蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列9.8整式乘法與因式分解全章八類必考?jí)狠S題同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題9.8整式乘法與因式分解全章八類必考?jí)狠S題【蘇科版】1．已知4x=a,2y=b,8z=ab，那么A．2x+y=z B．xy=3z C．2x+y=3z D．2xy=z2．已知100a=20，1000b=50，則A．0 B．52 C．3 D．3．若x，y均為實(shí)數(shù)，43x=2021,474．我們知道下面的結(jié)論，若am=an(a>0，且a≠1)，則m=n，利用這個(gè)結(jié)論解決下列問題：設(shè)2m=3，2n=6，2p=24，現(xiàn)給出m，5．比較下列各題中冪的大?。海?）已知a=81（2）比較255（3）已知P=99（4）(?2)234_______56．由冪的運(yùn)算法則逆向思維可以得到am+n=am?(1)計(jì)算：52020(2)若3×9m×(3)比較大?。篴=255，b=344，c=533，d=622，請(qǐng)確定7．閱讀以下材料：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Napier，1550年-1617年），納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)概念建立之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707年-1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax=N(a＞0,a≠1)，則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN．比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為4=log216，對(duì)數(shù)式2=log525可以轉(zhuǎn)化為52=25．我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：log（1）將指數(shù)53=125（2）仿照上面的材料，試證明：log（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算log321．關(guān)于x的三次三項(xiàng)式A=5x3?6x2+10=a(x?1)3+b(x?1)2+c(x?1)+d（其中a，b，①當(dāng)A+B為關(guān)于x的三次三項(xiàng)式時(shí)，則f=?10；②當(dāng)多項(xiàng)式A與B的乘積中不含x?項(xiàng)時(shí)，則e=6；③a+b+c=9；A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．已知x23．若x2+px?13x(1)求p、q的值；(2)求代數(shù)式?2p4．（1）試說明代數(shù)式(s?2t)(s+2t+1)+4tt+12的值與s（2）已知多項(xiàng)式ax?b與2x2?x+2的乘積展開式中不含x的一次項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為?4（3）已知二次三項(xiàng)式2x2+3x?k有一個(gè)因式是(2x?5)5．給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)a，b，c叫做關(guān)于x的二次多項(xiàng)式ax2+bx+c(1)關(guān)于x的二次多項(xiàng)式3x(2)有序?qū)崝?shù)對(duì)2，a，1的附屬多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對(duì)1．若一個(gè)只含a字母的多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，用該多項(xiàng)式去乘(a+1)，若該多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，則用該多項(xiàng)式去乘(a?1)，稱這為第一次操作；若第一次操作后所得多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，用該多項(xiàng)式去乘(a+1)，若該多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，則用該多項(xiàng)式去乘(a?1)稱這為第二此操作，以此類推．①將多項(xiàng)式(a②將多項(xiàng)式(a③將多項(xiàng)式(a2+2a+1)④將多項(xiàng)式(a?1)以上述方式進(jìn)行n次操作后所得多項(xiàng)式為(a?1)(a+1)四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的有（

）A．0 B．1 C．2 D．32．我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項(xiàng)式的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”，請(qǐng)你利用楊輝三角，計(jì)算(a+b)6(a+b)0=

