2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講練測第02講 函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值（十六大題型）（講義）（含解析）

第02講函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 ③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5、對稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點對稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點對稱．題型一：單調(diào)性的定義及判斷【典例1-1】（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對實數(shù)，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由增函數(shù)的定義可知，當(dāng)時，有，充分性成立；當(dāng)時，若，由函數(shù)定義可知矛盾，若，由函數(shù)單調(diào)性的定義可知矛盾，則，必要性成立.即對實數(shù)，“”是“”的充要條件.故選：C【典例1-2】（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，滿足“對任意的，使得”成立的是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，“對任意的，使得”，則函數(shù)在上為減函數(shù).對于選項A，，為二次函數(shù)，其對稱軸為x＝－1，在上遞減，符合題意；對于選項B，，其導(dǎo)數(shù)，所以在上遞增，不符合題意；對于選項C，為一次函數(shù)，所以在上遞增，不符合題意；對于選項D，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”知，在上單調(diào)遞增，不符合題意.故選：A.【方法技巧】函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．【變式1-1】三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數(shù)的圖象恰如其形，因而得名三叉戟函數(shù)，因為牛頓最早研究了這個函數(shù)的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)用定義法證明：在上單調(diào)遞減.【解析】（1）由題意可知，解得，，故（）.（2）證明：，，且，則.由，且，得，，，所以，，所以，則，即.故在上單調(diào)遞減.【變式1-2】（2024·高三·上海·期中）由方程確定函數(shù)，則在上是（

）A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．奇函數(shù) D．偶函數(shù)【答案】B【解析】當(dāng)且時，，當(dāng)且時，，當(dāng)且時，，當(dāng)且時，無意義，如圖：結(jié)合圖象可知，在上是減函數(shù).故選：B題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷【典例2-1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為R，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A【典例2-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，解得或，所以函數(shù)的定義域為，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.【方法技巧】討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：1、若，在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；2、若，在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．【變式2-1】（2024·高三·甘肅·開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，由題意單調(diào)遞減，且，則，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：D.【變式2-2】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，解得或，由圖象的對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：C題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性【典例3-1】（2024·陜西商洛·一模）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為是定義在上的增函數(shù)，所以，解得.故選：B【典例3-2】已知函數(shù)滿足對于任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，對于任意的都有成立則函數(shù)在上是增函數(shù)∴，解得，故選：B．【方法技巧】函數(shù)，在上為增函數(shù)，則：①在上單調(diào)遞增；②在上單調(diào)遞增；③．函數(shù)，在上為減函數(shù)，則：①在上單調(diào)遞減；②在上單調(diào)遞減；③．【變式3-1】已知函數(shù)，若，都有成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為對于，都有成立，所以函數(shù)是增函數(shù)，則函數(shù)和均為增函數(shù)，且有，即，解得.故選：C.【變式3-2】已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且有，即，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值【典例4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，則函數(shù)的最大值為．【答案】【解析】設(shè)，，兩邊平方得．設(shè)，兩邊平方得，則，由于，，則，，又由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時,的最大值為，則在區(qū)間上的最大值為．故答案為：【典例4-2】若函數(shù)在上的最小值為1，則正實數(shù)的值為.【答案】【解析】由題可得,因為函數(shù)在上的最小值為1，當(dāng)時，在上，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，解得（舍）；當(dāng)時，在上在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，解得（舍）；當(dāng)時，在上，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：【方法技巧】利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：1、如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．