湘教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊 2.3 等腰三角形 同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷（含答案解析）

湘教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊2.3等腰三角形同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷班級：姓名：同學(xué)們：練習(xí)開始了，希望你認(rèn)真審題，細(xì)致做題，運(yùn)用所學(xué)知識解決本練習(xí)。祝你收獲滿滿，學(xué)習(xí)進(jìn)步，榜上有名！一、選擇題1．已知等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，則它的底角為（）A．70° B．55° C．55°或70° D．70°或40°2．如圖等邊△ABC邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上兩點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在A'處，A'在A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm3．已知等腰三角形ABC的一個角為80°，則該三角形的頂角為（）A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不對4．如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，BD=BC，若∠A=40°，則∠ABD的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．35° D．40°5．如圖，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的動點(diǎn)，E是AC邊上的動點(diǎn)，則CF＋EF的最小值為（）．A．12013 B．10 C．12 6．如圖，A，B是池塘兩側(cè)端點(diǎn)，在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測得OA的長為6米，OB的長為6米，∠O=60°，則A，B兩點(diǎn)之間的距離是（）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米7．如圖，等邊△ABC和等腰△ABD，AB=BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，若△ABD的面積為16，AD=4，點(diǎn)M是CE上的動點(diǎn)，則△AMF的周長的最小值為（）A．6 B．8 C．9 D．108．已知△ABC的周長為m，BC=m-2AB，則下列直線一定為△ABC的對稱軸的是（）A．△ABC的邊BC上的中線所在的直線B．∠ACB的平分線所在的直線C．△ABC的邊AB的垂直平分線D．△ABC的邊AC上的高所在的直線二、填空題9．若等腰三角形的一個內(nèi)角為85°，則底角為.10．一張小凳子的結(jié)構(gòu)如圖所示，AC=BC，∠1=100°，則∠2=°．11．已知等腰三角形的頂角和底角的度數(shù)分別為x，y，則y與x的函數(shù)關(guān)系是．12．如圖，等腰△ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動點(diǎn)，則△CDM周長的最小值為.已知等腰三角形的頂角是底角的4倍，則頂角的度數(shù)為.三、解答題14．如圖，點(diǎn)D、E在ΔABC的BC邊上，AD=AE，AB=AC，求證：BD=CE.15．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：點(diǎn)D在∠BAC的角平分線上.四、綜合題16．如圖，已知點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長線上的點(diǎn)，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC.（1）求證：△ABC是等腰三角形（2）作∠ACE的平分線交AF于點(diǎn)G，若∠B=4017．如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連接DE，將△ADE沿DE翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)P，當(dāng)△BDP和△CEP均為等腰三角形時，我們把線段DE稱為△ABC的完美翻折線，P為完美點(diǎn).（1）如圖1，等邊△ABC的邊長為4，邊BC的中點(diǎn)P是完美點(diǎn)，寫出完美翻折線DE的長.（2）如圖2，已知DE為△ABC的完美翻折線，P為完美點(diǎn).當(dāng)∠B，∠C都為等腰三角形頂角時，求此時∠A的度數(shù).（3）已知在△ABC中，AB=6，AC=5，①在（2）的條件下，求BC的長.②如圖3，DE為△ABC的完美翻折線，P為完美點(diǎn)，當(dāng)∠B，∠EPC為頂角時，求BPCP

1．【答案】C【解析】【解答】解：①當(dāng)70°角為等腰三角形的底角時，底角為70°；②當(dāng)70°角為等腰三角形的頂角時，底角=12故底角為55°或70°.故答案為：C.【分析】由于70°角是銳角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)，需要分兩類討論：①當(dāng)70°角為等腰三角形的底角時，②當(dāng)70°角為等腰三角形的頂角時.2．【答案】D【解析】【解答】解：∵等邊△ABC的邊長為1cm，∴AB=BC=CA=1cm，將△ABC沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在A'處，所以AD=A'D則陰影部分圖形的周長為：BC+BD+CE+A故答案為：D.【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=BC=AC=1cm，根據(jù)折疊得AD=A'D，AE=A'E，進(jìn)而根據(jù)周長的計算方法、等量代換及線段的和差即可求出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：①當(dāng)80°的角是頂角，則兩個底角是50°、50°；②當(dāng)80°的角是底角，則頂角＝180°-80°-80°＝20°.故答案為：C.【分析】由于80°的角是銳角，故可以做為底角，也可以作為頂角，從而根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，