(a+b)1=

a+b································1(a+b)2=

a2+2ab+b(a+b)3=

a3+3a2b+3a(a+b)4=

a4+4a3b+6a23．觀察下列各式及其展開式：a+b2(a+b)3a+b4a+b5??請(qǐng)你猜想(2x?1)8的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是（A．224 B．180 C．112 D．484．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在歐洲，這個(gè)表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝遲393年，比賈憲遲600年．楊輝三角是我國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，他把二項(xiàng)式乘方展開式系數(shù)圖形化，如下圖所示：a+ba+ba+ba+b…完成下列任務(wù)：(1)寫出a+b5(2)計(jì)算：755．觀察下列各式：x?1x?1x?1(1)根據(jù)以上規(guī)律，則x?1x(2)你能否由此歸納出一般規(guī)律x?1x(3)根據(jù)以上規(guī)律求320226．（1）計(jì)算并觀察下列各式：第1個(gè)：a?ba+b=第2個(gè)：a?ba2第3個(gè)：a?ba3……這些等式反映出多項(xiàng)式乘法的某種運(yùn)算規(guī)律．（2）猜想：若n為大于1的正整數(shù)，則a?ban?1（3）利用（2）的猜想計(jì)算：2n?1+（4）拓廣與應(yīng)用：3n?1+1．已知：x+y2=12，x?y22．已知1b?1a=3．已知a，b，c滿足：a2+2b=7，4．已知a?b=4時(shí)，多項(xiàng)式ab+c2的值為?4，則abaA．?1 B．?12 C．?5．已知有理數(shù)a，b，c滿足a?b+c?3=0，a2+b2+A．?2019 B．?2020 C．?2021 D．?20226．已知a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，那么a2A．1 B．3 C．6 D．10107．已知：x+y=5，求：①x2②x48．閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)．完全平方公式的變形及其應(yīng)用我們知道，完全平方公式有：a+b2=a在解題過程中，根據(jù)題意，若將公式進(jìn)行變形，則可以達(dá)到快速求解的目的，其變形主要有下列幾種情形：①a2+b2=④ab=1根據(jù)上述公式的變形，可以迅速地解決相關(guān)問題．例如：已知x+y=3，x?y=1，求x2解：x2任務(wù)：(1)已知x+y=5，x?y=3，則xy=______．(2)已知x+y=7，x2+y1．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個(gè)如圖2所示的正方形．(1)請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：_________；方法2：__________．(2)請(qǐng)你直接寫出三個(gè)代數(shù)式：a+b2，a2+(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知m+n=5，m2+n2=20②已知x?20212+x?20232．兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為S1；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長為b的小正方形（如圖②），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為S（1）用含a、b的代數(shù)式分別表示S1、S（2）若a?b=8，ab=13，求S1（3）用a、b的代數(shù)式表示S3；并當(dāng)S1+3．閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學(xué)公式是__________．（2）如圖③，請(qǐng)寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關(guān)系是__________（3）利用（2）的結(jié)論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根據(jù)圖④，寫出一個(gè)等式：__________．（5）小明同學(xué)用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個(gè)面積為（3a＋b）（a＋3b）長方形，請(qǐng)畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．類似地，利用立體圖形中體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個(gè)等式：___________．4．（1）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如：從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形如圖1，然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形如圖2．圖1中陰影部分面積為__________，圖2中陰影部分面積為__________，請(qǐng)寫出這個(gè)乘法公式__________．（2）【知識(shí)應(yīng)用】應(yīng)用（1）中的公式，完成下面任務(wù)：若m是不為0的有理數(shù)，已知P=m2+2m+1m2?2m+1，（3）【知識(shí)遷移】事實(shí)上，通過計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖3表示的是一個(gè)邊長為x的正方體挖去一個(gè)小長方體后重新拼成一個(gè)新長方體，請(qǐng)你根據(jù)圖3中圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：____________________．5．若x滿足(7?x)(x?4)=2，求(x?7)2解：設(shè)7?x=a,?x?4=b所以(x?7)請(qǐng)仿照上面的方法求解下面的問題（1）若x滿足(8?x)(x?3)=3，求(8?x)2（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD，DC上的點(diǎn)，且AE=2，CF=5，長方形EMFD的面積是28，分別以MF、DF為邊作正方形，求陰影部分的面積．