隨機(jī)過(guò)程：第二章 隨機(jī)過(guò)程的基本概念

隨機(jī)過(guò)程第二章隨機(jī)過(guò)程的基本概念本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容★隨機(jī)過(guò)程的概念和定義★隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性分析★平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程★各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程★隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布與互相關(guān)函數(shù)★隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度補(bǔ)充：信號(hào)的概念信號(hào)是運(yùn)載消息的工具，是消息的載體。從廣義上講，它包含光信號(hào)、聲信號(hào)和電信號(hào)等。光信號(hào)：古代人利用點(diǎn)燃烽火臺(tái)而產(chǎn)生的滾滾狼煙，向遠(yuǎn)方軍隊(duì)傳遞敵人入侵的消息聲信號(hào)：當(dāng)我們說(shuō)話時(shí)，聲波傳遞到他人的耳朵，使他人了解我們的意圖電信號(hào)：各種無(wú)線電波、電話網(wǎng)中的電流等，都可以用來(lái)向遠(yuǎn)方表達(dá)各種消息人們通過(guò)對(duì)光、聲、電信號(hào)進(jìn)行接收，才知道對(duì)方要表達(dá)的消息。補(bǔ)充：信號(hào)的概念在信息學(xué)科領(lǐng)域，信號(hào)在數(shù)學(xué)描述上通常表示為時(shí)間的函數(shù)。信號(hào)按數(shù)學(xué)關(guān)系、取值特征、能量功率、處理分析、所具有的時(shí)間函數(shù)特性、取值是否為實(shí)數(shù)等，可以分為確定性信號(hào)和非確定性信號(hào)（又稱隨機(jī)信號(hào)）、連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)、能量信號(hào)和功率信號(hào)、時(shí)域信號(hào)和頻域信號(hào)、時(shí)限信號(hào)和頻限信號(hào)、實(shí)信號(hào)和復(fù)信號(hào)等。2.1隨機(jī)過(guò)程的概念和定義★隨機(jī)過(guò)程的概念★隨機(jī)過(guò)程的定義★隨機(jī)過(guò)程的分類2.1.1隨機(jī)過(guò)程的概念自然界事物的變化過(guò)程可以分為兩大類：每次觀測(cè)所得結(jié)果都相同，都是時(shí)間t的一個(gè)確定的函數(shù)，具有確定的變化規(guī)律。每次觀測(cè)所得結(jié)果都不同，都是不同的時(shí)間t的函數(shù)，觀測(cè)前不能預(yù)知觀測(cè)結(jié)果，沒(méi)有確定的變化規(guī)律。確知過(guò)程隨機(jī)過(guò)程正弦信號(hào)調(diào)制信號(hào)周期性脈沖信號(hào)雷達(dá)接收機(jī)的噪聲?shū)B(niǎo)叫聲爆破信號(hào)實(shí)際過(guò)程示例2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★根據(jù)例題引出隨機(jī)過(guò)程的定義[例2.1]設(shè)有一臺(tái)信號(hào)發(fā)生器，其輸出電壓為。在理想情況下，我們認(rèn)為每次開(kāi)機(jī)時(shí)該信號(hào)發(fā)生器輸出電壓的振幅A、角頻率ω0和初始相位φ是不變的（即這三個(gè)參數(shù)為固定的常數(shù)），則電壓u(t)為一確定性信號(hào)。2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★根據(jù)例題引出隨機(jī)過(guò)程的定義（續(xù)）

但是由于工藝水平的限制、信號(hào)發(fā)生器內(nèi)各元器件分布參數(shù)的變化、熱噪聲的影響以及環(huán)境的影響等等諸多因素，實(shí)際上這三個(gè)參數(shù)在每次開(kāi)機(jī)時(shí)都是不同的，而且它們的值是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)變化的。我們來(lái)分析一種最簡(jiǎn)單的情況：即只有初始相位φ是隨機(jī)變化的，而振幅A、角頻率ω0為固定值的情形（隨機(jī)相位信號(hào)）。2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★根據(jù)例題引出隨機(jī)過(guò)程的定義（續(xù)）

一般初始相位φ是一個(gè)在（-π，π）區(qū)間內(nèi)均勻分布的連續(xù)隨機(jī)變量，記為Φ。則因?yàn)檩敵鲭妷菏铅档暮瘮?shù)，因此信號(hào)發(fā)生器的輸出電壓也成為一個(gè)隨機(jī)變量，記為

