

即〃2—2⑷+3=0,

顯然,-2H|+3=0無解,

??JU)不可能是奇函數(shù).

(2)若7U)為偶函數(shù),則有式0=<一〃),

即?2+3=a2—4|a|+3,解得a=0.

經(jīng)驗(yàn)證,此時(shí)兀0=/—2k|+3是偶函數(shù).

(3)由(2)知—2僅|+3,其圖象如圖所示,

由圖可得,其單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,0)和(1,+8).

4、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(習(xí)題課)

1.已知定義在R上的奇函數(shù),/u)滿足人工+4)=%)恒成立,且人1)=1,則人3)

+<4)+,*5)的值為()

A.-1B.1

C.2D.0

解析:選D????¥)是R上的奇函數(shù),式1)=1,

D=-XD=-i,AO)=o.

依題意得犬3)=八-1+4)=-/(1)=-1,

_/(4)=/(0+4)=/(0)=0,./(5)=/(1+4)=XD=1.

因此,?3)+人4)+<5)=—1+0+1=0,故選D.

9的X的

2.已知偶函數(shù)yu)在區(qū)間[o,+8)上單調(diào)遞增,

取值范圍是()

12

--

B.V3

一12

--

D.-V3

1117412

解析:選A由題意得|2JV—l|v),即一§<2x—lq,即鏟解得針xq,

故選A.

3.若奇函數(shù)於)在區(qū)間[2,5]上的最小值是6,那么?r)在區(qū)間[-5,—2]上

有()

A.最小值6B.最小值一6

C.最大值一6D.最大值6

解析:選C因?yàn)槠婧瘮?shù)?r)在[2,5]上有最小值6,所以可設(shè)〃£[2,5],

有五〃)=6.由奇函數(shù)的性質(zhì),兀¥)在[-5,—2]上必有最大值,且最大值為八一〃)

=-/?)=-6.

4.(多選)設(shè)函數(shù)兀0g(x)的定義域都為R,且凡r)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),

則下列結(jié)論中正確的是()

A.風(fēng)喇奴X)是奇函數(shù)

B.火力汝。)|是奇函數(shù)

C.yW+|g(x)|是偶函數(shù)

D.|/U)|+g?是偶函數(shù)

解析:選BDA中,令人a)=|/U)|g(x),則h(-x)=|A-x)\g(-x)=|-J(x)\g(x)

=l/u)iga)=〃a),A中函數(shù)是偶函數(shù),A錯(cuò)誤;B中,令〃(x)=ywig(x)i,則

h(-x)=/(-x)\g(-x)\=~J(xy\g(x)\=-h(x),AB中函數(shù)是奇函數(shù),B正確;C

中,由是奇函數(shù),可得?—x)=—/U),由g(x)是偶函數(shù),可得g(—x)=g(x),

由八-x)+lg(—x)l=1/to+ka)l知C錯(cuò)誤;D中,由|/(—x)|+g(—x)=|—/u)i+

ga)=[/U)l+g(x),知D正確.故選B、D.

5.已知函數(shù)人x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng).yO時(shí),犬x)=/,則式2)的值是

()

A.8B.-8

C.gD,-g

解析:選B因?yàn)楹瘮?shù)於)是定義在R上的偶函數(shù),所以次2)=#—2)=(-2p

=一8,故選B.

6.已知函數(shù)7U)為偶函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),7U)=x+l,則x>0時(shí),九0=.

解析:當(dāng)x>0時(shí),一x〈O,/./(—x)=-x+1,又y(x)為偶函數(shù),.\J(x)=-x

+1.

答案:一%+1

JT+2X1x20),

7.若函數(shù)4r)=J為奇函數(shù),則/[g(-1)]=_______.

[g(x)(x<0)

解析:根據(jù)題意,當(dāng)XVO時(shí),yu)=g(x),又7U)為奇函數(shù),???g(—i)=A—i)

=-XD=-(l2+2Xl)=-3,則/[g(_l)]=A_3)=-/(3)=_(32+2X3)=_15.

答案:-15

8.已知函數(shù)段)為~上的偶函數(shù),且當(dāng)界0時(shí),氏¥)=上。一1),則當(dāng)心>0時(shí),

外)=-

解析:當(dāng)心>0時(shí),-x<0,則大一#=一1(一X-1)=X(K+1),因?yàn)楹瘮?shù)?x)為

R上的偶函數(shù),故x)=Mx+1).

答案:x(x+l)

9.已知定義在(-1,1)上的函數(shù)兀0=泮[\

(1)試判斷7U)的奇偶性及在(一1,D上的單調(diào)性;

(2)解不等式式L1)+心。<。

Y

解:(1)因?yàn)?],

—XX

所以,A—工)=4=一齊7=一心).

x

故於)=京百為奇函數(shù)?

任取XI,及£(—1,1)JLXI<X2,

Xr>x\

所以?及)一/UD=布一/

X2(6+1)―加(於+1)(X2一箱)(―XIX2)

(x?4-1)(京+1)(后+1)("+1),

因?yàn)榧?X|>O,1—?X2>0且分母才+1>0,近+1>0,所以?%2)次的),

故4)=wj]在(―1,1)上為增函數(shù).

(2)因?yàn)槎x在(一1,1)上的奇函數(shù)y(x)是增函數(shù),

由犬,-1)+人2。<0,

得大1_1)〈一火2,)=犬_27).

〃0</<2,

」1

所以有《一1<一21<1,即1一解得oug.

J—1<—2/,1

lZ<3-

故不等式fit-l)+/2f)<0的解集為”0<r<!|.

10.已知兀0是定義在R上的函數(shù),設(shè)ga)=/°',h(x)=

于(x)一/(一x)

2,

(1)試判斷g(x)與〃(x)的奇偶性;

(2)試判斷g(x),7/(x)與/U)的關(guān)系;

(3)由此你能猜想出什么樣的結(jié)論?

..f(—x)+/(x),f(—x)—f(x)

解:(D-g(—x)=2=g(x),h(—x)=2=—

h(x),/.g(x)是偶函數(shù),的(x)是奇函數(shù).

f(x)+f(—x),f(x)-f(—x)〃

(2)^U)4-/i(x)=z------\------V------&-------=/5).

(3)如果一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)就一定可以表示為一

個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和.

11.(多選)已知函數(shù)次x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x20時(shí),/U)=x—x2,

則下列說法正確的是()

A./(—1)=0

B.段)的最大值為:

c.yu)在(一1,0)上是增函數(shù)

D.危)>0的解集為(

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