6．對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到(a+b)2（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（2）根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則，通過計(jì)算驗(yàn)證上述等式；（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c=10,ab+ac+bc=35，則a2（4）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形z張邊長分別為a,b的長方形紙片拼出一個(gè)面積為(5a+7b)(9a+4b)長方形，則x+y+z=7．問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．小明在解決該問題時(shí)，采用了以下解法：解：設(shè)（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，則ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．(1)請(qǐng)補(bǔ)全小明的解法；(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，則（30﹣x）2+（x﹣20）2的值為．類比研究(3)若x滿足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．拓伸延伸(4)如圖，正方形ABCD的邊長為x，AE＝1，CG＝3，長方形EFGD的面積是10，分別以DE、DG為邊長作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積為（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．必考點(diǎn)6必考點(diǎn)6利用因式分解探究三角形形狀1．（2022秋·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省隆昌市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若a、b、c是△ABC的三邊，且滿足b2+bc?ba?ca=0，a2+ab?cb?ac=0A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形2．（2018秋·江西·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）先閱讀下面的材料，再解決問題：要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，并提出a；把它的后兩項(xiàng)分成一組，并提出b，從而得到am+n+bm+n.這時(shí)，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，從而得到在三角形中，若任意兩條邊的差均為0，則這個(gè)三角形是等邊三角形；若只有兩條邊的差為0，則這個(gè)三角形是等腰三角形；若有兩條邊的平方和與第三邊的平方的差為0，則這個(gè)三角形是直角三角形。請(qǐng)用上面材料中提供的方法解決問題：（1）將多項(xiàng)式ab?ac+b（2）若ΔABC的三邊a、b、c滿足條件：a4?b3．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）若a、b、c是三角形的三條邊，求證：a2（2）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿足a+b+c=322，a（3）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿足a2b?c+4．（2022秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）求解下列問題：(1)若x2+2y(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b5．（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤簟鰽BC的三邊長分別為a，b，c，且滿足等式3a6．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，要將多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，提出公因式a，再把它的后兩項(xiàng)分成一組，提出公因式b，從而得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，這時(shí)am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出(1)嘗試填空：ac?bc+ab?a(2)解決問題：因式分解2x?18+xy?9y；(3)拓展應(yīng)用：已知三角形的三邊長分別是a，b，c，且滿足a27．（2022春·山東青島·八年級(jí)校考期中）數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．(1)探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式____________________．(2)探究二：類似地，我們可以借助一個(gè)棱長為a的大正方體進(jìn)行以下探索：在大正方體一角截去一個(gè)棱長為b(b<a)的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；(3)將圖3中的幾何體分割成三個(gè)長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵BC=a，AB=a?b，CF=b，∴長方體①的體積為ab(a?b)．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結(jié)果不需要化簡(jiǎn)）(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為______________．(5)問題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問題：已知a-b=6，ab=2，求a3(6)類比以上探究，嘗試因式分解：a3+b8．