∴∠C=∠ABC=（180°-40°）÷2=70°

∵BD=BC

∴∠BDC=∠C=70°

∴∠DBC=180°-70°×2=40°

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°

故答案為：B.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和為180°，分別求出∠ABC=70°，∠DBC=40°，最后再根據(jù)∠ABD=∠ABC-∠DBC，求出∠ABD即可.5．【答案】A【解析】解答：作E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M，連接CM交AD于F，連接EF，過C作CN⊥AB于N，∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝132∴S△ABC＝12×BC×AD＝1∴CN＝BC×ADAB＝＝12013∵E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M，∴EF＝FM，∴CF＋EF＝CF＋FM＝CM，根據(jù)垂線段最短得出：CM≥CN，即CF＋EF≥12013即CF＋EF的最小值是12013故答案為：A．分析：作E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M，連接CM交AD于F，連接EF，過C作CN⊥AB于N，根據(jù)三線合一定理求出BD的長和AD⊥BC，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)三角形面積公式求出CN，根據(jù)對稱性質(zhì)求出CF＋EF＝CM，根據(jù)垂線段最短得出CF＋EF≥120136．【答案】B【解析】【解答】解：由題意得：OA=OB=6m，∵∠O=60°，∴△OAB是等邊三角形，∴AB=OB=6m；故答案為：B．

【分析】先證明△OAB是等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得AB=OB=6m。7．【答案】D【解析】【解答】解：連接BF交CE于點(diǎn)M，連接AM∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，∴A，B關(guān)于∴AM=BM，∴AF+AM+MF=AF+BM+MF≥AF+BF，即：當(dāng)B，M，∵△ABD是等腰三角形，F(xiàn)為邊AD的中點(diǎn)，∴BF⊥AD，AF=1∴S△ABD∴BF=8，∴△AMF的周長的最小值為AF+BF=2+8=10；故答案為：D．

【分析】連接BF交CE于點(diǎn)M，連接AM，當(dāng)B，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，△AMF的周長最短，根據(jù)S△ABD=18．【答案】A【解析】【解答】∵m=AB+BC+AC，∴BC=m?2AB=AB+BC+AC?2AB，∴AB=AC，∴△ABC的邊BC上的中線所在的直線是△ABC的對稱軸；故答案為：A．

【分析】利用三角形的周長公式及線段的和差求出AB=AC，即可得到△ABC的邊BC上的中線所在的直線是△ABC的對稱軸。9．【答案】85°或47.5°【解析】【解答】解：由題意知，分兩種情況：①當(dāng)這個85°的角為底角時，則另一底角也為85°；②當(dāng)這個85°的角為頂角時，則底角=(180°?85°)÷2=47.5°.故答案為：85°或47.5°.【分析】由于85°的角是銳角，需要分類討論：①當(dāng)這個85°的角為底角時，②當(dāng)這個85°的角為頂角時，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)得出答案.10．【答案】50【解析】【解答】解：∵AC=BC，

∴∠CAB=∠2，

∴∠1=∠2+∠CAB=2∠2，

又∵∠1=100°，

∴∠2=50°.

故答案為：50.

【分析】根據(jù)等邊對等角得∠CAB=∠2，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1=2∠2，進(jìn)而代入∠1的度數(shù)即可求出∠2的度數(shù).11．【答案】y=90?【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：x+2y=180，

∴y=90?12x.