2、如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．3、若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．4、若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，則的最大值是，最小值是．5、若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減，則的最大值是，最小值是．【變式4-1】（2024·上海嘉定·一模）函數(shù)在上的最大值和最小值的乘積為【答案】/【解析】令，，∵，∴，∴，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∵，∴∴函數(shù)在上的最大值和最小值分別為，∴函數(shù)在上的最大值和最小值的乘積為．故答案為：．【變式4-2】若函數(shù)在的最大值為2，則的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)，，，因為函數(shù)在的最大值為2，，所以，解得：，當(dāng)時，函數(shù)在上先遞減再遞增，而，所以，，且，即函數(shù)在的最大值為2，符合題意；當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，所以，而，所以函數(shù)在的最大值為2，符合題意，綜上，．故答案為：題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍【典例5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以，故選：B．【典例5-2】（2024·廣東佛山·二模）已知且，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，而，則或，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：D【方法技巧】若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．1、若在上恒成立在上的最大值．2、若在上恒成立在上的最小值．【變式5-1】若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C．或 D．【答案】C【解析】由題意，，令，解得，令，解得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則或或，解得或或，即或.故選：C.【變式5-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，所以，解得或（舍去）．所以在上單調(diào)遞增，則，解得．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以，解得或（舍去）．所以在上單調(diào)遞減，則，解得，與矛盾．綜上所述，.故選：C．【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)，則．①若，則在定義域上單調(diào)遞減．又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故對任意的恒成立．又，所以對任意的顯然成立．又因為對任意恒成立，所以0，故．②若，則在定義域上單調(diào)遞增．又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故對任意的恒成立．因為拋物線的開口向上，所以不可能對任意的恒成立．所以的取值范圍為．故選：A．【變式5-4】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，解之得，即的定義域為，又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得：，解得．故選：D題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小【典例6-1】（2024·寧夏銀川·一模）若，設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，由，所以為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則知隨的增大而增大，即，單調(diào)遞增，因為，，且，，所以，所以，即，也就是.故選：D【典例6-2】（2024·寧夏石嘴山·三模）若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為是定義在上偶函數(shù)，所以，因為，則，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，即，故選：A．【方法技巧】1、比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.【變式6-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知函數(shù)，記，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增且恒為正數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，又，即，于是，即.故選:C.【變式6-2】函數(shù)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知，易知在上單調(diào)遞增．因為，所以，所以，即.故選：D.【變式6-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為是定義在上偶函數(shù)，所以，因為，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，故選：A.題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明【典例7-1】設(shè)函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】C【解析】易知選項ABCD中的函數(shù)定義域即為；因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，對于A，，故是奇函數(shù)，即A錯誤；對于B，，故是偶函數(shù)，即B錯誤；對于C，，故是奇函數(shù)，即C正確；對于D，，故是偶函數(shù)，即D錯誤；故選：C.【典例7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的奇偶性為（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】A【解析】，整理得，即，則，．當(dāng)時，；當(dāng)時，，即對一切實數(shù)都成立，即函數(shù)的定義域為．，即函數(shù)為奇函數(shù)．故選：A．【方法技巧】函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性.【變式7-1】（多選題）（2024·重慶·模擬預(yù)測）函數(shù)，，那么（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】BC【解析】因為，所以為偶函數(shù)，因為，即，所以為奇函數(shù)，所以為非奇非偶函數(shù)，A錯誤；，所以為奇函數(shù)，B正確；，所以是奇函數(shù)，C正確；令，，為偶函數(shù)，D錯誤.故選：BC．【變式7-2】利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)(2)(3)；(4)；(5).