第十一章　第三節(jié)　隨機事件的概率與古典概型

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第三節(jié)隨機事件的概率與古典概型【課標解讀】【課程標準】1.結(jié)合具體實例,理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與樣本點的關(guān)系.2.了解隨機事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.3.理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.4.理解概率的性質(zhì),掌握隨機事件概率的運算法則.5.會用頻率估計概率.【核心素養(yǎng)】數(shù)學抽象、數(shù)學運算.【命題說明】考向考法高考命題常以現(xiàn)實生活為載體,考查隨機事件、樣本點、事件間的關(guān)系、古典概型;古典概型是高考熱點,常以選擇題的形式出現(xiàn).預(yù)測預(yù)計2025年高考古典概型知識點仍會出題.事件的互斥會與獨立事件交匯命題.【必備知識·逐點夯實】知識梳理·歸納1.有限樣本空間與隨機事件(1)樣本點:隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果.(2)樣本空間:全體樣本點的集合,一般用Ω表示.(3)有限樣本空間:樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}.(4)隨機事件(事件):樣本空間Ω的子集.(5)基本事件:只包含一個樣本點的事件.2.兩個事件的關(guān)系和運算項目含義符號表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導致B發(fā)生A?B

相等關(guān)系B?A且A?BA=B

并(和)事件A與B至少一個發(fā)生

A∪B或A+B交(積)事件A與B同時發(fā)生A∩B或AB

互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B=?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B=?,且A∪B=Ω

微點撥互斥事件不一定是對立事件,但是對立事件一定是互斥事件.3.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:1≥P(A)≥0.(2)P(Ω)=1,P(?)=0.(3)如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).(4)如果事件A與事件B互為對立事件,則P(A)=1-P(B).(5)如果A?B,那么P(A)≤P(B).(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).微思考兩個互斥事件的概率之和等于1嗎?提示:兩個互斥事件概率之和小于或等于1,只有當兩互斥事件為對立事件時,其概率和等于1.4.古典概型(1)古典概型及其特點①有限性:樣本空間的樣本點只有有限個;②等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性相等.具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗,其數(shù)學模型稱為古典概型.(2)古典概型的概率公式P(A)=kn=n其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).5.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地,隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.

(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計概率P(A).微點撥概率是一個常數(shù),是一個理論值,不隨試驗次數(shù)的改變而改變;而頻率是一個試驗值,隨著試驗次數(shù)的改變而改變,是一個變量.基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號12,3451.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(×)提示:因為頻率的穩(wěn)定值為概率,所以(1)錯誤;(2)兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生.(√)提示:由兩個事件的和事件的定義可知,(2)正確;(3)從-3,-2,-1,0,1,2中任取一個數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(√)提示:因為從-3,-2,-1,0,1,2中任取一個數(shù),不是小于0,就是不小于0,各有12(4)若A∪B是必然事件,則A與B是對立事件.(×)提示:因為只有A∪B是必然事件,且A∩B=?時,A與B是對立事件,所以(4)錯誤.2.(必修第二冊P235練習1改編)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A.至少有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶【解析】選B.射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”,與該事件不能同時發(fā)生的是“兩次都中靶”.3.(必修第二冊P246習題9改編)從某班學生中任意找出一人,如果該同學的身高小于160cm的概率為0.2,該同學的身高在[160,175](單位:cm)的概率為0.5,那么該同學的身高超過175cm的概率為()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【解析】選B.由題意知該同學的身高小于160cm的概率、該同學的身高在[160,175](單位:cm)的概率和該同學的身高超過175cm的概率和為1,故所求概率為1-0.2-0.5=0.3.4.(樣本點理解錯誤)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個,現(xiàn)在有放回地隨機摸3次,每次摸取一個,觀察摸出球的顏色,則此隨機試驗的樣本點個數(shù)為()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選D.因為是有放回地隨機摸3次,所以隨機試驗的樣本空間為Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,黑),(紅,黑,紅),(紅,黑,黑),(黑,紅,紅),(黑,紅,黑),(黑,黑,紅),(黑,黑,黑)},共8個.5.(2023·全國甲卷)某校文藝部有4名學生,其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演,則這2名學生來自不同年級的概率為()A.16 B.13 C.12 【解析】選D.依題意,從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演,總的基本事件有C42=6件,其中這2名學生來自不同年級的基本事件有所以這2名學生來自不同年級的概率為46=2【核心考點·分類突破】考點一隨機事件的頻率與概率[例1](1)(多選題)一部機器有甲、乙、丙三個易損零件,在一個生產(chǎn)周期內(nèi),每個零件至多會出故障一次,工程師統(tǒng)計了近100個生產(chǎn)周期內(nèi)一部機器各類型故障發(fā)生的次數(shù)得到如圖所示的柱狀圖,由頻率估計概率,在一個生產(chǎn)周期內(nèi),下列說法正確的是()A.至少有一個零件發(fā)生故障的概率為0.8B.有兩個零件發(fā)生故障的概率比只有一個零件發(fā)生故障的概率更大C.乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更大D.已知甲零件發(fā)生了故障,此時丙零件發(fā)生故障的概率比乙零件發(fā)生故障的概率更大【解析】選AD.由題圖可知,在一個生產(chǎn)周期內(nèi)機器正常的概率為20100=0.2,則至少有一個零件發(fā)生故障的概率為0.有兩個零件發(fā)生故障的概率為10+15+5100=0.3,只有一個零件發(fā)生故障的概率為15+20+10100=0乙零件發(fā)生故障的概率為20+10+5+5100=0.4,甲零件發(fā)生故障的概率為15+10+15+5100=0由題圖可知,丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率更大,D正確.(2)我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米1534石,驗得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為()A.134石 B.169石C.338石 D.1365石【解析】選B.這批米內(nèi)夾谷約為28254×1534≈169(石)解題技法利用概率的統(tǒng)計定義求隨機事件的概率(1)利用頻率的計算公式計算出頻率;(2)根據(jù)概率的定義確定頻率的穩(wěn)定值即為概率.對點訓練1.某班要選一名學生做代表,每個學生當選的概率是相同的,若“選出代表是男生”的概率是“選出代表是女生”的概率的13,則這個班的女生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是【解析】設(shè)“選出代表是女生”的概率為a,則“選出代表是男生”的概率為13a,因為a+13a=1,所以a=3答案:75%2.通過手機驗證碼注冊某APP時,收到的驗證碼由四位數(shù)字隨機組成,如某人收到的驗證碼(a1a2a3a4)滿足a1<a2<a3<a4,則稱該驗證碼為遞增型驗證碼,某人收到一個驗證碼,則它是首位為2的遞增型驗證碼的概率為.