故答案為：y=90?12．【答案】10【解析】【解答】解：連接AM，如圖，∵等腰△ABC的底邊BC長為4，面積是16，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∴CD=1解得CD=2，∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于EF對稱，連接AD交EF于點(diǎn)H，連接CH，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合時，△CDM的周長取得最小值，且為CM+MD+CD=AM+MD+CD=AD+CD，∴△CDM周長的最小值為AD+CD=8+2=10，故答案為：10.【分析】連接AM，根據(jù)等腰三角形的三線合一得CD=113．【答案】120°【解析】【解答】解：設(shè)底角的度數(shù)為x，則頂角的度數(shù)為4x，根據(jù)題意得：x+x+4x=180解得：x=30.當(dāng)x=30時，頂角=4x=4×30°=120°.故答案為120°.【分析】設(shè)底角的度數(shù)為x，則頂角的度數(shù)為4x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得x+x+4x=180，求出x的度數(shù)，進(jìn)而可得頂角的度數(shù).14．【答案】證明：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥BC于P，∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=PC；∵AD=AE，AP⊥BC，∴DP=PE，∴BP?DP=PC?PE，∴BD=CE.【解析】【分析】過點(diǎn)A作AP⊥BC于P，根據(jù)等腰三角形的三線合一得BP=PC，DP=PE，進(jìn)而根據(jù)等量減去等量，差相等即可得出BD=CE.15．【答案】證明：如圖，連接AD.∵AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，∴AD是等腰△ABC底邊BC上的中線，∴AD平分∠BAC.【解析】【分析】連接AD，根據(jù)等腰三角形的三線合一得AD平分∠BAC，從而即可得出結(jié)論.16．【答案】（1）證明：∵AF是∠DAC的角平分線∴∠DAF=∠CAF又∵AF//BC∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形（2）解：∵CG是∠ACE的角平分線∴∠ACG=∠ECG又∵∠B=40∴∠ACB=4∴∠ACG=∠ECG=1又∵∠CAG=∠ACB∴∠AGC=18【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的概念可得∠DAF=∠CAF，由平行線的性質(zhì)可得∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，則∠ABC=∠ACB，推出AB=AC，據(jù)此證明；

（2）根據(jù)角平分線的概念可得∠ACG=∠ECG，由（1）可得∠ACB=∠B=40°，結(jié)合鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠ACG=∠ECG=70°，然后根據(jù)內(nèi)角和定理進(jìn)行計算.17．【答案】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=4，∵P為△ABC的完美點(diǎn)，∴△ADE≌△PDE，△BDP和△PEC是等腰三角形，∵∠B=∠C=60°∴△BDP和△PEC是等邊三角形，∴BD=DP，PE=CE，又∵AD=DP，AE=PE，∴AD=BD=12AB∵AB=4，∴AD=AE=2，∴△ADE是等邊三角形，∴DE=2.（2）解：連接AP，設(shè)∠DAP=α，∠EAP=β，∵DE為△ABC的完美翻折線，∴△ADE≌△PDE，∴AD=DP，AE=PE，∴∠DPA=∠DAP=α，∠EPA=∠EAP=β，∴∠BDP=2α，∠PEC=2β，∵△BDP和△PEC是等腰三角形，且∠B，∠C都為頂角∴BD=BP，CP=CE，∴∠BPD=∠BDP=2α，∠CPE=∠PEC=2β，∵∠BPD+∠DPE+∠CPE=180°，∴3α+3β=180°，∴α+β=60°，即∠BAC=60°.（3）解：①過B作BM⊥AC于點(diǎn)M，由（2）得，∠A=60°，∵∠AMB=90°，∴∠ABM=30°，∴AM=12AB=3∵AC=5，∴CM=2，由勾股定理得：BC2∴BC=31②連接AP，過P作PH⊥AB于點(diǎn)H，PN⊥AC于點(diǎn)N，∵DE為△ABC的完美翻折線，∴△ADE≌△PDE，△BDP和△PEC是等腰三角形，設(shè)∠DAP=α，∠EAP=β，∴∠DPA=∠DAP=α，∠EPA=∠EAP=β，∴∠BDP=2α，∠PEC=2β，∵∠B，∠EPC為頂角，∴BD=BP，PE=PC，∴∠BPD=∠BDP=2α，∠PEC=∠PCE=2β，∴∠EPC=180°?4β，∵∠BPD+∠DPE+∠EPC=180°，∴2α+α+β+180°?4β=180°，∴α=β，AP為∠BAC的平分線，∴PH=PN，又S△ABP=1∴S△ABP【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=4，根據(jù)P為△ABC的完美點(diǎn)可得△ADE≌△PDE，進(jìn)而推出△BDP和△PE