2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講練測第02講 函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值（十六大題型）（練習(xí)）（含解析）

第02講函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬真題練 2題型一：單調(diào)性的定義及判斷 2題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷 3題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性 4題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值 6題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍 8題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小 9題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明 11題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù) 13題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值 14題型十：奇函數(shù)的中值模型 16題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式 18題型十二：函數(shù)對稱性的應(yīng)用 20題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用 22題型十四：對稱性與周期性的綜合應(yīng)用 24題型十五：類周期與倍增函數(shù) 28題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性 3002重難創(chuàng)新練 3203真題實戰(zhàn)練 41題型一：單調(diào)性的定義及判斷1．下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故A不正確；對于B，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確；對于C，函數(shù)在上是增函數(shù)，故C不正確；對于D，函數(shù)在上是增函數(shù)，故D不正確.故選：B．2．（2024·高三·黑龍江齊齊哈爾·期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】因為函數(shù)的定義域為R，且，所以是奇函數(shù)，又，作出函數(shù)圖象如下圖：由圖知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：B3．（2024·高三·上海靜安·期中）已知函數(shù)，且.(1)求的值，并指出函數(shù)的奇偶性；(2)在（1）的條件下，運用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是增函數(shù).【解析】（1）因為，又，所以，所以，，此時，所以為奇函數(shù)；（2）任取，則，因為,所以,所以,所以即，所以函數(shù)在上是增函數(shù).題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D.5．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，則，解得或，所以的定義域為，又開口向上，對稱軸為，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)增區(qū)間為.故選：A.6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以，解得，故a的取值范圍是.故選；B.題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)滿足對任意的實數(shù)，都有成立，不妨設(shè)，則，則，即，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是，故選：D．8．已知函數(shù)滿足對于任意實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，對于任意實數(shù)，都有成立，不妨設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：D9．已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，函數(shù)是增函數(shù)，則，即；由，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是在上恒成立，因此在上恒成立，即；又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，從而，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B10．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知，且，函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)，由函數(shù)解析式可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增不滿足題意，故在R上單調(diào)遞減，所以，解得：.故選：D.題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值11．（2024·上海松江·二模）已知，函數(shù)，若該函數(shù)存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】或【解析】由題意，令，，，，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則在上的值域為，因為存在最小值，故需，解得，結(jié)合，此時；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的值域為，因為存在最小值，故需，即，解得，這與矛盾；當時，在上單調(diào)遞減，且在上的值域為，，此時存在最小值2；則實數(shù)的取值范圍為或．故答案為：或．12．（2024·高三·北京東城·期末）設(shè)函數(shù)①若，則的最小值為.②若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】①當時，，則當時，，當時，，故的最小值為；②由，則當時，，由有最小值，故當時，的最小值小于等于，則當且時，有，符合要求；當時，，故不符合要求，故舍去.綜上所述，.故答案為：；.13．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的最大值是.【答案】16【解析】由，而，因為單調(diào)遞增，所以，則的最大值是16.故答案為：1614．函數(shù)的最大值為.【答案】/【解析】因為，令，則，令，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，即函數(shù)的最大值為，當且僅當時取等號.故答案為：題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍15．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖象對稱軸為，依題意，，得，所以的取值范圍為.故選：C16．（2024·山東·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)的對稱軸是，因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得，又因為，因此，所以的取值范圍是.故選：A．17．（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，所以，當時，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B18．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，依題意，，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小19．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，,若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以的圖象關(guān)于成軸對稱，注意到當時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，所以距離越遠值越大，因為，距離最遠的為，故最大，而，且，所以，綜上所述，.故選：A.20．（2024·北京西城·一模）設(shè)，其中，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，故，故，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，，且，綜上所述，有.故選：C.21．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且則的大小關(guān)系為A． B．C． D．【答案】B【解析】因為所以；因為，所以；故偶函數(shù)在,上單調(diào)遞增，故，即故選：B.題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明22．設(shè)函數(shù)的定義域為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】C【解析】令，，∴為奇函數(shù)，故A錯誤；令，∴，∴為偶函數(shù)，故B錯誤；令，，∴為偶函數(shù)，故C正確；令，∴，∴為偶函數(shù)，故D錯誤．故選：C23．（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為定義域為，則，所以函數(shù)的對稱中心為，所以將函數(shù)向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數(shù)，該函數(shù)的對稱中心為，故函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.24．（2024·高三·江西·期中）設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)【答案】B【解析】對A，，故是奇函數(shù)，故A錯誤；對B，，故是偶函數(shù)，故B正確；對C，，故是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，，故是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B25．（多選題）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】對于A中，函數(shù)的定義域為，且，所以為的奇函數(shù)，符合題意；對于B中，函數(shù)的定義域為，且，所以為的奇函數(shù)，符合題意；對于C中，函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以為定義域上的奇函數(shù)，符合題意；對于D中，函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以為定義域上的偶函數(shù)，不符合題意.故選：ABC.26．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2).【解析】（1）由題意知，，或，所以定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以，所以，所以為奇函數(shù).（2）由題意知的定義域為，，所以，所以，所以為奇函數(shù).題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)27．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則【答案】【解析】，又，易知的對稱中心是，把它的圖象向右平移1個單位，再向下平行一個單位得圖象的函數(shù)為奇函數(shù)．，由題意，∴，．故答案為：－2．28．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）函數(shù)為奇函數(shù)，則.【答案】【解析】設(shè)，若函數(shù)是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域為，，即，則，則.故答案為：29．（2024·四川內(nèi)江·三模）若函數(shù)是奇函數(shù)，則.【答案】【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，，當時，，，而當時，，則，當時，，，而當時，，則，所以，.故答案為：30．設(shè)奇函數(shù)，則的值為.【答案】0【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：.題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值31．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，則．【答案】27【解析】因為，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，而，①所以，即，②由①②得，所以．故答案為：.32．已知偶函數(shù)和奇函數(shù)均定義在上，且滿足，則．【答案】【解析】因為……①所以因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以……②①②聯(lián)立解得：，，所以.故答案為：.33．已知，是分別定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則.【答案】【解析】和已知條件相加得故故故答案為：34．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，所以，即，解得.故選：B題型十：奇函數(shù)的中值模型35．（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且最大值為1，則函數(shù)的最大值和最小值的和為.【答案】2【解析】奇函數(shù)如果存在最值，則最大值和最小值之和為0，所以函數(shù)最大值和最小值之和為0，則函數(shù)的最大值和最小值之和為2.故答案為：2.36．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中且，，，則和的值一定不會是（

