湘教版初中數學八年級上冊 2.3 等腰三角形 同步分層訓練基礎卷（含答案解析）

湘教版初中數學八年級上冊2.3等腰三角形同步分層訓練基礎卷班級：姓名：同學們：練習開始了，希望你認真審題，細致做題，運用所學知識解決本練習。祝你收獲滿滿，學習進步，榜上有名！一、選擇題1．已知等腰三角形的一個內角為70°，則它的底角為（）A．70° B．55° C．55°或70° D．70°或40°2．如圖等邊△ABC邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上兩點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在A'處，A'在A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm3．已知等腰三角形ABC的一個角為80°，則該三角形的頂角為（）A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不對4．如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，BD=BC，若∠A=40°，則∠ABD的度數是（）A．20° B．30° C．35° D．40°5．如圖，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的動點，E是AC邊上的動點，則CF＋EF的最小值為（）．A．12013 B．10 C．12 6．如圖，A，B是池塘兩側端點，在池塘的一側選取一點O，測得OA的長為6米，OB的長為6米，∠O=60°，則A，B兩點之間的距離是（）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米7．如圖，等邊△ABC和等腰△ABD，AB=BD，點E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，若△ABD的面積為16，AD=4，點M是CE上的動點，則△AMF的周長的最小值為（）A．6 B．8 C．9 D．108．已知△ABC的周長為m，BC=m-2AB，則下列直線一定為△ABC的對稱軸的是（）A．△ABC的邊BC上的中線所在的直線B．∠ACB的平分線所在的直線C．△ABC的邊AB的垂直平分線D．△ABC的邊AC上的高所在的直線二、填空題9．若等腰三角形的一個內角為85°，則底角為.10．一張小凳子的結構如圖所示，AC=BC，∠1=100°，則∠2=°．11．已知等腰三角形的頂角和底角的度數分別為x，y，則y與x的函數關系是．12．如圖，等腰△ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為.已知等腰三角形的頂角是底角的4倍，則頂角的度數為.三、解答題14．如圖，點D、E在ΔABC的BC邊上，AD=AE，AB=AC，求證：BD=CE.15．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.求證：點D在∠BAC的角平分線上.四、綜合題16．如圖，已知點D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長線上的點，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC.（1）求證：△ABC是等腰三角形（2）作∠ACE的平分線交AF于點G，若∠B=4017．如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，連接DE，將△ADE沿DE翻折后，點A落在BC邊上的點P，當△BDP和△CEP均為等腰三角形時，我們把線段DE稱為△ABC的完美翻折線，P為完美點.（1）如圖1，等邊△ABC的邊長為4，邊BC的中點P是完美點，寫出完美翻折線DE的長.（2）如圖2，已知DE為△ABC的完美翻折線，P為完美點.當∠B，∠C都為等腰三角形頂角時，求此時∠A的度數.（3）已知在△ABC中，AB=6，AC=5，①在（2）的條件下，求BC的長.②如圖3，DE為△ABC的完美翻折線，P為完美點，當∠B，∠EPC為頂角時，求BPCP

1．【答案】C【解析】【解答】解：①當70°角為等腰三角形的底角時，底角為70°；②當70°角為等腰三角形的頂角時，底角=12故底角為55°或70°.故答案為：C.【分析】由于70°角是銳角，根據三角形的內角和定理及等腰三角形的性質，需要分兩類討論：①當70°角為等腰三角形的底角時，②當70°角為等腰三角形的頂角時.2．【答案】D【解析】【解答】解：∵等邊△ABC的邊長為1cm，∴AB=BC=CA=1cm，將△ABC沿直線DE折疊，點A落在A'處，所以AD=A'D則陰影部分圖形的周長為：BC+BD+CE+A故答案為：D.【分析】根據等邊三角形的性質得AB=BC=AC=1cm，根據折疊得AD=A'D，AE=A'E，進而根據周長的計算方法、等量代換及線段的和差即可求出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：①當80°的角是頂角，則兩個底角是50°、50°；②當80°的角是底角，則頂角＝180°-80°-80°＝20°.故答案為：C.【分析】由于80°的角是銳角，故可以做為底角，也可以作為頂角，從而根據等腰三角形的兩底角相等及三角形的內角和定理即可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，

∴∠C=∠ABC=（180°-40°）÷2=70°

∵BD=BC

∴∠BDC=∠C=70°

∴∠DBC=180°-70°×2=40°

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°

故答案為：B.

