第七章　第二節(jié)　等差數(shù)列

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第二節(jié)等差數(shù)列【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.理解等差數(shù)列的概念并掌握其通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.2.能在具體的問(wèn)題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問(wèn)題.3.體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理【命題說(shuō)明】考向考法高考命題常以等差數(shù)列為載體,考查基本量的運(yùn)算、求和及性質(zhì)的應(yīng)用.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)是高考的熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).預(yù)測(cè)2025年高考將會(huì)從以下兩個(gè)角度來(lái)考查:(1)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算與性質(zhì);(2)等差數(shù)列的綜合應(yīng)用,可能與等比數(shù)列、函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合考查.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.等差數(shù)列的有關(guān)概念定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,即an+1-an=d(n∈N*,通項(xiàng)公式設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,則通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí),A叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道,2A=a+b2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知條件前n項(xiàng)和公式a1,an,nSn=na1,d,nSn=na1+n(微點(diǎn)撥(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可變形為Sn=d2n2+(a1-d2)n.當(dāng)d≠0時(shí),它是關(guān)于n的二次函數(shù),表示為Sn=An2+Bn(A,(2)a1>0,d<0,則Sn存在最大值.a1<0,d>0,則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an.(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3(5)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列;(6)若{an}是等差數(shù)列,則{Snn}也成等差數(shù)列,其首項(xiàng)與{an}首項(xiàng)相同,公差是{an}公差的常用結(jié)論1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列,且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性:當(dāng)d>0時(shí),{an}是遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),{an}是遞減數(shù)列;當(dāng)d=0時(shí),{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).5.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的結(jié)論①若項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd,S奇S偶②若項(xiàng)數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,S奇S偶6.兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和Sn,Tn之間的關(guān)系為S2n-基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類(lèi)型辨析易錯(cuò)高考題號(hào)132,41.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.()提示:(1)第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差應(yīng)是同一個(gè)常數(shù);(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.()(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).()提示:(3)如果數(shù)列為0,0,0,0,則其通項(xiàng)公式不是一次函數(shù).(4)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)√2.(2023·全國(guó)甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5=()A.25 B.22 C.20 D.15【解析】選C.等差數(shù)列{an}中,a2+a6=2a4=10,所以a4=5,a4a8=5a8=45,故a8=9,則d=a8-a48-4=1,a則S5=5a1+5×42d=10+10=203.(轉(zhuǎn)化條件不等價(jià)致誤)一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為125,從第10項(xiàng)起每項(xiàng)都比1大,則這個(gè)等差數(shù)列的公差d的取值范圍是(A.(875,+∞) B.(-∞,3C.(875,325) D.(8【解析】選D.由題意可得a即125+9d>1,1254.(2022·全國(guó)乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若2S3=3S2+6,則公差d=.