（2020秋·湖南衡陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：若m2∵根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知一個(gè)不等邊三角形的三邊長分別為a、b、c，且a、b、c都是正整數(shù)，并滿足a2（2）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足a2+c（3）試探究關(guān)于x、y的代數(shù)式5x9．（2021春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B（0，b），已知a，b滿足a2+b2+8a+8b+32=0．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE，且AF=AE，連接BF交x軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2，c），求c的值及OE的長；（3）在（2）的條件下，如圖2，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BC//x軸交EG的延長線于點(diǎn)C，連接OC、AC，試判斷△AOC的形狀，并說明理由．必考點(diǎn)7必考點(diǎn)7利用拆項(xiàng)或添項(xiàng)進(jìn)行因式分解1．閱讀材料：我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2?2ab+b2叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：x2+2x?3=x2+2x+1?4=(x+1)根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：a2(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2?4a+b(3)當(dāng)x、y為何值時(shí)，多項(xiàng)式?x2．閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項(xiàng)法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運(yùn)用多種方法才能解決問題．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6第1步：拆項(xiàng)法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過添括號(hào)進(jìn)行分組；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結(jié)果分解徹底．（1）請(qǐng)你試一試分解因式x3﹣7x+6．（2）請(qǐng)你試一試在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4﹣5x2+6．3．我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：x2②拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項(xiàng)法．例如：x③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)；4．觀察得出原二次三項(xiàng)式的兩個(gè)因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．觀察得出：兩個(gè)因式分別為(x+7)與(x?1)例如：x分析：解：原式=(x+7)(x?1)（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4②（拆項(xiàng)法）x③x2已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b4．閱讀下列分解因式的過程：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)(x+3a)(x-a)．像上面這樣通過加減項(xiàng)配出完全平方式后再把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做配方法，請(qǐng)你用配方法將下面的多項(xiàng)式因式分解：（1）m2-4mn+3n2；（2）x2-4x-12．5．閱讀以下文字并解決問題：對(duì)于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項(xiàng)式，我們可以直接用公式法把它分解成x+a2的形式，但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+6x?27，就不能直接用公式法分解了。此時(shí)，我們可以在x2+6x?27（1）利用“配方法”因式分解：x2（2）若a+b=6，ab=5，求：①a2+b（3）如果a2+2b6．閱讀理解：添項(xiàng)法是代數(shù)變形中非常重要的一種方法，在整式運(yùn)算和因式分解中使用添項(xiàng)法往往會(huì)起到意想不到的作用，例如：例1：計(jì)算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332……＝3例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝(x2+1)2﹣x2＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)根據(jù)材料解決下列問題：(1)計(jì)算：(1+1(2)小明在作業(yè)中遇到了這樣一個(gè)問題，計(jì)算(14+4)(54①分解因式：x4+4；②計(jì)算：(1①最小的“可拆分”整數(shù)是5；②一個(gè)“可拆分”整數(shù)的拆分方式可以不只有一種；③最大的“不可拆分”的兩位整數(shù)是96．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．已知m，n均為正整數(shù)且滿足mn?3m?2n?24=0，則m＋n的最大值是（A．16 B．22 C．34 D．365．若一個(gè)正整數(shù)m是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)或連續(xù)偶數(shù)的乘積，即m=nn+2，其中n為正整數(shù)，則稱m為“半平分?jǐn)?shù)”，n為m的“半平分點(diǎn)”．