【解析】（1）函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，當(dāng)，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向下，對稱軸為，當(dāng)，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)；（2）函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，當(dāng)，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，當(dāng)，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故為偶函數(shù)；（3）先作出的圖象，保留圖象中x≥0的部分，再作出的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對稱部分，即得的圖象，如圖實線部分．由圖知的圖象關(guān)于y軸對稱，所以該函數(shù)為偶函數(shù).（4）將函數(shù)的圖象向左平移一個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)的圖象，如圖，由圖知的圖象既不關(guān)于y軸對稱，也不關(guān)于x軸對稱，所以該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（5）函數(shù)，當(dāng)，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，當(dāng)，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，畫出函數(shù)的圖象，如圖，由圖知的圖象關(guān)于y軸對稱，所以該函數(shù)為偶函數(shù).題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)【典例8-1】已知函數(shù)是奇函數(shù)，則，若則.【答案】【解析】由，得，則，所以函數(shù)的定義域為，所以，解得，所以，此時，所以為奇函數(shù)，，所以.故答案為：1；.【典例8-2】已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，是偶函數(shù)，則.【答案】【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域為，，即，則，是偶函數(shù)，，即，即，即，則，，得，則，故答案為：【方法技巧】利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.【變式8-1】（2024·高三·湖北武漢·期末）函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)k的取值為.【答案】【解析】因為為定義域上的奇函數(shù)，所以，即，整理化簡有：恒成立，所以，得，又因為，所以，且當(dāng)時，，其定義域為，關(guān)于原點對稱，故滿足題意.故答案為：【變式8-2】已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則．【答案】1【解析】因為，且，即，有，所以．故答案為：1.【變式8-3】已知函數(shù)定義域為，，若為偶函數(shù)，則實數(shù)的值為．【答案】【解析】由題設(shè)，，即，所以，整理得恒成立，則.故答案為：題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值【典例9-1】已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則的值是.【答案】【解析】因為①，所以由函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則所以②則①-②可得：，所以則．故答案為：．【典例9-2】（2024·廣東湛江·二模）已知奇函數(shù)則．【答案】【解析】當(dāng)時，，，則．故答案為：.【方法技巧】抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式.【變式9-1】若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則的解析式為.【答案】【解析】由題意得：，即①，②，②-①得：，解得：.故答案為：【變式9-2】已知函數(shù)對一切實數(shù)都滿足，且當(dāng)時，，則．【答案】【解析】函數(shù)對一切實數(shù)都滿足，所以，設(shè)，則，，又因為，即，所以所以.故答案為：．題型十：奇函數(shù)的中值模型【典例10-1】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值為M，最小值為N，其中，則．【答案】6【解析】由題意可知，，設(shè)，的定義域為，所以，所以為奇函數(shù)，所以，所以故答案為：【典例10-2】對于函數(shù)（其中），選取的一組值計算，所得出的正確結(jié)果一定不可能是（

）A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以是奇函數(shù)，所以，所以，又因為，所以能被2整除，故選：D【方法技巧】已知奇函數(shù)，，則（1）（2）【變式10-1】（2024·廣西·一模）是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A．－1 B． C． D．1【答案】A【解析】是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則.∴.故選：A【變式10-2】設(shè)函數(shù)的最大值為5，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)，利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出是奇函數(shù)，結(jié)合條件得出的最大值和最小值，從而得出的最小值.由題可知，，設(shè)，其定義域為，又，即，由于，即，所以是奇函數(shù)，而，由題可知，函數(shù)的最大值為5，則函數(shù)的最大值為：5-3=2，由于是奇函數(shù)，得的最小值為-2，所以的最小值為：-2+3=1.故選：B.【變式10-3】已知函數(shù)，且，則．【答案】【解析】由，得，構(gòu)建函數(shù)，定義域為，則，即是奇函數(shù)，于是，所以，可得，又，因此．故答案為：【變式10-4】設(shè)為奇函數(shù)，若在的最大值為3，則在的最小值為.【答案】【解析】的定義域為且為奇函數(shù)，所以，，所以，，設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，依題意可知，在的最大值為，所以在的最小值為，所以在的最小值為.故答案為：【變式10-5】（2024·高三·安徽·期中）函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則．【答案】1【解析】，設(shè)，則，記，因為，所以是在上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，所以，又因為，所以，故答案為：1．【變式10-6】（2024·高三·河南周口·開學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)滿足，若函數(shù)的最大值和最小值分別為，則．