高中數(shù)學(xué)選3-課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià) 六

課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)

六二項(xiàng)式定理

基礎(chǔ)練,

（25分鐘,50分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

l.C0?24底?2片旺…+以?2^+…+C］等于（）

A.2rlB.2-1C.3nD.1

【解析】選C.原式=（2+1）"=3n.

2.（2017?全國(guó)卷I）（1+?（l+x）6展開式中X?的系數(shù)為（）

A.15B.20C.30D.35

【解析】選C.（1+?（l+x）6展開式中含X?的項(xiàng)為1-Cfx*2+*i?C^x4=30x2,故

x?的系數(shù)為30.

【類題-通】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問題，用第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)

二項(xiàng)式的每項(xiàng),分析含X?的項(xiàng)共有幾項(xiàng),進(jìn)行相加即可.這類問題的易錯(cuò)點(diǎn)主要

是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況,尤其是兩個(gè)二項(xiàng)展開式中的r不同.

3.在際+訴）'2的展開式中，含x的正整數(shù)次幕的項(xiàng)共有（）

A.4項(xiàng)B.3項(xiàng)C.2項(xiàng)D.1項(xiàng)

【解析】選B.(代+證)’2的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

《2(近)⑵'(版)(0WrW12),(0WrW12)為正整數(shù)，有3項(xiàng)，即

r=0,r=6,r=12.

4.(2020?廣州高二檢測(cè))若(a%-(/的展開式中常數(shù)項(xiàng)等于一20,則a=()

11

A?士B?一士C.1D.-1

22

【解析】選C.(a%-§)6的展開式的通項(xiàng)公式為

Tk.尸尊(ax)「，-=(-1)ka6-kC^x6-2k.

當(dāng)k=3時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為(7)引仁二一20,解得a=1.

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.(2020?全國(guó)HI卷乂％2+勺6的展開式中常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答).

2(6r)rrr12-3r

【解析】因?yàn)門r+1=Qx'2x-=2Qx,

由12-3-0,得r=4,所以12+勺6的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：廢-24=Cj-16=15X

16=240,故常數(shù)項(xiàng)為240.

答案：240

6.(2020?天津高二檢測(cè)乂2正弓了的展開式中,1項(xiàng)的系數(shù)為.

k6k

【解析】因?yàn)槎?xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為Tkt1=C^(2Vx)(-1)X2-

Xx3-k;

令3-k=-1,所以k=4;

故展開式中含:項(xiàng)的系數(shù)為仁義22=60.

答案：60

三、解答題(每小題10分，共20分)

7.已知在(誑-息)”的展開式中,第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的

比是14：3.

⑴求n;

(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).

【解析】⑴依題意有第：*14：3,化簡(jiǎn)，得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或

『-5(不合題意，舍去)，所以n的值為10.

10—〃/*1\kk/I、kio-2Jc

⑵通項(xiàng)公式為Tk+尸Cg(證)?(T)＜泉)=(-DQ)Cf0?%丁，由題意

號(hào)z,

得j0WkW10,

解得k=2,5,8,所以第3項(xiàng)、第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為

8.設(shè)f(x)=(l+x)"+(l+x)"的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是19(m,n￡N*).

⑴求f(x)的展開式中含X2項(xiàng)的系數(shù)的最小值.

⑵當(dāng)f(x)的展開式中含Xz項(xiàng)的系數(shù)取最小值時(shí)，求f(x)的展開式中含X，項(xiàng)的系

數(shù).

【解析】（1）由題設(shè)知m+n=19,所以m=19-n,

含X2項(xiàng)的系數(shù)為C鋁片C葭+喋

（19-”）（18-⑴+九（n-1）

22

=n2-19n+171=（n--）2+—.

24

因?yàn)閚￡N*,所以當(dāng)n=9或n=10時(shí)，x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值為Q?+詈81.

（2）當(dāng)n=9,m=10或n=10,m=9時(shí),x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值，此時(shí)x7項(xiàng)的系數(shù)為

。；0+鷺%+的56.

能力練,

（15分鐘,30分）

L（5分）（2020-昆明高二檢測(cè)乂1+々+￡）4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A.1B.3C.4D.13

由于（1+近+：?表示4個(gè)因式+1+1）的乘積，故展開式

【解析】選D.

中的常數(shù)項(xiàng)可能有以下幾種情況:①所有的因式都取1;②有2個(gè)因式取正,一個(gè)

1

因式取1,一個(gè)因式取與

X

故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為1+C：X6=13.

2.的展開式中存在常數(shù)項(xiàng),則n的取值可以是（

A.3B.4C.5D.6

【解析】選BD.卜-的展開式中通項(xiàng)公式：Tk+尸僚X”僚?(-11?xn@

因?yàn)榇嬖诔?shù)，所以n-2k=0,即n=2k,n,keN*.則n的值可以是4,6.

3.(5分)(2020?天津高二檢測(cè))將(3+x：r的展開式按照x的升幕排列,若倒數(shù)第

三項(xiàng)的系數(shù)是90,則n的值是.

【解析】將(3+x”的展開式按照x的升球排列，則倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)是＜3^90,

求得"5(負(fù)值舍去).