【解析】因為a1=2,2<a2<a3<a4,所以a2,a3,a4從3,4,5,6,7,8,9中選,選出3個數(shù),讓其按照從小到大的順序排列,有C710000(種),所以它是首位為2的遞增型驗證碼的概率為3510000答案:7【加練備選】1.假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每兩個隨機數(shù)為一組,代表兩次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估計,該運動員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為.

【解析】兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心表示隨機數(shù)中有且只有一個數(shù)為1,2,3,4之一.它們分別是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10個,因此所求的概率為1020=1答案:12.某籃球運動員在同一條件下進行投籃練習,結(jié)果如表:投籃次數(shù)8101520304050進球次數(shù)681217253239進球頻率(1)計算表中進球的頻率.【解析】(1)表中進球的頻率分別為:68=0.75,810=0.8,1215=0.8,1720=0.85,2530=56,3240=0(2)這位運動員投籃一次,進球的概率約是多少?【解析】(2)由于進球頻率都在0.8左右擺動,故這位運動員投籃一次,進球的概率約是0.8.(3)若這位運動員進球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投進8次嗎?【解析】(3)不一定,一名運動員投籃進球的概率是0.8,表示投籃成功的可能性,他在10次一組的投籃中,可能會投進8次.考點二互斥事件與對立事件[例2](1)(2024·長春模擬)連續(xù)拋擲一枚硬幣3次,觀察正面出現(xiàn)的情況,事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對立事件是()A.只有2次出現(xiàn)反面B.至少2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面D.有2次或3次出現(xiàn)反面【解析】選D.連續(xù)拋擲一枚硬幣3次,正面出現(xiàn)的次數(shù)有0,1,2,3,因此事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對立事件是“正面出現(xiàn)0次或1次”即“有2次或3次出現(xiàn)反面”.(2)在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗中,事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”,事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”,則在一次試驗中,事件A+B發(fā)生的概率為()A.13 B.12 C.23 【解析】選C.擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果,依題意知P(A)=26=13,P(B)=46所以P(B)=1-P(B)=1-23=1因為B表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件,所以事件A與B互斥,從而P(A+B)=P(A)+P(B)=13+13=解題技法1.求簡單的互斥事件、對立事件的概率的方法解此類問題,首先應(yīng)根據(jù)互斥事件和對立事件的定義分析出所給的兩個事件是互斥事件還是對立事件,再選擇相應(yīng)的概率公式進行計算.2.求復(fù)雜的互斥事件概率的兩種方法(1)直接求法:將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和,運用互斥事件概率的加法公式計算.(2)間接求法:先求此事件的對立事件的概率,再用公式求解,即運用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法會較簡便.對點訓練1.(多選題)下列說法中正確的有()A.若事件A與事件B是互斥事件,則P(AB)=0B.若事件A與事件B是對立事件,則P(A+B)=1C.某人打靶時連續(xù)射擊三次,則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機分給甲、乙、丙3人,每人分得1張,則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件【解析】選ABC.