【答案】4048【解析】令，得，令，則，所以，令，所以，為奇函數(shù)，．令，則，即為奇函數(shù)，所以．而，所以．故答案為：4048【變式10-7】函數(shù)，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是.【答案】【解析】，令，定義域為關(guān)于原點對稱，∴，∴為奇函數(shù)，∴，∴，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，，∴，∴，故答案為：.題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式【典例11-1】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由題設(shè)，在上遞減，由偶函數(shù)知：，∴，即，∴，則，得.故的最小值是.故選：C【典例11-2】（2024·安徽安慶·三模）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知，解得，所以，其在上單調(diào)遞增，又因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，，所以不等式可化為，于是，即，解得或.故選：C．【方法技巧】求解函數(shù)不等式時，由條件去掉“”，從而轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，記得考慮函數(shù)的定義域．【變式11-1】（2024·湖南永州·三模）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，在上單調(diào)遞增.令，在上單調(diào)遞增，因為，所以為奇函數(shù)，則化為所以，解得，.故選：C【變式11-2】設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，故是奇函數(shù)．又，(等號成立的條件是)，所以是R上的增函數(shù)，則，而，因此有，從而，解得，故選：A.【變式11-3】已知函數(shù)，則不等式的解集是【答案】【解析】令，則，故，令，則，故為奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞增，由等價于，所以，故，可得，故不等式解集為.故答案為：【變式11-4】（2024·天津河北·二模）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意得函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增．原不等式可化為，∴，兩邊平方整理得，解得或．∴實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．題型十二：函數(shù)對稱性的應(yīng)用【典例12-1】已知函數(shù)，，，則．【答案】【解析】設(shè)函數(shù)圖象的對稱中心為，則有，即，整理得，比較系數(shù)可得，因此函數(shù)圖象的對稱中心為，又，，且，則點關(guān)于對稱，所以.故答案為：6【典例12-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，若為奇函數(shù)，且直線與的圖象恰有5個公共點，，，，，則.【答案】【解析】為奇函數(shù)，則有，即，可得，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.直線，即，由，解得，所以直線過定點，即直線關(guān)于點對稱.直線與的圖象恰有5個公共點，，，，，則有，，.故答案為：【方法技巧】(1)若，則函數(shù)關(guān)于對稱．(2)若，則函數(shù)關(guān)于點對稱．【變式12-1】已知所有的三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，，若函數(shù)，則.【答案】8090【解析】，則，即函數(shù)的圖象的對稱中心為，則，故.故答案為：8090.【變式12-2】若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則．【答案】【解析】由于，解得，故它的反函數(shù)為.再由函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，可得是函數(shù)的反函數(shù)，故，所以．故答案為．【變式12-3】已知，函數(shù)對任意有成立，與的圖象有個交點為，…，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】化簡，所以的圖象關(guān)于對稱，由可得，可得的圖象也關(guān)于對稱，因此與的圖象的個交點為，…，，也關(guān)于對稱，所以，，設(shè)，則，兩式相加可，同理可得，.故選：D.【變式12-4】已知函數(shù)滿足：是偶函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)圖象的交點為，，，，則橫坐標(biāo)之和（

）A．0 B．m C． D．【答案】B【解析】由是偶函數(shù)，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)，其圖象也關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)與函數(shù)圖象的交點也關(guān)于直線對稱，當(dāng)為偶數(shù)時，其和為；當(dāng)為奇數(shù)時，其和為.故選：B.【變式12-5】（多選題）（2024·高三·黑龍江雞西·開學(xué)考試）對于定義在上的函數(shù)，下述結(jié)論正確的是（

）A．若，則的圖象關(guān)于直線對稱B．若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則為偶函數(shù)【答案】BD【解析】對A，對，有，令替換，得，可得函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，則的圖象對稱性不確定，即A錯誤；對B，是奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點成中心對稱，而的圖象是將的圖象向右平移一個單位，的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對C，函數(shù)是由的圖象向左平移一個單位得到；函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移一個單位得，而與的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，故C錯誤；對于D，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則將其向左平移1個單位得到，則對稱軸也向左平移1單位，則關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)，故D正確.故選：BD.題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用【典例13-1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因為，所以，所以的周期為6.又因為為奇函數(shù)，所以，即，即，令，則，即所以，故選：C.【典例13-2】（2024·山東青島·一模），，，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．