例如，35=5×7(1)k是80的“半平分點(diǎn)”，則k=______；a的“半平分?jǐn)?shù)”“半平分點(diǎn)”為1，則a=______；當(dāng)kx+a為正整數(shù)時(shí)，整數(shù)x=(2)把“半平分?jǐn)?shù)”x與“半平分?jǐn)?shù)”y的差記為Ex,y，其中x>y，Ex,y>0，例如，24=4×6，15=3×5，則E24,15=24?15=9．若“半平分?jǐn)?shù)”x的“半平分?jǐn)?shù)”為s，“半平分?jǐn)?shù)”y的“半平分點(diǎn)”為t6．閱讀理解應(yīng)用:要想比較a和b的大小關(guān)系，可以進(jìn)行作差法，結(jié)果如下:若a?b>u，則a>b;若a?b<0，則a<b;若a?b=0，則a=b.(1)比較2a2與(2)比較a2+b(3)直接利用(2)的結(jié)論解決:求a2(4)已知如圖，直線a⊥b于O，在a,b上各有兩點(diǎn)B,D和A,C,AO=4,BO=9,CO=x2,DO=y2專題9.8整式乘法與因式分解全章八類必考?jí)狠S題【蘇科版】1．已知4x=a,2y=b,8z=ab，那么A．2x+y=z B．xy=3z C．2x+y=3z D．2xy=z【分析】根據(jù)題意得出22x=a,2【詳解】解：∵4∴22x∴2∴3z=2x+y，故選：C．2．已知100a=20，1000b=50，則A．0 B．52 C．3 D．【分析】利用同底數(shù)冪乘法、冪的乘方等法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【詳解】解：∵100a=20，∴(10∴102a∴102a∴2a+3b=3，∴a+3∴a+3故選：A．3．若x，y均為實(shí)數(shù)，43x=2021,47【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方法則得出43xy?47xy【詳解】解：∵43x∴43xy又∵43xy∴2021∴xy=x+y，∴x+y4．我們知道下面的結(jié)論，若am=an(a>0，且a≠1)，則m=n，利用這個(gè)結(jié)論解決下列問題：設(shè)2m=3，2n=6，2p=24，現(xiàn)給出m，【分析】由2n=6=2×3=2×2m=2m+1，得出n=m+1，由2p=24=23【詳解】解：∵2∴n=m+1，∵2∴p=m+3，∴p=n+2，∴m+p=m+n+2=n+n+1=2n+1，∴①符合題意；∵p+n=m+3+m+1=2m+4，∴②符合題意；∵m∴③不符合題意，故答案為：①②．5．比較下列各題中冪的大?。海?）已知a=81（2）比較255（3）已知P=99（4）(?2)234_______5【分析】（1）根據(jù)冪的乘方公式，化為底數(shù)是3的形式進(jìn)行比較；（2）根據(jù)冪的乘方公式，化為指數(shù)是11的形式進(jìn)行比較；（3）用求商法比較大??；（4）由(?2)234【詳解】（1)因?yàn)閍=(34)31=3(2)因?yàn)?55=(25)11=3211，(3)因?yàn)镻Q=99(4)因?yàn)??2)234=(6．由冪的運(yùn)算法則逆向思維可以得到am+n=am?(1)計(jì)算：52020(2)若3×9m×(3)比較大?。篴=255，b=344，c=533，d=622，請(qǐng)確定【分析】（1）根據(jù)積的乘方公式，進(jìn)行逆運(yùn)算，即可解答；（2）轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）轉(zhuǎn)化為指數(shù)相同，再比較底數(shù)的大小，即可解答．【詳解】（1）解：5故答案為：25；（2）∵3×9∴3×3∴3×32m×∴1+2m+3m=11，解得m=2；（3）由題可得：a=255=2511=∵32<36<81<125，∴3211即a<d<b<c．7．閱讀以下材料：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Napier，1550年-1617年），納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)概念建立之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707年-1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax=N(a＞0,a≠1)，則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN．比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為4=log216，對(duì)數(shù)式2=log525可以轉(zhuǎn)化為52=25．我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：log（1）將指數(shù)53=125（2）仿照上面的材料，試證明：log（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算log32【分析】（1）根據(jù)題意可以把指數(shù)式53=125寫成對(duì)數(shù)式；（2）先設(shè)logaM=x，logaN=y，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為：M=ax，N=ay，計(jì)算MN（3）根據(jù)公式：loga（M?N）=logaM+logaN和logaMN【詳解】（1）∵一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：記作：x=logaN．∴3=log5125，故答案為：3=log5125；（2）證明：設(shè)logaM=x∴M=ax，∴MN由對(duì)數(shù)的定義得loga又∵x?y=log∴l(xiāng)og（3）log32+log3故答案為：2.1．關(guān)于x的三次三項(xiàng)式A=5x3?6x2+10=a(x?1)3+b(x?1)2+c(x?1)+d（其中a，b，①當(dāng)A+B為關(guān)于x的三次三項(xiàng)式時(shí)，則f=?10；②當(dāng)多項(xiàng)式A與B的乘積中不含x?項(xiàng)時(shí)，則e=6；③a+b+c=9；A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)整式的加減混合運(yùn)算即可判斷①，根據(jù)整式的乘法運(yùn)算即可判斷②，將x=1和x=2代入即可判斷③．【詳解】解：∵A=5x3?6∴A+B=4x∵A+B為關(guān)于x的三次三項(xiàng)式，且e為非零常數(shù)，∴f+10=8，解得：f=?10，說法①正確；A?B=(5=5x∵多項(xiàng)式A與B的乘積中不含x?項(xiàng)，∴5e?3=0，解得e=1.7，說法②錯(cuò)誤；A=5x當(dāng)x=1時(shí)，d=5?5+10=9，當(dāng)x=2時(shí)，a+b+c+d=4×2則a+b+c=17，說法③錯(cuò)誤．