2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)歸納與方法總結(jié) 第07講 函數(shù)的單調(diào)性與最值（精講）（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第06講函數(shù)的單調(diào)性與最值（精講）①函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間③復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性④函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（求參數(shù)、解不等式、比較大?。萸蠛瘮?shù)的最值（值域）一、必備知識(shí)整合一、必備知識(shí)整合1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）增函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量、，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）減函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量、，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).（3）【特別提醒】①單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式或集合表示．②有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號(hào)“∪”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號(hào)”或“和”連接．2.函數(shù)的最值（1）最大值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：=1\*GB3①對(duì)于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最大值.（2）最小值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：=1\*GB3①對(duì)于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最小值.（3）函數(shù)最值存在的兩個(gè)結(jié)論①閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．②開(kāi)區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．1.?x1，x2∈D(x1≠x2)，?f(x)在D上是增函數(shù)；?f(x)在D上是減函數(shù)．2.對(duì)勾函數(shù)y＝(a＞0)的增區(qū)間為(－∞，－]和[，＋∞)，減區(qū)間為[－，0)和(0，]．3.當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)．4.若k＞0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k＜0，則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反．5.函數(shù)y＝f(x)在公共定義域內(nèi)與y＝的單調(diào)性相反．6.復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性關(guān)系是“同增異減”．二、考點(diǎn)分類精講二、考點(diǎn)分類精講【題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明】1.定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟2.判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)圖象法；(2)性質(zhì)法；(3)導(dǎo)數(shù)法；(4)定義法．3.證明函數(shù)單調(diào)性的兩種方法(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法．【典例1】（23-24高一上·陜西漢中·期中）已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值城．【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）利用定義法證明單調(diào)性即可；（2）由函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.【詳解】（1）易知，設(shè)，且，則，又由，則，，，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）由上可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，又，故的值域?yàn)?一、單選題1．（23-24高三上·上海楊浦·期中）已知函數(shù)，.若成立，則下列論斷中正確的是（

）A．函數(shù)在上一定是增函數(shù)；B．函數(shù)在上一定不是增函數(shù)；C．函數(shù)在上可能是減函數(shù)；D．函數(shù)在上不可能是減函數(shù).【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，且成立，則函數(shù)在上不可能是減函數(shù)，可能是增函數(shù)，也可能不是增函數(shù)，如，滿足，但是在上不具有單調(diào)性，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤.故選：D2．（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對(duì)實(shí)數(shù)，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由函數(shù)的單調(diào)性以及充分條件和必要條件的定義即可判定出結(jié)果【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，由增函數(shù)的定義可知，當(dāng)時(shí)，有，充分性成立；當(dāng)時(shí)，若，由函數(shù)定義可知矛盾，若，由函數(shù)單調(diào)性的定義可知矛盾，則，必要性成立.即對(duì)實(shí)數(shù)，“”是“”的充要條件.故選：C二、解答題3．（23-24高三上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)求該函數(shù)的定義域；(2)證明該函數(shù)在上單調(diào)遞減；(3)求該函數(shù)在上的最大值和最小值.【答案】(1)．(2)證明見(jiàn)解析(3)最大值為，最小值為．【分析】（1）由解析式中分母不為0即可求出結(jié)果；（2）利用單調(diào)性的定義直接證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可直接求解；【詳解】（1）由于，所以，所以，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?）證明：任取,,，且，則，因?yàn)?,，且，所以，，，所以，即，所以函數(shù)在,上單調(diào)遞減．（3）由（2）知函數(shù)在,上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在,上的最大值為，最小值為．4．（23-24高三上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知函數(shù)過(guò)點(diǎn)．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(2)最大值為，最小值為【分析】（1）求出函數(shù)的表達(dá)式，利用單調(diào)性定義即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)單調(diào)性即可得出函數(shù)在上的最大值和最小值.【詳解】（1）單調(diào)遞增，由題意證明如下，由函數(shù)過(guò)點(diǎn)，有，解得，所以的解析式為：．設(shè)，且，有．由，得．則，即．∴在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）由在上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為．5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）對(duì)于函數(shù).(1)探索函數(shù)的單調(diào)性；(2)是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù)？【答案】(1)在上為增函數(shù)(2)存在使函數(shù)為奇函數(shù)【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷，再利用單調(diào)性的定義證明即可；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)使為奇函數(shù)，則，即可求出的值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，而在定義域上單調(diào)遞增且，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，所以，，故在上為增函數(shù).