第五章　第三節(jié)　第2課時　簡單的三角恒等變換

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第2課時簡單的三角恒等變換【課標解讀】【課程標準】能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導二倍角的正弦、余弦、正切公式,并進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式,這三組公式不要求記憶).【核心素養(yǎng)】數(shù)學抽象、數(shù)學運算.【命題說明】考向考法高考命題常以角為載體,考查二倍角公式、升冪降冪公式、半角公式;三角函數(shù)求值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).預測高考可能單獨考查,也可能與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量等知識綜合考查,選擇題、填空題、解答題中均有可能出現(xiàn).【必備知識·逐點夯實】知識梳理·歸納1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.

(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tanα2.半角公式sinα2=±1cosα2=±1+costanα2=±1-cosα1+cos常用結(jié)論1.降冪公式:cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α22.升冪公式:1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,1±sin2α=(sinα±cosα)2.基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號12431.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)半角的正弦、余弦公式實質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來的.()(2)存在實數(shù)α,使tan2α=2tanα.()(3)cos2θ2=1-cosθ(4)tanα2=sinα1+cosα=1提示:由半角公式、二倍角公式可知,(1)正確;因為當α=0時,tan2α=2tanα=0,所以(2)正確;因為由二倍角公式可知:cosθ=2cos2θ2-1,所以cos2θ2=因為tanα2=sinα2cosα2=2sinα2cos答案:(1)√(2)√(3)×(4)√2.(必修第一冊P223練習5改條件)cos2π12-cos25π12=(A.12 B.33 C.22 【解析】選D.因為cos5π12=sin(π2-5π12)所以cos2π12-cos25π12=cos2π12=cos(2×π12)=cosπ6=3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α為銳角,cosα=1+54,則sinα2A.3-58 B.-1+58 C【解析】選D.cosα=1+54,則cosα=1-2sin2故2sin2α2=1-cosα=3-54,即sin2α2=3因為α為銳角,所以sinα2所以sinα2=-4.(忽視隱含條件)已知2sinα=1+cosα,則tanα2=(A.2 B.1C.2或不存在 D.12【解析】選D.當α=kπ+π(k∈Z)時,滿足2sinα=1+cosα,此時tanα2不存在;當α≠kπ+π(k∈Z)時,tanα2=sinα【核心考點·分類突破】考點一三角函數(shù)式的化簡[例1](1)函數(shù)f(x)=sin2x+3sinxcosx-12可以化簡為(A.f(x)=sin(2x-π3) B.f(x)=sin(2x-πC.f(x)=sin(2x+π3) D.f(x)=sin(2x+π【解析】選B.f(x)=sin2x+3sinxcosx-12=1-cos2x2+3=32sin2x-12cos2x=sin(2x-π(2)若α∈(0,π2),tan2α=cosα2-sinA.1515 B.55 C.53 【解析】選A.解法一:因為tan2α=sin2αcos2α=2sinαcos所以2sinαcosα1-2sin因為α∈(0,π2)所以cosα=154,tanα=sinαcos解法二:因為tan2α=2tanα1-tan2α=2sinαcos所以2sinαcosα1-2sin因為α∈(0,π2)所以cosα=154,tanα=sinαcos(3)已知sinα+cosα=233,則sin2(α-π4)【解析】因為sinα+cosα=23兩邊同時平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=43即sin2α=13由降冪公式可知sin2(α-π4)=1-cos(2α-π2)2=1答案:1解題技法三角函數(shù)式化簡的解題策略(1)從三角函數(shù)名、角以及冪的差異三方面入手進行適當變形,結(jié)合所給的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、異名化同名、異角化同角、降冪升冪.對點訓練1.化簡:2cos4x【解析】原式=1=(2cos=cos22x答案:12cos22.化簡:sin2αsin2β+cos2αcos2β-12cos2αcos2β=【解析】原式=1-cos2α2·1-cos2β2+1+cos2=1-1+cos2β+cos2α+cos2αcos2=12+12cos2αcos2β-12cos2αcos2β答案:1【加練備選】化簡:2sin(π-【解析】2sin=2sinα+2sin=4sinα.答案:4sinα考點二三角函數(shù)式的求值角度1給角求值[例2](1)sin18°cos36°=.