－1【答案】B【解析】由題意知，，，令，則顯然時，不成立，故，故，則，即6為函數(shù)的周期，則，故選：B【方法技巧】(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)周期定義，從而求出函數(shù)的周期．(2)利用函數(shù)的周期性，可以解決區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題．【變式13-1】已知函數(shù)滿足，，則等于【答案】3【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，求得函數(shù)的周期，利用函數(shù)周期性即可求得函數(shù)值.則是以8為周期的周期函數(shù).所以.故答案為：.【變式13-2】（2024·廣東廣州·二模）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由題意可知：函數(shù)的定義域為R，因為，則，可得，所以為偶函數(shù)，由可得，即，整理得，可得，則，可得，所以6為的周期，由，令，可得，可得；令，可得，可得；所以．故選：A．【變式13-3】（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則.【答案】【解析】由已知可得，所以，所以，即是函數(shù)的一個周期，所以.故答案為：題型十四：對稱性與周期性的綜合應(yīng)用【典例14-1】（多選題）（2024·江西贛州·二模）函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，和都是奇函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于點對稱C．是周期函數(shù) D．【答案】BC【解析】對于A，因為是奇函數(shù)，所以，則有，的圖象關(guān)于點對稱，故A錯誤；對于B，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，向右平移1個單位后可得，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，因為是奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以①，因為，所以②，由①②可得：，所以，所以，，所以是函數(shù)的一個周期函數(shù)，所以是周期函數(shù)，故C正確；對于D，因為，所以，，，，所以，而，故D錯誤.故選：BC.【典例14-2】（2024·高三·遼寧營口·期末）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】為奇函數(shù)，，所以關(guān)于對稱，所以①，且，又為偶函數(shù)，，則關(guān)于對稱，所以②，由①②可得，即，所以，于是可得，所以的周期，則，所以為偶函數(shù)則，所以，所以所以，解得，所以當(dāng)時，所以.故選：B.【方法技巧】（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.【變式14-1】（多選題）定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且，則下列說法中一定正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．函數(shù)是周期函數(shù) D．【答案】BCD【解析】對A：由，故為奇函數(shù)，若為偶函數(shù)，則，與條件不符，故A錯誤；對B：由，則，又，即，即，又定義在上，故為奇函數(shù)，故B正確；對C：由，，，所以，則，所以，，所以，所以，則函數(shù)是周期函數(shù)的周期函數(shù)，函數(shù)是周期函數(shù)的周期函數(shù)，故C正確；對D：由是周期函數(shù)的周期函數(shù)，由，令，則，即，令，則，即，由，，則，則關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱，又為奇函數(shù)，即關(guān)于中心對稱，故關(guān)于對稱，則，則，故D正確.故選：BCD.【變式14-2】（多選題）（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和.若，，且為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．C． D．【答案】AC【解析】對于選項A：因為，則，可得，又因為，可得.令，可得，解得，可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，A正確；對于選項C：因為為奇函數(shù)，可知的圖象關(guān)于點對稱，且，令，可得，即；令，可得；令，可得；由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可得；所以，又因為，則，可知函數(shù)的周期，所以，故C正確；對于選項B：由AC可知，可得，，所以，故B錯誤；對于選項D：可得，故D錯誤.故選：AC.【變式14-3】（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，的定義域均為，其導(dǎo)函數(shù)分別為，．若，，且，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱C． D．【答案】ACD【解析】因為，所以．又因為，所以．于是可得，令，則，所以．所以，即函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，即．因為，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，即，所以，即，于是，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以的圖像關(guān)于軸對稱，所以為偶函數(shù)，所以A選項正確．將的圖像作關(guān)于軸對稱的圖像可得到的圖像，再向右平移3個單位長度，可得到的圖像，再將所得圖像向下平移2個單位長度，即可得到的圖像，因此函數(shù)也是周期為4的函數(shù)．又的圖像關(guān)于點對稱，所以的圖像關(guān)于點對稱，所以B選項不正確．因為，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C選項正確．因為，所以，，，，，則有，可得，所以D選項正確．故選：ACD．【變式14-4】（多選題）（2024·福建寧德·三模）若定義在上的函數(shù)滿足，且值域為，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于中心對稱【答案】ABC【解析】對于選項A，令得：，解得或，令，得，由的值域為，所以時，，不合題意，所以，故A正確；對于選項B，令得：，所以或，令，得，即，由的值域為，所以，令得：，所以或，由的值域為，所以，故B正確；對于選項C，令，得，因為，所以，所以為偶函數(shù)，故C正確；對于選項D，若圖象關(guān)于中心對稱，則，由于定義域為R，值域為，若，則必有，與題設(shè)矛盾，故D錯誤.故選：ABC.題型十五：類周期與倍增函數(shù)【典例15-1】已知函數(shù)的定義域為,且滿足,當(dāng)時,則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時,最大值為,當(dāng)時,其最大值為,當(dāng)時,，在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),,當(dāng)時,,最大值為,當(dāng)時,,在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),又當(dāng)時,的圖像與直線有個交點,函數(shù)在區(qū)間上有個零點故選：C【典例15-2】設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，若對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為對稱軸為，所以當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，，由知，，所以此時，其最小值為；同理，當(dāng)時，，其最小值為；當(dāng)時，的最小值為；作出如簡圖，因為，要使，則有.