）A．和 B．-3和4C．3和-1 D．和【答案】C【解析】令，，易得，，所以，因為，所以為奇數(shù)，驗證可知A、B、D三組數(shù)值和均為奇數(shù)，C組數(shù)值和為偶數(shù)，故C組數(shù)值一定不是和的值.故選：C.37．已知函數(shù)，正實數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】2【解析】令，由，得定義域為R，，即函數(shù)是奇函數(shù)，而，當時，函數(shù)是增函數(shù)，又是增函數(shù)，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，由，得，即，則，即，又，所以，當且僅當時取得，所以的最小值為2.故答案為：238．已知函數(shù)，則是（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）函數(shù)；若，則.【答案】奇【解析】因為定義域為R,則，則，所以為奇函數(shù).因為，所以，所以，所以故答案為：奇，39．（2024·安徽安慶·三模）若，都有成立，則函數(shù)在上的最大值與最小值的和為.【答案】【解析】依題意，，都有成立，令，則，所以；令，，即令，則的定義域為，且，故為上的奇函數(shù)，，令，則的定義域為，且，故為上的奇函數(shù)，故為上的奇函數(shù)，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，故在上的最大值與最小值的和為故為上的最大值與最小值的和為，故答案為：題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式40．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，，令，則，所以是奇函數(shù)．又由，可得，即，得．由，因為均為上的減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故選：A41．（2024·遼寧大連·一模）設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，設(shè)，顯然定義域為，，又，所以為上的奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，又，則，所以，即，所以，解得，則滿足的的取值范圍是．故選：C．42．（2024·云南貴州·二模）若函數(shù)的定義域為且圖象關(guān)于軸對稱，在上是增函數(shù)，且，則不等式的解是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為在上是增函數(shù)且，所以在范圍內(nèi)的解為.因為函數(shù)在定義域上圖象關(guān)于軸對稱，所以在內(nèi)的解為，所以不等式在R內(nèi)的解為.故選：C43．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，若成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】記，令，解得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.因為，所以為偶函數(shù).所以，又在上單調(diào)遞增，所以，即，解得.故選：C題型十二：函數(shù)對稱性的應(yīng)用44．（2024·陜西寶雞·二模）請寫出一個圖像關(guān)于點對稱的函數(shù)的解析式．【答案】（答案不唯一）【解析】的圖象關(guān)于原點對稱，則的圖象關(guān)于點對稱．同樣如函數(shù)也滿足題意．故答案為：（答案不唯一）．45．（2024·四川瀘州·一模）函數(shù)的對稱中心為．【答案】【解析】因為，則的圖象可以由函數(shù)向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到，因為為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以關(guān)于對稱.故答案為：46．已知函數(shù)，函數(shù)滿足，若與的圖象有6個交點，則所有交點橫坐標之和等于.【答案】6【解析】已知函數(shù)，繪制其圖像如下圖：根據(jù)圖像易知函數(shù)關(guān)于中心對稱；又函數(shù)滿足，易知也關(guān)于中心對稱.由于與均關(guān)于中心對稱，可得兩個函數(shù)的交點也關(guān)于中心對稱，設(shè)其交點分別為，，…，，根據(jù)對稱性易知，即得：.故答案為：47．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)所求函數(shù)的圖象上任意一點，則點關(guān)于對稱的點為，由題意知點Q在的圖象上，可得，即函數(shù)關(guān)于對稱的函數(shù)解析式為．故選：D．48．（2024·高三·陜西漢中·期中）已知函數(shù)滿足為奇函數(shù)，若函數(shù)與的圖象的交點為，，…，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為為奇函數(shù)，所以，所以關(guān)于對稱，因為，所以的對稱中心為，，所以也關(guān)于對稱，所以與兩個圖象的交點也關(guān)于對稱，所以對于每組對稱點和均滿足，，所以.故選：B.題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用49．已知函數(shù)的定義域是，，，當時，，則．【答案】【解析】由得：，又，，，，.故答案為：.50．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，則．【答案】【解析】因為是奇函數(shù)，所以，用替換上式中的，可得，在中，用替換，可得，所以，用替換該式中的，可得，所以，所以函數(shù)的周期為，在中，令，得，在中，令，得，在中，令，得，所以，所以.故答案為：.51．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數(shù)，且，則．【答案】【解析】因為為偶函數(shù)，所以，又，所以，因為，所以，所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，所以，由，可得，由，可得，所以，所以，故答案為：.52．（多選題）設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，.若，則下列關(guān)于的說法正確的有（