【解析】因?yàn)?S3=3S2+6,所以2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,化簡(jiǎn)得3d=6,解得d=2.答案:2【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本量運(yùn)算1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a3+a5=4,S15=60,則a20=()A.4 B.6 C.10 D.12【解析】選C.由題意得a4=a3+a52=2,S15=15a8=60,則a8=4,所以a20=a4+4(a82.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=()A.-12 B.-10 C.10 D.12【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-32a1.又a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-103.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a4=11,且S3,S5,a22成等差數(shù)列,則S10=()A.145 B.150 C.155 D.160【解析】選C.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍4=11,所以S3=3(3a2=3(11-2d),S5=5a3=5(11-d),a22=11+18d,因?yàn)镾3,S5,a22成等差數(shù)列,所以3(11-2d)+11+18d=10(11-d),所以d=3,a1=a4-3d=11-9=2,所以S10=10a1+45d=20+135=155.4.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,則S8=()A.72 B.88 C.92 D.98【解析】選C.因?yàn)镾n+1=Sn+an+3,所以Sn+1-Sn=an+3=an+1,所以an+1-an=3,所以{an}是公差d=3的等差數(shù)列,又a4+a5=23,即2a1+7d=23,解得a1=1,所以S8=8a1+8×72d=925.在等差數(shù)列{an}中,已知a2=5,am=7,am+3=10,則數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為()A.12 B.22 C.23 D.25【解析】選B.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,am+3=am+3d=7+3d=10,解得d=1,又a2=5,所以a1=4,所以am=4+(m-1)×1=7,解得m=4,所以數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為S4=4(a1+解題技法等差數(shù)列基本量運(yùn)算的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求公差d或項(xiàng)數(shù)n:在求解時(shí),一般要運(yùn)用方程思想;(2)求通項(xiàng):a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素;(3)求特定項(xiàng):利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解;(4)求前n項(xiàng)和:利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解.考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明教考銜接教材情境·研習(xí)·典題類(lèi)[例1](選擇性必修第二冊(cè)P25習(xí)題4.2T7(1))已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.證明Snn【證明】設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1,公差為d,因?yàn)镾n=na1+n(n-1)2d=d2n2+(a1-d2)n,所以Snn=d2n+(a1-d2),所以Snn-Sn-1n-1=d2真題體驗(yàn)(2023·新高考Ⅰ卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:{Snn}A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解析】選C.(解法一)甲:an為等差數(shù)列,設(shè)其首項(xiàng)為a1,公差為d,則Sn=na1+n(所以Snn=d2n+(a1-d2),所以Snn-Sn-1n-1=d2n+(a1-d2)-因此Sn反之,乙:Sn即Sn+1n+1-Snn=即nan+1-Snn(n+1)=t,則Sn則Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)(n≥2),兩式相減得:an=nan+1-(n-1)an-2tn,即an+1-an=2t,對(duì)n=1也成立,因此an為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件,C正確(解法二)甲:an為等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,則Sn=na1+n則Snn=a1+(n-1)2d=d因此Sn反之,乙:Sn即Sn+1n+1-Snn=D,Snn即Sn=nS1+n(n-1)D,Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,當(dāng)n≥2時(shí),兩式相減得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,當(dāng)n=1時(shí),上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D為常數(shù),因此an為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件[溯源點(diǎn)評(píng)]本題是教材習(xí)題的變式,融入了簡(jiǎn)易邏輯知識(shí),考查學(xué)生的基本功,即邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).解題技法等差數(shù)列的判定與證明的常用方法主要方法定義法對(duì)任意n∈N*,an+1-an是同一常數(shù)?{an}為等差數(shù)列.等差中項(xiàng)法2an+1=an+an+2?{an}為等差數(shù)列.常用結(jié)論通項(xiàng)公式法an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.前n項(xiàng)和公式法Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.問(wèn)題的最終判定還是利用定義提醒:若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列,則只需找出三項(xiàng)an,an+1,an+2,使得這三項(xiàng)不滿足2an+1=an+an+2即可.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;【解析】(1)由已知,得a2-2a1=4,則a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.(2)證明:數(shù)列{ann}是等差數(shù)列,并求{an【解析】(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得na即an+1n所以數(shù)列{ann}是首項(xiàng)為a11則ann=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2【加練備選】已知數(shù)列{an}滿足a1=13,an+1+1an+1=1.設(shè)bn=1an,證明{b【解析】因?yàn)閎n+1-bn=1an+1-1an=11-1an+1所以數(shù)列{bn}是以1為公差的等差數(shù)列.又b1=3,所以bn=3+n-1=n+2,所以an=1n考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)考情提示等差數(shù)列的性質(zhì)作為計(jì)算、推理的工具,在高考考查等差數(shù)列知識(shí)過(guò)程中無(wú)處不在,涉及條件的轉(zhuǎn)化,式子的變形,數(shù)值的運(yùn)算等.角度1等差中項(xiàng)的應(yīng)用與推廣[例2](1)已知數(shù)列{an}滿足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,則a3+a4=()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】選B.因?yàn)?an=an-1+an+1(n≥2),所以an是等差數(shù)列由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,所以a4=4,a3=3,所以a3+a4=3+4=7.(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S9=18,an-4=30(n>9),若Sn=336,則nA.18 B.19 C.20 D.21【解析】選D.因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以S9=9a5=18,a5=2,Sn=n(a1+an)2=n角度2等差數(shù)列求和[例3](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27【解析】選B.由{an}是等差數(shù)列,得S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45.(2)已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn,且AnBn=3n+1【解析】因?yàn)閿?shù)列an,bn為等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和分別為An和B則a2+a5+a8b3又AnBn所以a5b5=A9B所以a2+a5+a8b3答案:21角度3等差數(shù)列求最值[例4](一題多法)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=13,S3=S11,當(dāng)Sn最大時(shí),n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選C.方法一(鄰項(xiàng)變號(hào)法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得a7+a8=0.根據(jù)首項(xiàng)等于13可推知這個(gè)數(shù)列為遞減數(shù)列,從而得到a7>0,a8<0,故n=7時(shí)Sn最大.方法二(函數(shù)法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a(bǔ)1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),知當(dāng)n=7時(shí)Sn最大.方法三(圖象法):根據(jù)a1=13,S3=S11,知這個(gè)數(shù)列的公差不等于零,且這個(gè)數(shù)列的和是先遞增后遞減.根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù),以及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性,可得只有當(dāng)n=3+112=7時(shí),Sn取得最大值解題技法等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)解析式Sn=an2+bn,通過(guò)配方結(jié)合圖象借助求二次函數(shù)最值的方法求解;(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法①當(dāng)a1>0,d<0時(shí),滿足am≥0,am+1≤0的項(xiàng)數(shù)m②當(dāng)a1<0,d>0時(shí),滿足am≤0,am+1≥0的項(xiàng)數(shù)m對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S5=7,S10=21,則S15=()A.35 B.42 C.49 D.63【解析】選B.在等差數(shù)列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差數(shù)列,即7,14,S15-21成等差數(shù)列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.2.(2023·重慶模擬)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=-2020,S20202020-SA.2023 B.-2023C.4046 D.-4046【解析】選C.因?yàn)閧Snn}為等差數(shù)列,設(shè)公差為則S20202020-首項(xiàng)為S1所以S2所以S2023=2023×2=4046.3.在等差數(shù)列{an}中,a1=7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn取得最大值,則d的取值范圍為.

【解析】由題意,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn有最大值,可得d即d解得-1<d<-78答案:(-1,-78考點(diǎn)四等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用[例5]“今有竹9節(jié),下部分3節(jié)總?cè)萘?升,