(2.1.1)2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★根據(jù)例題引出隨機(jī)過(guò)程的定義（續(xù)）對(duì)于任一初始相位φk，有一對(duì)應(yīng)的確定的電壓xk(t)，即。由于初始相位Φ是連續(xù)的隨機(jī)變量，有無(wú)限多個(gè)可能的值，即φ1，φ2，…φk，…，相應(yīng)地，電壓U(t)也將有無(wú)限多個(gè)可能的波形，即x1(t)，x2(t)，…xk(t)，…。這樣一來(lái)，由(2.1.1)式表示的信號(hào)發(fā)生器的輸出電壓X(t)是由x1(t)，x2(t)，…xk(t)，…的總體（或集合）所組成的。

2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★根據(jù)例題引出隨機(jī)過(guò)程的定義（續(xù)）在每次試驗(yàn)之前，不能預(yù)知這次觀測(cè)結(jié)果是該集合中的哪一個(gè)，而只能一般性表示為：一旦觀測(cè)結(jié)果出現(xiàn)，i值才能確定，這時(shí)xi(t)為確定的余弦信號(hào)。xi(t)的出現(xiàn)是有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的，通常把xi(t)叫做樣本函數(shù)，簡(jiǎn)稱為樣本。

所謂隨機(jī)過(guò)程就是由所有這些樣本函數(shù)的集合或總體構(gòu)成的。

2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★定義一

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S=(e)，如果對(duì)于每一基本事件e∈S，均能以某種規(guī)則確定一個(gè)時(shí)間t的函數(shù)，則由所有e確定的一族t的函數(shù)叫做隨機(jī)過(guò)程，記作X(t)=X(e,t)。其中每一個(gè)t的函數(shù)稱為樣本函數(shù)，或簡(jiǎn)稱樣本。

隨機(jī)過(guò)程X(t,e)在四種不同情況下的意義：當(dāng)t固定，e固定時(shí)，X(t)是一個(gè)確定值；當(dāng)t固定，e可變時(shí)，X(t)是一個(gè)隨機(jī)變量；當(dāng)t可變，e固定時(shí)，X(t)是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)；當(dāng)t可變，e可變時(shí)，X(t)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程；2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★從時(shí)域上對(duì)例題2.1進(jìn)行分析

下面再?gòu)臅r(shí)域上進(jìn)行對(duì)例題2.1進(jìn)行分析。當(dāng)時(shí)間t等于t1時(shí)，各樣本函數(shù)的值分別為x1(t1)，x2(t1)，…xk(t1)，…，由于初始相位Φ是一隨機(jī)變量，因此每一個(gè)xk(t1)的值在試驗(yàn)之前不能預(yù)知，只能通過(guò)觀測(cè)結(jié)果確定。由此可知，在時(shí)刻t1，信號(hào)發(fā)生器輸出的電壓值為一隨機(jī)變量X(t1)。同理，在任意時(shí)刻tn，信號(hào)發(fā)生器輸出的電壓值也為隨機(jī)變量X(tn)。隨著t值的變化，隨機(jī)變量也各不相同。由此可引申出隨機(jī)過(guò)程的第二個(gè)定義。

2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★定義二

設(shè)有一個(gè)過(guò)程X(t)，如果對(duì)于每一個(gè)固定的時(shí)刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一個(gè)隨機(jī)變量，則稱X(t)為隨機(jī)過(guò)程?；蛘哒f(shuō)：依賴于時(shí)間t的一族隨機(jī)變量X(t)叫做隨機(jī)過(guò)程。

2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★另外一個(gè)例題[例2.2]接收機(jī)噪聲問(wèn)題

我們來(lái)測(cè)量某種接收機(jī)的輸出電壓。假定該接收機(jī)輸入端沒(méi)有信號(hào)，但由于接收機(jī)內(nèi)部的元器件會(huì)發(fā)熱產(chǎn)生熱噪聲，經(jīng)過(guò)放大器放大后，在輸出端會(huì)有電壓輸出，這就是噪聲電壓。圖2.1是接收機(jī)噪聲的幾個(gè)樣本函數(shù)。圖2.1接收機(jī)噪聲的樣本函數(shù)示例2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★另外一個(gè)例題（續(xù)）我們對(duì)該接收機(jī)進(jìn)行n次測(cè)量并記錄其噪聲波形，可以得到n條噪聲電壓曲線x1(t)，x2(t)，…xn(t)…，它們各不相同，且不規(guī)則。我們將這些波形（實(shí)際上就是樣本函數(shù)）x1(t)，x2(t)，…xn(t)…構(gòu)成一個(gè)集合，實(shí)際上就是一個(gè)噪聲隨機(jī)過(guò)程X(t)。和[例2.1]的余弦過(guò)程一樣，測(cè)量之前不能預(yù)知測(cè)出的將是哪一個(gè)樣本函數(shù)，而只能由測(cè)量結(jié)果來(lái)確定。2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★另外一個(gè)例題（續(xù)）從時(shí)域上看，當(dāng)時(shí)間t等于t1時(shí)刻時(shí)，測(cè)出的值有x1(t1)，x2(t1)，…xn(t1)，…，從而構(gòu)成隨機(jī)變量X(t1)。類似地，在任意時(shí)刻tn，測(cè)出的值有x1(tn)，x2(tn)，…xn(tn)，…，而構(gòu)成隨機(jī)變量X(tn)?？偲饋?lái)看，隨機(jī)過(guò)程X(t)也可看作是由隨機(jī)變量X(t1)，X(t2)，…，X(tn)…所構(gòu)成，這些隨機(jī)變量隨著時(shí)間t而變化。因此，噪聲過(guò)程也是一個(gè)隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量。2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★定義一