）A．的一個周期為4 B．點是函數(shù)的一個對稱中心C．時， D．【答案】AD【解析】為奇函數(shù)，，且，函數(shù)關(guān)于點，偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于直線對稱，，即，，令，則，，，故的一個周期為4，故A正確；則直線是函數(shù)的一個對稱軸，故B不正確；當時，，，，又，，解得，，，當時，，故C不正確；，故D正確.故選：AD.題型十四：對稱性與周期性的綜合應(yīng)用53．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)的定義域均為R，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，，即，即①，由函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得②，由可得，又得，兩式相加，，將①式代入，得，則得，將②式代入得，，則，于是，即的周期為12.又，由①可得，得，又由可得，即得.因，可得，，于是，故選：B.54．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，的定義域均為，為偶函數(shù)且，，則（

）A．21 B．22 C． D．【答案】C【解析】∵為偶函數(shù)且，則，故關(guān)于點對稱，又∵，則，則是以周期為4的周期函數(shù)，故關(guān)于點對稱，∴，則，又∵，則，故.故選：C.55．（2024·高三·河南濮陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關(guān)于點中心對稱，若，則.【答案】【解析】對任意，由于，且函數(shù)的定義域為，故點在曲線上，且曲線關(guān)于點中心對稱，故點也在曲線上，從而，從而對任意有.從而對任意，由知，即.根據(jù)條件又有，即.現(xiàn)在對任意的整數(shù)，我們有：，所以，從而有：.故有：.故答案為：.56．（2024·江西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可知關(guān)于對稱，又，則，又，則，，.故選：A.57．（2024·山東日照·二模）已知是定義域為的偶函數(shù)，，，若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．6【答案】D【解析】因為是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，即，即，所以.所以關(guān)于點中心對稱.又是定義域為的偶函數(shù)，所以，所以，即，所以函數(shù)的周期為4.所以，所以.故選：D.58．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為偶函數(shù)，且當時，，則.【答案】【解析】因為均為偶函數(shù)，所以，，所以函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)關(guān)于對稱，由可得，即，為常數(shù)，所以，即關(guān)于點對稱，且函數(shù)關(guān)于對稱，所以，，故，即是函數(shù)的一個周期，由可得，所以，即，所以關(guān)于點對稱，且函數(shù)關(guān)于對稱，則，，故，所以是函數(shù)的一個周期，又當時，，所以，所以，由，令，則，而，所以，則，所以，則.故答案為：題型十五：類周期與倍增函數(shù)59．（2024·江西上饒·一模）已知函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間[－2，4]內(nèi)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是．A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，；當時，；又時，，所以可作出函數(shù)在[－2，4]的圖像如下：又函數(shù)在區(qū)間[－2，4]內(nèi)有3個零點，所以函數(shù)與在區(qū)間[－2，4]內(nèi)有3個不同交點，由圖像可得或,即或.故選D60．（2024·河北衡水·一模）定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，，若任給，存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍為（