答案：5

4.(5分)(2019?浙江高考)在二項(xiàng)式(或+x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是,系

數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.

【解析】展開式通項(xiàng)是:「*尸。6(&亡父，所以常數(shù)項(xiàng)是TFCg(&)9=16或,若系

數(shù)為有理數(shù)，則9-r為偶數(shù)，所以r為奇數(shù)，所以r可取1,3,5,7,9.

答案：16或5

5.(10分)已知f(x)=(l+x)"',g(x)=(l+2x)n(m,n￡N*).

(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展開式含x2的項(xiàng).

⑵令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展開式中x的項(xiàng)的系數(shù)為12,那么當(dāng)m,n為何值

時(shí),含x2的項(xiàng)的系數(shù)取得最小值？

［解析］⑴當(dāng)m=3,n=4時(shí),f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)。

(l+xT展開式的通項(xiàng)為Qx',

(1+2x)4展開式的通項(xiàng)為C［(2x)r,

f(x)g(x)的展開式含x2的項(xiàng)為

1XCl(2x)2+C|xXCl(2x)+Cjx2X1=51x2.

(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.

因?yàn)閔(x)的展開式中x的項(xiàng)的系數(shù)為12,

所以C#2*12,

即m+2n=12,所以m=12-2n.

x2的系數(shù)為C/+4《=功+4鬣

=-(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)

2

=4n-25n+66=4(n-3+等,neN*,

所以n=3,m=6時(shí)，x?的項(xiàng)的系數(shù)取得最小值.

培優(yōu)練

1.若(x+aLg-iy的展開式中常數(shù)項(xiàng)為—1,則a的值為.

k1

【解析】由于(x+a)2=x2+2ax+a：而的展開式通項(xiàng)為Tk+F(-1)C^?x^，其

中k=0,1,2…，5.于是的展開式中x-2的系數(shù)為(-1尸底=70,xT項(xiàng)的系數(shù)

為(TV讖=5,常數(shù)項(xiàng)為-1,因此(x+a)2g-l)5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1X(-10)+2a

X5+a2X(-1)=-a?+1OaT0,依題意-a%10a70=-1,解得a2-10a+9=0,即a=1或

a=9.

答案：1或9

n2rn

2.設(shè)(q+x)=a0+aix+a2x+???+arx+???+anx,其中q￡R,n￡N*,

n

⑴當(dāng)q=l時(shí)，化簡(jiǎn)：E工

r=or+l

⑵當(dāng)q=n時(shí)，記AjS+a”B“=￡a,,試比較An與B?的大小.

2r=o

【解題指南】(1)當(dāng)q=l時(shí),a=—?品林從而得到結(jié)果.

rn+1

(2)當(dāng)q=n時(shí)，由二項(xiàng)式定理可得An=n叫Bn=(n+1尸,猜想、歸納,用數(shù)學(xué)歸納法

加以證明即可.

【解析】⑴當(dāng)q=1時(shí)，ar二C1

由于c」—1?加-加-1?("+1"-1?cr+i其中

r+lr+1r!(n-r)!(r+l)!(n-r)!n+1(r+l)!(n-r)!n+1鹿+1''

r=0,1,2,???,n.

19n+i_1

所以原式二—(%+1+量+1+底+i+???+c齡;)=------

九+1III±?<.I±ill±ill±九+1

(2)當(dāng)q=n時(shí)，aF"

nnn+1

所以a0=n,aFn,所以An=n,

n

令x=1,得Bn=(n+l),

當(dāng)『1,2時(shí)，M“<01+1嚴(yán)；

zi\n

當(dāng)n'3時(shí)，nn+,>(n+1嚴(yán)，即n七+1).

下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)n23時(shí),n>Q+1)"\……(☆)

①當(dāng)n-3時(shí),3乂;+1)二段，(☆)式成立;

②設(shè)n=k》3時(shí)，(☆)式成立,即k>Q+1)：

式右邊=(W+】廣?

則n=k+1時(shí)，(☆)

二島+1)島+1)〈島+1)《+1)〈島+1)?—+k<k+1.

k+l

也就是說，當(dāng)n=k+1,(☆)式也成立.

/I\Tl

綜合①②知，當(dāng)心3時(shí)，n>Q+1)-

所以，當(dāng)n=1,2時(shí),A?Bn；當(dāng)n，3時(shí),A)Bn.

【一題多解】當(dāng)q=n時(shí),a尸

nnn+1

所以a0=n,aFn,所以An=n,

n

令x=1,得Bn=(n+l),

要比較。與。的大小，即可比較詈與繆的大小，設(shè)Inx.I

ABfM:—,則f'

X

/、1-lnx

由f'Q)>0,得O〈x<e,

所以千(%)在(0,e)上遞增,

由fz(x)<0,得x>e,所以f(%)在(e,+8)上遞減,

所以當(dāng)n=1,2時(shí),竺々媽竺An<Bn.

nn+1

當(dāng)心3時(shí)，警嚕衿,即(九+l)lnn>nln(n+1),即In吐小In(7i+1尸，即

An>Bn,

綜上所述,當(dāng)n=1,2時(shí),A<Bn；當(dāng)心3時(shí),An>Bn.

【一題多解】當(dāng)