（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)使為奇函數(shù)，則，，即，又，，故存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù).6．（23-24高三上·上海靜安·階段練習(xí)）已知奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)設(shè)，對(duì)于任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)-1(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)即可得結(jié)果；（2）對(duì)a分類討論，用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明結(jié)果；（3）依題意，分別求出的最小值，根據(jù)條件可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，解得，即，經(jīng)檢驗(yàn)：時(shí)不合題意，舍去，故.（2）當(dāng)時(shí)在區(qū)間上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)在區(qū)間上為增函數(shù)；證明如下:由（1）可知，任取，，因?yàn)椋?，即，?dāng)時(shí)，即，故在區(qū)間上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即，故在區(qū)間上為增函數(shù)；綜上：當(dāng)時(shí)在區(qū)間上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)在區(qū)間上為增函數(shù)；（3）因?yàn)?，時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由（1）可知，當(dāng)時(shí)在區(qū)間上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，又對(duì)于任意的，總存在，使得成立，即，所以：或，即或，解得或，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】【典例1】（單選題）（2023·海南海口·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【分析】將絕對(duì)值函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求【詳解】，則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故的單調(diào)遞減區(qū)間是和.故選：B一、單選題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．（－∞，＋∞）B．（0，＋∞）C．（－∞，0）∪（0，＋∞）D．（－∞，0），（0，＋∞）【答案】D【解析】略2．（22-23高三上·甘肅蘭州·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】由可得，即為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，可得的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到時(shí)，的單調(diào)區(qū)間，即可得到答案【詳解】解：由，則為偶函數(shù)，的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，所以在上遞增，在遞減；則當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，則有的遞增區(qū)間為.故選：C3．（22-23高三上·河北廊坊·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后由解析式可求出函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】因?yàn)椋缘脑鰠^(qū)間為，故選：D.二、填空題4．（23-24高三上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間A上是減函數(shù)，那么區(qū)間A是.【答案】，(答案不唯一）【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.【詳解】由題意得，作出其圖像如圖：由圖像可知函數(shù)在區(qū)間，上是減函數(shù)，故區(qū)間A是，，或其子集故答案為：，5．（23-24高三上·寧夏固原·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【分析】作出的圖像，根據(jù)圖像即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到或，函數(shù)的圖像如圖所示，由圖知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：.

【題型三復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性】求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)求函數(shù)的定義域(定義域先行)．(2)求簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(3)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其依據(jù)是“同增異減”．【典例1】（單選題）（23-24高三上·浙江紹興·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由，，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.一、單選題1．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C．和 D．【答案】C【分析】令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)區(qū)間，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】設(shè)，則有且，，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋呵遥啥魏瘮?shù)的性質(zhì)可知的單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：和；又因?yàn)樵趨^(qū)間和上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：和.故選：C.2．（2023高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組，可得答案.【詳解】令，易知該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)在其內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得，化簡(jiǎn)可得，解得．故選：D．3．（23-24高三上·廣東湛江·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，則的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，令，又在上單調(diào)遞增，的增區(qū)間為，所以的增區(qū)間為.故選：A.4．（23-24高三下·甘肅·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，列式解得答案.【詳解】，由題意單調(diào)遞減，且，則，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：D.5．（23-24高三上·遼寧錦州·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增的是（）A． B．C． D．y＝|x－|【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷.【詳解】對(duì)于A，，因?yàn)椋灾笖?shù)函數(shù)在單調(diào)遞減，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以?duì)數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞減，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由，可得函數(shù)在內(nèi)上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.6．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)性，從而可求得t的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得.故選：A7．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上恒為正數(shù)，由此列不等式組求解即可.【詳解】由題意得函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以，解得，故a的取值范圍是.故選；B.【題型四函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（求參數(shù)、解不等式、比較大?。?．