高考數(shù)學第一輪復(fù)習導學案(新高考)第27講三角恒等變換(1)(原卷版+解析)

第27講三角恒等變換（1）知識梳理1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式sin(α±β)＝，簡記作S(α±β)；cos(α±β)＝，簡記作C(α±β)；tan(α±β)＝，簡記作T(α±β)．2.二倍角公式sin2α＝；tan2α＝；cos2α＝＝＝．3.輔助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝，其中φ為輔助角，且其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq\f(b,a).4.公式的逆用及有關(guān)變形tanα±tanβ＝；sinα±cosα＝)；sinα·cosα＝；1＋sin2α＝；1－sin2α＝；sin2α＝；cos2α＝；tan2α＝(降冪公式)；1－cos2α＝；1＋cos2α＝(升冪公式)1、【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2A．tan(α?β)=1 B．C．tan(α?β)=?1 D．2、【2022年浙江】若3sinα?sinβ=103、【2021年甲卷文科】若，則（

）A． B． C． D．4、【2021年乙卷文科】（

）A． B． C． D．5、【2020年新課標1卷理科】已知，且，則（

）A． B．C． D．6、【2020年新課標3卷理科】已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．21、sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝()A.1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(1,2)2、知cosα＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.－eq\f(\r(2),10) B.eq\f(\r(2),10) C.－eq\f(7\r(2),10) D.eq\f(7\r(2),10)3（2022·福建三明·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．4、（2022·湖南·雅禮中學二模）已知，則（

）A． B． C． D．考向一利用兩角和(差)公式運用例1、（1）（2022·福建·模擬預(yù)測）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．（2）（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預(yù)測）已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．變式1、（2022年湖南常德市高三模擬試卷）（多選題）下列選項中，與的值相等的是（）A. B.C. D.變式2、（1）若α＋β＝eq\f(3π,4)，則(1－tanα)(1－tanβ)＝．(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，則C＝；變式3、（1）已知是第二象限角，且，，則____.（2）已知sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值為()A.eq\f(1,3) B.－eq\f(1,3) C.eq\f(2\r(3),3) D.－eq\f(2\r(3),3)方法總結(jié)：考查兩角和差的三角函數(shù)．公式的結(jié)構(gòu)特征要記牢，在求值、化簡時，注意觀察角度、函數(shù)名、所求角與已知角之間的差異，再選擇適當?shù)娜枪胶愕茸冃危蠼菃栴}的關(guān)鍵在于選擇恰當?shù)娜呛瘮?shù)，選擇的標準是，在角的范圍內(nèi)根據(jù)函數(shù)值，角有唯一解．本題考查邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向二二倍角公式的運用例2、（2022年深圳市深圳中學高三模擬試卷）（多選題）下列各式的值等于的是（）A. B. C. D.變式1、(1)化簡：（eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2)）·（1＋tanα·taneq\f(α,2)）＝；(2)求證：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α.變式2、已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).(1)求sin2α的值；(2)求tanα－eq\f(1,tanα)的值．變式3、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知，則的值為（）A． B． C．－ D．方法總結(jié)：本題考查二倍角公式的簡單應(yīng)用．三角函數(shù)式的化簡要注意以下3點：①看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，正確使用公式；②看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；③看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升冪”等．本題考查運算求解能力，邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向三公式的綜合運用例3、化簡：eq\f(（1＋sinθ＋cosθ）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))(0<θ<π)．變式1、（1）（2022·湖北江岸·高三期末）計算（）A．1 B．﹣1 C． D．（2）（2022·山東省淄博實驗中學高三期末）______．變式2、（1）（2022年福建龍巖市高三模擬試卷）（多選題）已知，，其中，為銳角，以下判斷正確的是（）A. B.C. D.（2）（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．方法總結(jié)：(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.(2)三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點.1、（2022·福建·模擬預(yù)測）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．2、（2022·湖南·長郡中學模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C．3 D．3、（2022·廣東湛江·二模）若，，則___________.4、（2022·廣東韶關(guān)·一模）若，則__________.5、（2022年湖北宜昌市高三模擬試卷）（）A. B. C. D.6、（2022年湖北黃岡市高三模擬試卷）已知，，則()A．B．C．D．7、（2021·山東青島市·高三三模）若，則___________.第27講三角恒等變換（1）知識梳理1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，簡記作S(α±β)；cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ，簡記作C(α±β)；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanα·tanβ)，簡記作T(α±β)．2.二倍角公式sin2α＝2sinα·cosα；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．3.輔助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中φ為輔助角，且其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq\f(b,a).4.公式的逆用及有關(guān)變形tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)；sinα±cosα＝eq\r(2)sin(α±eq\f(π,4))；sinα·cosα＝eq\f(1,2)sin2α；1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α)(降冪公式)；1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升冪公式)1、【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2A．tan(α?β)=1 B．C．tan(α?β)=?1 D．【答案】C【解析】由已知得：sinα即：sinα即：sinα?β所以tanα?β故選：C2、【2022年浙江】若3sinα?sinβ=10【答案】