【分析】根據等腰三角形的性質和三角形的內角和為180°，分別求出∠ABC=70°，∠DBC=40°，最后再根據∠ABD=∠ABC-∠DBC，求出∠ABD即可.5．【答案】A【解析】解答：作E關于AD的對稱點M，連接CM交AD于F，連接EF，過C作CN⊥AB于N，∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝132∴S△ABC＝12×BC×AD＝1∴CN＝BC×ADAB＝＝12013∵E關于AD的對稱點M，∴EF＝FM，∴CF＋EF＝CF＋FM＝CM，根據垂線段最短得出：CM≥CN，即CF＋EF≥12013即CF＋EF的最小值是12013故答案為：A．分析：作E關于AD的對稱點M，連接CM交AD于F，連接EF，過C作CN⊥AB于N，根據三線合一定理求出BD的長和AD⊥BC，根據勾股定理求出AD，根據三角形面積公式求出CN，根據對稱性質求出CF＋EF＝CM，根據垂線段最短得出CF＋EF≥120136．【答案】B【解析】【解答】解：由題意得：OA=OB=6m，∵∠O=60°，∴△OAB是等邊三角形，∴AB=OB=6m；故答案為：B．

【分析】先證明△OAB是等邊三角形，再利用等邊三角形的性質可得AB=OB=6m。7．【答案】D【解析】【解答】解：連接BF交CE于點M，連接AM∵△ABC是等邊三角形，點E為邊AB的中點，∴A，B關于∴AM=BM，∴AF+AM+MF=AF+BM+MF≥AF+BF，即：當B，M，∵△ABD是等腰三角形，F(xiàn)為邊AD的中點，∴BF⊥AD，AF=1∴S△ABD∴BF=8，∴△AMF的周長的最小值為AF+BF=2+8=10；故答案為：D．

【分析】連接BF交CE于點M，連接AM，當B，M，F(xiàn)三點共線時，△AMF的周長最短，根據S△ABD=18．【答案】A【解析】【解答】∵m=AB+BC+AC，∴BC=m?2AB=AB+BC+AC?2AB，∴AB=AC，∴△ABC的邊BC上的中線所在的直線是△ABC的對稱軸；故答案為：A．

【分析】利用三角形的周長公式及線段的和差求出AB=AC，即可得到△ABC的邊BC上的中線所在的直線是△ABC的對稱軸。9．【答案】85°或47.5°【解析】【解答】解：由題意知，分兩種情況：①當這個85°的角為底角時，則另一底角也為85°；②當這個85°的角為頂角時，則底角=(180°?85°)÷2=47.5°.故答案為：85°或47.5°.【分析】由于85°的角是銳角，需要分類討論：①當這個85°的角為底角時，②當這個85°的角為頂角時，分別根據三角形內角和定理及等腰三角形的性質得出答案.10．【答案】50【解析】【解答】解：∵AC=BC，

∴∠CAB=∠2，

∴∠1=∠2+∠CAB=2∠2，

又∵∠1=100°，

∴∠2=50°.

故答案為：50.

【分析】根據等邊對等角得∠CAB=∠2，根據三角形外角性質得∠1=2∠2，進而代入∠1的度數即可求出∠2的度數.11．【答案】y=90?【解析】【解答】解：根據題意得：x+2y=180，

∴y=90?12x.