）.A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，，可得在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在，上的值域為，，在上的值域為，，在上的值域為，，，，在上的值域為，，當時，為增函數(shù)，在，上的值域為，，，解得；當時，為減函數(shù)，在，上的值域為，，，解得；當時，為常數(shù)函數(shù)，值域為，不符合題意；綜上，的范圍是或．故選：．題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性61．已知定義在上的函數(shù)滿足：．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)若，求；(3)若，判斷并證明的單調(diào)性．【解析】（1）是奇函數(shù)，證明如下：因為，令，得到，令，得到，即，所以是奇函數(shù).（2）令，得到，由（1）知是奇函數(shù)，所以.（3）在上單調(diào)遞增，證明如下：在上任取，令，則，又因為，而，所以，即，得到，所以在上單調(diào)遞增.62．已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且．(1)求，，的值；(2)判斷的奇偶性，并證明．【解析】（1）令，得，因為，所以．令，得，因為，所以．令，得，即，因為，所以，所以．（2）為偶函數(shù)．證明如下：令，得，由（1）得，即，又的定義域為，所以為偶函數(shù)．63．已知函數(shù)對任意，，總有，且當時，，．(1)求證：是上的奇函數(shù)；(2)求證：是上的減函數(shù)；(3)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）證明：函數(shù)對任意，，總有，令，則，解得.令，得到，則可證，是上的奇函數(shù).（2）證明：在上任取、且，則，由（1）是上的奇函數(shù)，所以，因為，所以.由題可知，當時，，所以.即所以函數(shù)是上的減函數(shù).（3）因為，令，則令，則.因為，所以又因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，則，解得，則實數(shù)的取值范圍是.1．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列關(guān)于函數(shù)的四個結(jié)論中錯誤的是（

）A．的圖象關(guān)于原點對稱 B．的圖象關(guān)于點對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】由，得且，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點對稱，所以選項A正確．因為，所以是函數(shù)的一個周期，由選項A知點是函數(shù)的圖象的對稱中心，則也是函數(shù)的圖象的對稱中心，所以選項B正確．因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以選項C正確．方法一：因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項D錯誤．方法二：因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項D錯誤．故選：D．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．方程有解C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【解析】對于A，因為函數(shù)的定義域為，且滿足，取，得，則，取，得，則，故錯誤；對于B，取，得，則，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程無解，故B錯誤.對于CD，由知，所以是偶函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，錯誤.故選：C.3．（2024·河北保定·二模）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，即，即，所以.因為，所以，.故選：A4．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由題意得，函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域為，由奇函數(shù)的性質(zhì)得，，解得，經(jīng)過檢驗符合題意，所以當時，，所以.故選：D.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】D【解析】當時，不恒成立，故，A錯誤．B：解法一