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S=(e)，如果對(duì)于每一基本事件e∈S，均能以某種規(guī)則確定一個(gè)時(shí)間t的函數(shù)，則由所有e確定的一族t的函數(shù)叫做隨機(jī)過(guò)程。

★定義二

設(shè)有一個(gè)過(guò)程X(t)，如果對(duì)于每一個(gè)固定的時(shí)刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一個(gè)隨機(jī)變量，則稱X(t)為隨機(jī)過(guò)程。2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★兩個(gè)定義的分析

以上的兩種定義在本質(zhì)上是一樣的，只是從不同的角度進(jìn)行描述而已。定義一是從各次觀測(cè)結(jié)果來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程，定義二則是從各固定時(shí)刻來(lái)描述的，二者相互補(bǔ)充。

2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★兩個(gè)定義的分析（續(xù)）

在作實(shí)際觀測(cè)時(shí)，通常采用定義一，據(jù)此定義，用試驗(yàn)方法觀測(cè)各個(gè)樣本函數(shù)，觀測(cè)次數(shù)越多，所得到的樣本數(shù)目亦越多，也就越能掌握這個(gè)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。而在理論分析時(shí)，通常采用定義二，把隨機(jī)過(guò)程看成多維隨機(jī)變量的推廣，時(shí)間分割越細(xì)，維數(shù)越多，對(duì)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述也越全面，并且可以把概率論中多維隨機(jī)的理論作為隨機(jī)過(guò)程分析的理論基礎(chǔ)。2.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義★本課程的符號(hào)約定

本課程中均以大寫(xiě)字母[如X(t)]表示隨機(jī)過(guò)程，以小寫(xiě)字母[如xi(t)]表示樣本函數(shù)，而稱X(tn)為隨機(jī)過(guò)程X(t)在時(shí)刻t=tn的狀態(tài)。2.1.3隨機(jī)過(guò)程的分類★按狀態(tài)和時(shí)間的連續(xù)性進(jìn)行分類

1、連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程2、連續(xù)的隨機(jī)序列3、離散型隨機(jī)過(guò)程4、離散的隨機(jī)序列2.1.3隨機(jī)過(guò)程的分類★按狀態(tài)和時(shí)間的連續(xù)性進(jìn)行分類(續(xù))

1、狀態(tài)和時(shí)間都連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程稱為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。例題2.1中的余弦過(guò)程和2.2中的噪聲過(guò)程都屬于這一類。連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)為連續(xù)的隨機(jī)變量，各樣本也都為時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)。2.1.3隨機(jī)過(guò)程的分類★按狀態(tài)和時(shí)間的連續(xù)性進(jìn)行分類(續(xù))

2、狀態(tài)連續(xù)而時(shí)間離散的隨機(jī)過(guò)程稱為連續(xù)的隨機(jī)序列。對(duì)例題2.1中的余弦過(guò)程和2.2中的噪聲過(guò)程沿時(shí)間軸進(jìn)行抽樣即得到連續(xù)的隨機(jī)序列。連續(xù)的隨機(jī)序列其狀態(tài)保持連續(xù)，時(shí)間則由連續(xù)變?yōu)殡x散的。隨機(jī)相位序列

2.1.3隨機(jī)過(guò)程的分類★按狀態(tài)和時(shí)間的連續(xù)性進(jìn)行分類(續(xù))

3、狀態(tài)離散而時(shí)間連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程稱為離散型隨機(jī)過(guò)程。4、狀態(tài)和時(shí)間都離散的隨機(jī)過(guò)