【解析】(1)原式=2sin18=2sin36°cos36°4cos18°(2)cos4π12-sin4π12=【解析】(2)原式=(cos2π12-sin2π12)(cos2π12+sin2π12)=cos2π12-sin2π(3)12sin10°-32cos10【解析】(3)原式=cos10=2(12cos10°-答案:(1)14(2)32解題技法給角求值問題的解題思路給角求值問題往往給出的角是非特殊角,求值時要注意:(1)觀察角:分析角之間的差異,巧用誘導公式或拆分;(2)觀察函數(shù)名:盡可能使函數(shù)名統(tǒng)一;(3)觀察結(jié)構(gòu):利用公式,整體化簡.角度2給值求值[例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,則cos(2α+2β)=(A.79 B.19 C.-19 D【解析】選B.因為sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=1(2)(一題多法)已知sin(α-π4)=35,π<α<5π4,則cos(2α-π4)【解析】因為sin(α-π4)=35,3π4<α所以cos(α-π4)=-4解法一:因為cosα=cos[(α-π4)+π=cos(α-π4)cosπ4-sin(α-π4=-45×22-35×2sinα=sin[(α-π4)+π=sin(α-π4)cosπ4+cos(α-π4=35×22-45×2所以cos(2α-π4)=cos[(α-π4)+=cos(α-π4)cosα-sin(α-π4)=-45×(-7210)-35×(-2解法二:cos(2α-π4)=cos2αcosπ4+sin2αsin=22(cos2α+sin2αcos2α=-sin(2α-π2)=-sin2(α-π=-2sin(α-π4)cos(α-π=-2×35×(-45)=sin2α=cos(2α-π2)=1-2sin2(α-π=1-2×925=7所以原式=22×(2425+725)答案:31解題技法給值求值問題的解題關(guān)鍵(1)解題關(guān)鍵:給值求值問題的解題關(guān)鍵在于“變角”,把所求角用含已知角的式子表示,求解時一定要注意角的范圍的討論.(2)注意下列變換:sin2x=cos(π2-2x)=-cos(π2+2xcos2x=sin(π2-2x)=sin(π2+2x提醒:以上變換,結(jié)合二倍角公式可將2x的三角函數(shù)與π4±x的三角函數(shù)聯(lián)系在一起角度3給值求角[例4](1)已知α為銳角,且sinα·(3-tan10°)=1,則α=.

【解析】由已知得sinα=13-tan10°=cos10°2sin50°=sin80°由于α為銳角,所以α=40°.答案:40°(2)已知sinα=210,cosβ=31010,且α,β為銳角,則α+2β【解析】因為sinα=210,且α所以cosα=1-sin2α因為cosβ=31010,且所以sinβ=1-cos2β那么sin2β=2sinβcosβ=2×1010×31010cos2β=1-2sin2β=1-2×(1010)2=4所以cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=7210×45-210×因為α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以2β∈所以α+2β∈(0,3π2),故α+2β=π4答案:π解題技法給值求角的原則(1)已知正切函數(shù)值:選正切函數(shù)求解.(2)已知正、余弦函數(shù)值:選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是(0,π2),選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍為(-π2,π2對點訓練1.(2023·濰坊模擬)已知α∈(0,π2),且3cos2α+sinα=1,則(A.sin(π-α)=2B.cos(π-α)=-2C.sin(π2+α)=-D.cos(π2+α)=-【解析】選A.因為3cos2α+sinα=1,α∈(0,π2)所以3(1-2sin2α)+sinα=1,即6sin2α-sinα-2=0,所以sinα=23或sinα=-1所以cosα=53,sin(π-α)=sinα=2cos(π-α)=-cosα=-53sin(π2+α)=cosα=5cos(π2+α)=-sinα=-2只有A項正確.2.在三角形中,底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形,它是兩底角為72°的等腰三角形.達·芬奇的名作《蒙娜麗莎》中,在整個畫面里形成了一個黃金三角形.如圖,在黃金△ABC中,BCAC=5-1A.25-14 B.5+14 C【解析】選B.由題設(shè),可得cos72°=1-2sin236°=5-14,又因為cos2所以cos236°=5+38,又cos36°∈(22,所以cos36°=cos(90°-54°)=sin54°=5+13.已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tanβ=-17,則2α-β的值為【解析】因為tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)所以0<α<π2又因為tan2α=2tanα1-tan所以0<2α<π2所以tan(2α-β)=tan2α-tanβ因為tanβ=-17所以π2<β<π,-π<2α-β<0所以2α-β=-3π4答案:-3π考點三三角恒等變換的應用教考銜接教材情境·研習·典題類[例5](必修第一冊P227·例10)如圖,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角∠POQ=π3,C是扇形弧上的動點,矩形ABCD內(nèi)接于扇形.記∠POC=α,求當角α取何值時,矩形ABCD的面積最大?并求出這個最大面積【解析】在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,DAOA=tanπ3=OA=33DA=33BC=33AB=OB-OA=cosα-33sin設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=AB·BC=(cosα-33sinα)sin=sinαcosα-33sin2α=12sin2α-36=12sin2α+36cos2α=13(32sin2α+12cos2=13sin(2α+π6)-由0<α<π3,得π6<2α+π6所以當2α+π6=π2,即α=S最大=13-36=36.因此,當α=π6時,矩形解題導思看問題三角恒等變換中的最值問題提信息半徑OP=1,圓心角∠POQ=π3,矩形ABCD內(nèi)接于扇形,∠POC=定思路借助角α并利用三角函數(shù),把矩形ABCD的長和寬表示出來,確定矩形ABCD面積的表達式,最后利用三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)確定最大面積高考鏈接(2024·保定模擬)已知扇形POQ的半徑為2,∠POQ=π3,如圖所示,在此扇形中截出一個內(nèi)接矩形ABCD(點B,C在弧PQ上),則矩形ABCD面積的最大值為【解析】作∠POQ的平分線OE,交AD于F,BC于E,連接OC,根據(jù)題意可知△AOD為等邊三角形,則E為BC的中點,F為AD的中點,設(shè)∠COE=α,α∈(0,π6CE=OCsinα=2sinα,則AD=BC=2CE=4sinα,則