令，得，又，所以，故，B錯誤．解法二

令，得，又，所以，B錯誤．C：解法一

由B選項的解法一可知，則，所以為奇函數(shù)，C錯誤，D正確．解法二

令，得，又，所以，所以，結(jié)合選項得C錯誤，D正確．綜上可知，選D．故選：D.6．（2024·遼寧沈陽·三模）已知是定義在上的函數(shù)，且為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當時，，則等于（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因為為偶函數(shù)，所以，即，所以，又是奇函數(shù)，所以，即，所以，則，所以是以為周期的周期函數(shù)，又當時，，所以，則，所以.故選：A7．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)的圖象在x軸上方，對，都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，故有．因為，都有，所以，所以，又函數(shù)的圖象在x軸上方，所以，所以，即函數(shù)的周期為4．當，可得，所以，當，可得，所以，所以，所以.故選：C．8．（2024·山東濟南·三模）已知函數(shù)的定義域為R，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．為偶函數(shù)C．有最小值 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】由于函數(shù)的定義域為R，且，令，則，得，時，恒成立，無法確定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定為偶函數(shù)，B不確定；由于的對稱軸為與的位置關(guān)系不確定，故在上不一定單調(diào)遞增，D也不確定，由于表示開口向上的拋物線，故函數(shù)必有最小值，C正確，故選：C9．（多選題）（2024·湖南常德·一模）若定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有且，則下列判斷正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱B．在定義域上單調(diào)遞增C．當時，D．【答案】BCD【解析】由知恒成立，再由知恒成立.設(shè)，則，且.故，.由于，故.而，故歸納即知.又因為對有，故歸納即知.特別地有，故，所以對有.這就得到了，從而.設(shè)有無理數(shù)，有理數(shù)數(shù)列使得，由于是連續(xù)的，故，而，故.這就表明.由于，故不是奇函數(shù)，故其圖象并不關(guān)于原點對稱，A錯誤；由于在定義域上單調(diào)遞增，且當時，，故B，C正確；對于D，由可得，從而，D正確.故選：BCD.10．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且，則下列說法中正確的是（

）A．為偶函數(shù) B． C． D．【答案】BC【解析】方法一：先介紹正弦平方差公式：．證明過程如下：．由題意，可以令，因為為奇函數(shù)，故選項A錯誤．因為，故選項B正確．因為，故選項C正確．因為，故，故選項D錯誤．方法二：對于選項A，因為的定義域為，令，則，故，則，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故A錯誤．對于選項B，令，則．而，所以，故選項B正確．對于選項C，由選項B可知，，令，則，所以．又因為為奇函數(shù)，所以，故C正確．對于選項D，由選項B以及，可得，所以，同理可得．因為，故，故D錯誤．故選：BC11．（多選題）（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，，，則（

）A． B．函數(shù)是奇函數(shù) C． D．的一個周期為3【答案】AC【解析】令，則，所以，A選項正確；令，則，即，所以是偶函數(shù)，B選項錯誤；，令，則，令，則，所以，所以，因為，所以，，C選項正確；令，則，所以，，所以，的一個周期為6，D選項錯誤.故選：AC．12．（多選題）（2024·廣東茂名·二模）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增.若，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，則不等式，可變形為，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式成立，則，解得，1，2符合題意，故選：CD.13．（2024·山東濰坊·二模）請寫出同時滿足下面三個條件的一個函數(shù)解析式．①；②至少有兩個零點；③有最小值．【答案】（答案不唯一）【解析】取，其對稱軸為，滿足①，令，解得或2，滿足②至少有兩個零點，，當，，滿足③有最小值.故答案為：（答案不唯一）.14．（2024·廣西南寧·二模）定義域為R的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．若，則．【答案】2499【解析】因為的圖象關(guān)于點對稱，所以，則即，又的圖象關(guān)于直線對稱，則，所以，即，可得，則是以4為周期的函數(shù).因為，由，令，得，所以，，，所以.故答案為：2499.15．（2024·四川雅安·三模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù).【答案】【解析】定義域為，，所以，故，故答案為：16．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，也關(guān)于點中心對稱，則的中位數(shù)為.【答案】/【解析】由的圖象關(guān)于點中心對稱，也關(guān)于點中心對稱，得，兩式相減得，所以，由時，由，得；由時，由，得；又由，結(jié)合，，所以成首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，且此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，所以的中位數(shù)為：.故答案為：.1．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若為偶函數(shù)，則．【答案】2【解析】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.2．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D3．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對A，設(shè)，函數(shù)定義域為，但，，則，故A錯誤；對B，設(shè)，函數(shù)定義域為，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對C，設(shè)，函數(shù)定義域為，不關(guān)于原點對稱，則不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，設(shè)，函數(shù)定義域為，因為，，則，則不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.4．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知，，且是奇函數(shù)，則．【答案】【解析】因為是奇函數(shù)，故即，故，故答案為：.5．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.6．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得：，而，故.故選：C.7．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.8．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從