故選：B．2．已知x2【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將原式展開，根據(jù)題意展開式中不含三次項(xiàng)和四次項(xiàng)，可得2?2a=0，?3+3a+2b=0，求解即可得a,b的值，然后代入求值可確定展開式中二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)，求和即可得答案．【詳解】解：x=2x4根據(jù)題意，展開式中不含三次項(xiàng)和四次項(xiàng)，∴2?2a=0，?3+3a+2b=0，解得a=1，b=0，∴5?5a?3b+4=5?5×1?3×0+4=4，5b?6=5×0?6=?6，即展開式中二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)的系數(shù)為?6，∴展開式中二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)之和為4+(?6)=?2．3．若x2+px?13x(1)求p、q的值；(2)求代數(shù)式?2p【分析】（1）將原式根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開后合并同類項(xiàng)，由積中不含x項(xiàng)與x3項(xiàng)可知x項(xiàng)與x3項(xiàng)的系數(shù)均等于0，可得關(guān)于p、（2）由（1）中p、q的值得pq=?1，將原式整理變形成?2p?pq2+3pq3+pq2022【詳解】（1）解：x=x∵積中不含x項(xiàng)與x3∴1+pq=0p?3=0∴p=3q=?（2）解：由（1）得pq=?1，?2p4．（1）試說明代數(shù)式(s?2t)(s+2t+1)+4tt+12的值與s（2）已知多項(xiàng)式ax?b與2x2?x+2的乘積展開式中不含x的一次項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為?4（3）已知二次三項(xiàng)式2x2+3x?k有一個(gè)因式是(2x?5)【分析】（1）先算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)，即可得到結(jié)論；（2）先算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，從而得到2a+b=0，-2b=-4，進(jìn)而即可求解；（3）由題意得2x2+3x?k=(2x?5)【詳解】解：（1）(s?2t)(s+2t+1)+4t＝s2＋2st＋s?2st?4t2?2t＋4t2＋2t＝s2＋s．故代數(shù)式(s?2t)(s+2t+1)+4tt+12的值與s（2）∵（ax?b）（2x2?x+2）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx又∵多項(xiàng)式ax?b與2x2?x+2的乘積展開式中不含x∴2a+b=0，-2b=-4，∴a=-1，b=2，∴ab=?1（3）∵二次三項(xiàng)式2x2+3x?k∴2x2+3x?k=(2x?5)(x+m)∴2m-5=3，5m=k，∴m=4，k=20，另一個(gè)因式為：x+4．5．給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)a，b，c叫做關(guān)于x的二次多項(xiàng)式ax2+bx+c(1)關(guān)于x的二次多項(xiàng)式3x(2)有序?qū)崝?shù)對(duì)2，a，1的附屬多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對(duì)【分析】（1）根據(jù)新定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)新定義先表示出兩個(gè)多項(xiàng)式，再根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可得，多項(xiàng)式3x2+2x?1故答案為：3，（2）根據(jù)題意得，有序?qū)崝?shù)對(duì)2，a，有序?qū)崝?shù)對(duì)1，?2，∵兩個(gè)多項(xiàng)式的差中不含一次項(xiàng)，∴2x∴a+2=0，∴a=?2．1．若一個(gè)只含a字母的多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，用該多項(xiàng)式去乘(a+1)，若該多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，則用該多項(xiàng)式去乘(a?1)，稱這為第一次操作；若第一次操作后所得多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，用該多項(xiàng)式去乘(a+1)，若該多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，則用該多項(xiàng)式去乘(a?1)稱這為第二此操作，以此類推．①將多項(xiàng)式(a②將多項(xiàng)式(a③將多項(xiàng)式(a2+2a+1)④將多項(xiàng)式(a?1)以上述方式進(jìn)行n次操作后所得多項(xiàng)式為(a?1)(a+1)四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)題意，計(jì)算出(a2?1)進(jìn)行2次操作后所得多項(xiàng)式，即可判定①；根據(jù)題意，計(jì)算出(a2+2a)以上述方式進(jìn)行3次操作后所得多項(xiàng)式，即可判定②；根據(jù)題意，計(jì)算出(a【詳解】解：(a2?1)(a2?1)∴(a故①錯(cuò)誤；(a2+2a)(a2+2a)(a2+2a)∴將多項(xiàng)式(a2故②正確；(a2+2a+1)(a2+2a+1)(a2+2a+1)(a2+2a+1)當(dāng)a=2時(shí)，a6故③正確；(a?1)第1次操作后，得(a?1)a+1(a?1)第2次操作后，得(a?1)a+1(a?1)第3次操作后，得a?1(a?1)第4次操作后，得a?1…(a?1)第n次操作后，得a?1a+1故④錯(cuò)誤；綜上，錯(cuò)誤的有①④共2個(gè)，故選：C．2．我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項(xiàng)式的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”，請(qǐng)你利用楊輝三角，計(jì)算(a+b)6(a+b)0=