31010【解析】α+β=π2，∴sinβ=即1031010sinα?則10sinα?θ=10，∴∴sinα=則cos2β=2故答案為：31010；3、【2021年甲卷文科】若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，解得，，.故選：A.4、【2021年乙卷文科】（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.5、【2020年新課標1卷理科】已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.6、【2020年新課標3卷理科】已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.1、sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝()A.1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(1,2)【答案】B【解析】sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°·cos15°＋(－cos45°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝eq\f(1,2).2、知cosα＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.－eq\f(\r(2),10) B.eq\f(\r(2),10) C.－eq\f(7\r(2),10) D.eq\f(7\r(2),10)【答案】C【解析】∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，且cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).3（2022·福建三明·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A.4、（2022·湖南·雅禮中學二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得，解得（舍去），或.故選：A.考向一利用兩角和(差)公式運用例1、（1）（2022·福建·模擬預(yù)測）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運用兩角和與差的正弦公式和同角的商數(shù)關(guān)系，計算即可得到所求值【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：B（2）（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預(yù)測）已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由任意三角形的定義求出，由兩角差的正弦公式代入即可求出.【詳解】因為角的終邊過點，由任意三角形的定義知：，.故選：D.變式1、（2022年湖南常德市高三模擬試卷）下列選項中，與的值相等的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】，，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤．故選：BC變式2、（1）若α＋β＝eq\f(3π,4)，則(1－tanα)(1－tanβ)＝．【答案】2【解析】因為taneq\f(3π,4)＝tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝－1，所以tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ，所以(1－tanα)(1－tanβ)＝1－tanα－tanβ＋tanα·tanβ＝2.(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，則C＝；【答案】eq\f(π,3)【解析】由已知，得tanA＋tanB＝eq\r(3)(tanAtanB－1)，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\r(3).又0<A＋B<π，所以A＋B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,3).變式3、（1）已知是第二象限角，且，，則____.【答案】【解析】由是第二象限角，且，可得，，由，可得，代入，可得，故答案為：.變式3、（2）已知sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值為()A.eq\f(1,3) B.－eq\f(1,3) C.eq\f(2\r(3),3) D.－eq\f(2\r(3),3)【答案】B【解析】由sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋eq\f(1,3)，得sinα＝sinαcoseq\f(π,3)＋cosαsineq\f(π,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(1,3)，則eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα＝－eq\f(1,3)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(1,3)方法總結(jié)：考查兩角和差的三角函數(shù)．公式的結(jié)構(gòu)特征要記牢，在求值、化簡時，注意觀察角度、函數(shù)名、所求角與已知角之間的差異，再選擇適當?shù)娜枪胶愕茸冃危蠼菃栴}的關(guān)鍵在于選擇恰當?shù)娜呛瘮?shù)，選擇的標準是，在角的范圍內(nèi)根據(jù)函數(shù)值，角有唯一解．本題考查邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向二二倍角公式的運用例2、（2022年深圳市深圳中學高三模擬試卷）（多選題）下列各式的值等于的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】】，故錯誤 ，故正確，故正確，故錯誤綜上所述，故選變式1、(1)化簡：（eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2)）·（1＋tanα·taneq\f(α,2)）＝；【答案】eq\f(2,sinα)【解析】原式＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sinα,cosα)·\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))))＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2))·eq\f(cosαcos\f(α,2)＋sinαsin\f(α,2),cosαcos\f(α,2))＝eq\f(2cosα,sinα)·eq\f(cos\f(α,2),cosαcos\f(α,2))＝eq\f(2,sinα).(2)求證：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α.【解析】左邊＝eq\f(cos2α,\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2α,\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cosα)＝cosαsineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右邊，所以原式成立．變式2、已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).(1)求sin2α的值；(2)求tanα－eq\f(1,tanα)的值．【解析】(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,4)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，∴sin2α＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))coseq\f(π,3)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))sineq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).(2)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，又由(1)知sin2α＝eq\f(1,2)，∴cos2α＝－eq\f(\r(3),2).∴tanα－eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)－eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α－cos2α,sinαcosα)＝eq\f(－2cos2α,sin2α)＝－2×eq\f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq\r(3).變式3、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知，則的值為（）A． B． C．－ D．【答案】B【解析】，故選：B方法總結(jié)：本題考查二倍角公式的簡單應(yīng)用．三角函數(shù)式的化簡要注意以下3點：①看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，正確使用公式；②看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；③看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升冪”等．本題考查運算求解能力，邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向三公式的綜合運用例3、化簡：eq\f(（1＋sinθ＋cosθ）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))(0<θ<π)．【解析】由θ(0，π)，得0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，∴coseq\f(θ,2)>0．因此eq\r(2＋2cosθ)＝eq\r(4cos2\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,2)．又(1＋sinθ＋cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(θ,2)cos\f