事件A與事件B互斥,則A,B不可能同時發(fā)生,所以P(AB)=0,故A正確;事件A與事件B是對立事件,則事件B即為事件A,所以P(A+B)=1,故B正確;事件“至少有兩次中靶”與“至多有一次中靶”不可能同時發(fā)生,且二者必有一個發(fā)生,所以為對立事件,故C正確;事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時發(fā)生,即丙分得的是紅牌,所以不是互斥事件,故D錯誤.2.一只袋子中裝有7個紅球,3個綠球,從中不放回地任意抽取兩次,每次只取一個,取得兩個紅球的概率為715,取得兩個綠球的概率為115,則取得兩個同顏色的球的概率為;至少取得一個紅球的概率為【解析】由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事件,取得兩個同色球,只需兩個互斥事件有一個發(fā)生即可,因而取得兩個同色球的概率為P=715+115=815.由于事件A“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件,則至少取得一個紅球的概率為P(A)=1-P(B)=1-1答案:815【加練備選】1.(多選題)對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)事件A={兩彈都擊中飛機},事件B={兩彈都沒擊中飛機},事件C={恰有一彈擊中飛機},事件D={至少有一彈擊中飛機},則下列關(guān)系正確的是()A.AD=? B.BD=?C.A+C=D D.A+B=B+D【解析】選BC.“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中且第二枚沒中或第一枚沒中且第二枚擊中,“至少有一彈擊中飛機”包含兩種情況,一種是恰有一彈擊中,另一種是兩彈都擊中,故AD≠?,BD=?,A+C=D,A+B≠B+D.2.某河流A與河流B是水庫C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水庫C就不缺水.根據(jù)經(jīng)驗知道河流A,B不缺水的概率分別是0.7和0.9,同時不缺水的概率是0.65.則水庫C不缺水的概率為.

【解析】記“河流A不缺水”為事件A,記“河流B不缺水”為事件B,記“水庫C不缺水”為事件C,則P(A)=0.7,P(B)=0.9,P(AB)=0.65,故P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.9-0.65=0.95.即水庫C不缺水的概率為0.95.答案:0.95考點三古典概型[例3](1)(2024·福州模擬)為培養(yǎng)學生“愛讀書、讀好書、普讀書”的良好習慣,某校創(chuàng)建了人文社科類、文學類、自然科學類三個讀書社團.甲、乙兩位同學各自參加其中一個社團,每位同學參加各個社團的可能性相同,則這兩位同學恰好參加同一個社團的概率為()A.13 B.12 C.23 【解析】選A.記人文社科類、文學類、自然科學類三個讀書社團分別為a,b,c,則甲、乙兩位同學各自參加其中一個社團的基本事件有a,a,a,b,a,c,b,a,b,而這兩位同學恰好參加同一個社團包含的基本事件有a,a,b,故這兩位同學恰好參加同一個社團的概率P=39=1(2)將5名支援某地區(qū)的醫(yī)生分配到A,B,C三所醫(yī)院,要求每所醫(yī)院至少安排1人,則其中甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的概率為()A.12 B.625 C.716 【解析】選B.由題意可知,分配情況分為兩類:3,1,1或2,2,1,其方法總數(shù)為C53A33+其中甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的方法有C22C31·A33+C解題技法1.古典概型的概率求解步驟(1)求出所有樣本點的個數(shù)n(樣本點個數(shù)的求解方法主要是利用排列組合知識,也可以利用列舉法或列表法等);(2)求出事件A包含的所有樣本點的個數(shù)k;(3)代入公式P(A)=kn求解2.涉及“至多”或“至少”以及正面較復(fù)雜而對立面較簡單的情況下可以利用對立事件的概率公式求解.對點訓練1.杭州亞運會的三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”.現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中.若從盒子中依次有