(a+b)1=

a+b································1(a+b)2=

a2+2ab+b(a+b)3=

a3+3a2b+3a(a+b)4=

a4+4a3b+6a2【分析】通過觀察可知“楊輝三角”的規(guī)律：①每個(gè)數(shù)等于上方兩數(shù)之和；②每行數(shù)字左右對(duì)稱，由1開始逐漸變大；③a的指數(shù)從左向右逐漸變小，b的指數(shù)由左向右逐漸變大；依據(jù)此規(guī)律，可得出最后答案．【詳解】解：由題意可知：每個(gè)數(shù)等于上方兩數(shù)之和，∴a+b5∴a+b6又∵a的指數(shù)從左向右逐漸變小，b的指數(shù)由左向右逐漸變大，∴a+b6展開式左起第四項(xiàng)是20故答案為：20a3．觀察下列各式及其展開式：a+b2(a+b)3a+b4a+b5??請(qǐng)你猜想(2x?1)8的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是（A．224 B．180 C．112 D．48【分析】由材料可知，括號(hào)里的前項(xiàng)的指數(shù)從高到底的排列，括號(hào)里的后項(xiàng)的指數(shù)從低到高的排列，首位系數(shù)都是1，中間數(shù)字分別為上一組數(shù)據(jù)相鄰兩數(shù)之和，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)材料可知，系數(shù)的關(guān)系如下，二次冪時(shí)的系數(shù)：1