故答案為：y=90?12．【答案】10【解析】【解答】解：連接AM，如圖，∵等腰△ABC的底邊BC長為4，面積是16，點D為BC邊的中點，∴CD=1解得CD=2，∵點A與點C關于EF對稱，連接AD交EF于點H，連接CH，∴當點M與點H重合時，△CDM的周長取得最小值，且為CM+MD+CD=AM+MD+CD=AD+CD，∴△CDM周長的最小值為AD+CD=8+2=10，故答案為：10.【分析】連接AM，根據等腰三角形的三線合一得CD=113．【答案】120°【解析】【解答】解：設底角的度數為x，則頂角的度數為4x，根據題意得：x+x+4x=180解得：x=30.當x=30時，頂角=4x=4×30°=120°.故答案為120°.【分析】設底角的度數為x，則頂角的度數為4x，根據等腰三角形的性質以及內角和定理可得x+x+4x=180，求出x的度數，進而可得頂角的度數.14．【答案】證明：如圖，過點A作AP⊥BC于P，∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=PC；∵AD=AE，AP⊥BC，∴DP=PE，∴BP?DP=PC?PE，∴BD=CE.【解析】【分析】過點A作AP⊥BC于P，根據等腰三角形的三線合一得BP=PC，DP=PE，進而根據等量減去等量，差相等即可得出BD=CE.15．【答案】證明：如圖，連接AD.∵AB=AC，點D是BC邊上的中點，∴AD是等腰△ABC底邊BC上的中線，∴AD平分∠BAC.【解析】【分析】連接AD，根據等腰三角形的三線合一得AD平分∠BAC，從而即可得出結論.16．【答案】（1）證明：∵AF是∠DAC的角平分線∴∠DAF=∠CAF又∵AF//BC∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形（2）解：∵CG是∠ACE的角平分線∴∠ACG=∠ECG又∵∠B=40∴∠ACB=4∴∠ACG=∠ECG=1又∵∠CAG=∠ACB∴∠AGC=18【解析】【分析】（1）根據角平分線的概念可得∠DAF=∠CAF，由平行線的性質可得∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，則∠ABC=∠ACB，推出AB=AC，據此證明；

（2）根據角平分線的概念可得∠ACG=∠ECG，由（1）可得∠ACB=∠B=40°，結合鄰補角的性質可得∠ACG=∠ECG=70°，然后根據內角和定理進行計算.17．【答案】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=4，∵P為△ABC的完美點，∴△ADE≌△PDE，△BDP和△PEC是等腰三角形，∵∠B=∠C=60°∴△BDP和△PEC是等邊三角形，∴BD=DP，PE=CE，又∵AD=DP，AE=PE，∴AD=BD=12AB∵AB=4，∴AD=AE=2，∴△ADE是等邊三角形，∴DE=2.（2）解：連接AP，設∠DAP=α，∠EAP=β，∵DE為△ABC的完美翻折線，∴△ADE≌△PDE，∴AD=DP，AE=PE，∴∠DPA=∠DAP=α，∠EPA=∠EAP=β，∴∠BDP=2α，∠PEC=2β，∵△BDP和△PEC是等腰三角形，且∠B，∠C都為頂角∴BD=BP，CP=CE，∴∠BPD=∠BDP=2α，∠CPE=∠PEC=2β，∵∠BPD+∠DPE+∠CPE=180°，∴3α+3β=180°，∴α+β=60°，即∠BAC=60°.（3）解：①過B作BM⊥AC于點M，由（2）得，∠A=60°，∵∠AMB=90°，∴∠ABM=30°，∴AM=12AB=3∵AC=5，∴CM=2，由勾股定理得：BC2∴BC=31②連接AP，過P作PH⊥AB于點H，PN⊥AC于點N，∵DE為△ABC的完美翻折線，∴△ADE≌△PDE，△BDP和△PEC是等腰三角形，設∠DAP=α，∠EAP=β，∴∠DPA=∠DAP=α，∠EPA=∠EAP=β，∴∠BDP=2α，∠PEC=2β，∵∠B，∠EPC為頂角，∴BD=BP，PE=PC，∴∠BPD=∠BDP=2α，∠PEC=∠PCE=2β，∴∠EPC=180°?4β，∵∠BPD+∠DPE+∠EPC=180°，∴2α+α+β+180°?4β=180°，∴α=β，AP為∠BAC的平分線，∴PH=PN，又S△ABP=1∴S△ABP【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質可得∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=4，根據P為△ABC的完美點可得△ADE≌△PDE，進而推出△BDP和△PE