解得或，要使對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是.故選:.【方法技巧】1、類周期函數(shù)若滿足：或，則橫坐標(biāo)每增加個單位，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱為周期為的類周期函數(shù)．2、倍增函數(shù)若函數(shù)滿足或，則橫坐標(biāo)每擴(kuò)大倍，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．【變式15-1】設(shè)函數(shù)的定義域為R，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是.【答案】【解析】由，得，得分段求解析式，結(jié)合圖象可得m的取值范圍．，，時，，時，；時，；時，；當(dāng)時，由，解得或，若對任意，都有，則．故答案為：．【變式15-2】（2024·上?！ざ＃┮阎瘮?shù)是定義在上的函數(shù)，且，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為.【答案】11.【解析】令函數(shù)，得到方程，當(dāng)時，函數(shù)先增后減，在時取得最大值1，而在時也有；當(dāng)時，在處，函數(shù)取得最大值，而，在時，也有，當(dāng)時，在處，函數(shù)取得最大值，而，在時，也有，，當(dāng)時，在處，函數(shù)取得最大值，而，在時，也有，綜合以上分析，將區(qū)間分成11段，每段恰有一個交點，所以共有11個交點，即有11個零點.故答案為:11.題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性【典例16-1】已知定義在上的函數(shù)對任意正數(shù)都有，當(dāng)時，，(1)求的值；(2)證明：用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；【解析】（1）在等式中，令，可得，解得；（2）因為，則，任取，則，由時，，可得，則，即，因此，函數(shù)在上是增函數(shù)．【典例16-2】（2024·山西臨汾·三模）已知函數(shù)的定義域為，且，，則．【答案】【解析】令，則，因為，所以，令，則，得，令，則，即，所以，所以所以，所以，即，是以6為周期的周期函數(shù)，所以，故答案為：.【方法技巧】抽象函數(shù)的模特函數(shù)通常如下：(1)若，則(正比例函數(shù))(2)若，則(指數(shù)函數(shù))(3)若，則(對數(shù)函數(shù))(4)若，則(冪函數(shù))(5)若，則(一次函數(shù))【變式16-1】（多選題）（2024·遼寧·二模）已知定義城為R的函數(shù)．滿足，且，，則（

）A． B．是偶函數(shù)C． D．【答案】ABC【解析】對于A項，由，令，則，故A項正確；對于B項，令，則，因，故，令，則①，所以函數(shù)關(guān)于點成中心對稱，令，則，令，則②，由①可得：③，由②③可知：，且函數(shù)的定義域為，則函數(shù)是偶函數(shù)，故B項正確；對于C項，令，則，因為，，，代入上式中得，故得：，故C項正確；對于D項，由上可知：，則，故函數(shù)的一個周期為4，故，令，則，所以，則，故D項錯誤．故選：ABC．【變式16-2】（多選題）（2024·廣西賀州·一模）已知函數(shù)的定義域為，且當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．為增函數(shù)C．若實數(shù)a滿足不等式，則a的取值范圍為D．【答案】ABD【解析】對于A，令，則，所以，令，則，所以，所以是奇函數(shù)，故A正確；對于B，令，則，因為，所以，所以，，所以，又因為當(dāng)時，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)，且，所以函數(shù)為增函數(shù)，故B正確；對于C，由，得，所以，解得，故C錯誤；對于D，，即，故D正確.故選：ABD.【變式16-3】定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足對任意，，.(1)證明：；(2)請判斷的奇偶性；(3)若對于任意，不等式恒成立，求出m的最大值.【解析】（1）令，則有，，因為是任意的，，由得，，；（2）令，由①②得，將代入，解得或（，舍去），代入③得；令，則有，兩式相加得，由（1）的運(yùn)算結(jié)果，代入上式，得：，由可知如果，則有，不可能，所以，，由于x是任意的，必有，兩式相加得，是偶函數(shù)，，是奇函數(shù)；（3）由于，不等式即為：，由，得，令，則不等式轉(zhuǎn)化為，其中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以m的最大值為；綜上，m的最大值為.【變式16-4】（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）定義在正實數(shù)集上的函數(shù)滿足下列條件：①存在常數(shù)，使得；②對任意實數(shù)，當(dāng)時，恒有．(1)求證：對于任意正實數(shù)、，；(2)證明：在上是單調(diào)減函數(shù)；(3)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）證明：令，，則，所以，即證；（2）證明：設(shè)，則必，滿足，由（1）知，故，即，所以在上是單調(diào)減函數(shù)．（3）令，則，故，即，由于所以，又，故．1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.2．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因為其定義域為R，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．3．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域為R，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函數(shù) B．存在在處取最大值C．存在是嚴(yán)格增函數(shù) D．存在在處取到極小值【答案】B【解析】對于A，若存在是偶函數(shù),取,則對于任意,而,矛盾,故A錯誤；對于B，可構(gòu)造函數(shù)滿足集合，當(dāng)時，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則該函數(shù)的最大值是，則B正確；對C，假設(shè)存在，使得嚴(yán)格遞增，則，與已知矛盾，則C錯誤；對D，假設(shè)存在，使得在處取極小值，則在的左側(cè)附近存在，使得，這與已知集合的定義矛盾，故D錯誤；故選：B.4．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點【答案】ABC【解析】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