比較函數(shù)值大小的解題思路比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較，對(duì)于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解．2．求解含“f”的函數(shù)不等式的解題思路先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此時(shí)要特別注意函數(shù)的定義域．3．利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的策略(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)．(2)解決分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，要注意上、下段端點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系．【典例1】（單選題）（2024·廣東揭陽(yáng)·二模）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即得.【詳解】函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，依題意，，得，所以的取值范圍為.故選：C【典例2】（單選題）（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】消去絕對(duì)值可得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可得.【詳解】由，故在上單調(diào)遞增，由，有，即.故選：A.【典例3】（單選題）（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性，只需比較對(duì)數(shù)、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的大小即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：B.一、單選題1．（2024·山東·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得解得，再由，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的對(duì)稱軸是，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)椋虼?，所以的取值范圍?故選：A．2．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【分析】根據(jù)題意，函數(shù)，令，由正實(shí)數(shù)知，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增且，所以，解得：，故的取值范圍是故選：C.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分析的單調(diào)性，再列不等式即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以，故選：B．4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，且在處連續(xù)，故在R上單調(diào)遞減，由，則，解得,故不等式的解集為.故選：A5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則使得成立的正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷出為偶函數(shù)，再根據(jù)上的單調(diào)性得到參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)，單調(diào)遞減．若成立，則，解得或．又，所以正實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．6．（23-24高三上·北京順義·期末）已知在上單調(diào)遞減，且，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】由得，，結(jié)合在上單調(diào)遞減，則必有，顯然B正確，A錯(cuò)誤，而當(dāng)時(shí)，不在定義域內(nèi)，故無(wú)法比較，C,D錯(cuò)誤.故選：B7．（23-24高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知為上的減函數(shù)，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到與0.5的大小，再利用為上的減函數(shù)判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉樯系臏p函數(shù)，所以，故選：B8．（2024·北京西城·一模）設(shè)，其中，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】借助正負(fù)性、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得.【詳解】由，故，故，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得，，且，綜上所述，有.故選：C.二、填空題9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知f（x）在定義域R上是增函數(shù)．若f（a2－2）＞f（a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】（－∞，－1）∪（2，＋∞）【解析】略10．（22-23高三上·江西·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)分式函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】，故若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即.故答案為：11．（23-24高三上·上海靜安·期末）不等式的解集為.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及的函數(shù)值即可解決問(wèn)題.【詳解】令，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以的解集為，故答案為：.12．（2023·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在上恒成立，顯然，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，所以的最小值為：.故答案為：.【題型五求函數(shù)的最值（值域）】求函數(shù)最值的五種常用方法【典例1】（23-24高三上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知函數(shù)過(guò)點(diǎn)．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(2)最大值為，最小值為【分析】（1）求出函數(shù)的表達(dá)式，利用單調(diào)性定義即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)單調(diào)性即可得出函數(shù)在上的最大值和最小值.【詳解】（1）單調(diào)遞增，由題意證明如下，由函數(shù)過(guò)點(diǎn)，有，解得，所以的解析式為：．設(shè)，且，有．由，得．則，即．∴在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）由在上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為．一、單選題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如果奇函數(shù)在上是增函數(shù)且最小值5，那么在區(qū)間上是（

）．A．增函數(shù)且最小值為 B．減函數(shù)且最小值為C．增函數(shù)且最大值為 D．減函數(shù)且最大值為【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可得對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性與最值.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以在區(qū)間上的單調(diào)性與在上的單調(diào)性相同，也是增函數(shù)，在上的最小值5，即，所以在區(qū)間上的最大值為.故選：.2．（23-24高三上·山東濰坊·期中）若“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】只需的最小值小于即可.【詳解】，，只需的最小值小于即可，由于的最小值為，故.故選：D3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且在區(qū)間恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在區(qū)間恒成立，只需要即可，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最大值即可得解.【詳解】由解析式易知：?jiǎn)握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，則，