2

1三次冪時(shí)的系數(shù)：1

3

3

1四次冪時(shí)的系數(shù)：1

4

6

4

1五次冪時(shí)的系數(shù)：1

5

10

10

5

1六次冪時(shí)的系數(shù)：1

6

15

20

15

6

1七次冪時(shí)的系數(shù)：1

7

21

35

35

21

7

1八次冪時(shí)的系數(shù)：1

8

28

56

70

56

28

8

1∴含x2項(xiàng)的系數(shù)是28×故選：C．4．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在歐洲，這個(gè)表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝遲393年，比賈憲遲600年．楊輝三角是我國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，他把二項(xiàng)式乘方展開式系數(shù)圖形化，如下圖所示：a+ba+ba+ba+b…完成下列任務(wù)：(1)寫出a+b5(2)計(jì)算：75【分析】（1）根據(jù)前面4個(gè)等式的提示，歸納出系數(shù)與指數(shù)的規(guī)律，從而可得a+b5（2）利用（1）中展開式，設(shè)a=7，b=?6，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵a+ba+ba+ba+b∴(a+b)5（2）∵(a+b)5=a5+5∴7=7?6=1．5．觀察下列各式：x?1x?1x?1(1)根據(jù)以上規(guī)律，則x?1x(2)你能否由此歸納出一般規(guī)律x?1x(3)根據(jù)以上規(guī)律求32022【分析】（1）根據(jù)給出式子的規(guī)律書寫即可；（2）根據(jù)給出式子的規(guī)律即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律計(jì)算即可；【詳解】（1）∵x?1x+1x?1xx?1x∴x?1x6+故答案是：x7（2）根據(jù)題意得：x?1x故答案是：xn+1（3）∵3?13∴320226．（1）計(jì)算并觀察下列各式：第1個(gè)：a?ba+b=第2個(gè)：a?ba2第3個(gè)：a?ba3……這些等式反映出多項(xiàng)式乘法的某種運(yùn)算規(guī)律．（2）猜想：若n為大于1的正整數(shù)，則a?ban?1（3）利用（2）的猜想計(jì)算：2n?1+（4）拓廣與應(yīng)用：3n?1+【分析】（1）根據(jù)平方差公式及多項(xiàng)式乘法的計(jì)算求解即可；（2）由（1）中計(jì)算得出相應(yīng)規(guī)律即可；（3）利用（2）中所得規(guī)律求解即可；（4）根據(jù)（2）中所得規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】解：（1）a?ba+ba?baa?ba故答案為：a2?b2，（2）根據(jù)（1）中規(guī)律得：a?ba故答案為：an（3）2故答案為：2n（4）3n?1故答案為：3n1．已知：x+y2=12，x?y2【分析】利用完全平方公式將已知等式展開，然后將其相加即可求得x2+y2的值，將其相減得到代【詳解】解：∵x+y2=12，∴x②＋①得：x2①－②得：xy=2，∴x2故答案為：142．已知1b?1a=【分析】由1b?1a=8?cab可得a+c=8+b，將ab+bc+2b+【詳解】∵1b∴a+c=8+b，∵ab+bc+2b+c∴b(a+c)+2b+c∴b(8+b)+2b+c∴b2∴(b+5)2∴b+5=0，c=0，∴b=?5，∴a=3，∴ba故答案為：?3．已知a，b，c滿足：a2+2b=7，【分析】將已知等式左右兩邊分別相加，再配方成非負(fù)數(shù)的和為0，求出a、b、c的值，代入即可求出式子的值．【詳解】解：∵a2∴a2∴a2∴a?32∴a?3=0，∴a=3，∴13故答案為：3．4．已知a?b=4時(shí)，多項(xiàng)式ab+c2的值為?4，則abaA．?1 B．?12 C．?【分析】根據(jù)已知條件得出b+22≤0，又b+22≥0，進(jìn)而得出b=?2，a【詳解】解：∵a?b=4時(shí)，多項(xiàng)式ab+c2的值為∴a=b+4，ab+4=?∴ab+4≤0即b+4∴b即b+22≤0∴b∴a=?2+4=2，∴ab=?4，c=0∴aba故選：B．5．已知有理數(shù)a，b，c滿足a?b+c?3=0，a2+b2+A．?2019 B．?2020 C．?2021 D．?2022【分析】由(a?b+c)2=a2+b2+c2?2ab+2ac?2bc得2ab?2ac+2bc=?6【詳解】解：∵a?b+c?3=0，a2∴a?b+c=3，a2∵(a?b+c)2∴9=整理，得2ab?2ac+2bc=?6，∴(a+b)2∵(a+b)2≥0，(b+c)2∴a+b=0，b+c=0，a?c=0，∴a=?b=c，∴a?b+c=a+a+a=3，∴a=1，∴b=?1，c=1，把a(bǔ)=1，b=?1，c=1代入a3原式=1故選：C．6．已知a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，那么a2A．1 B．3 C．6 D．1010【分析】分別求出a?b、b?c、c?a的值，然后利用完全平方公式將題目中的式子變形，再整體代入即可完成．【詳解】解：∵a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，∴a?b=?1，b?c=?1，c?a=2，∴a故選：B．7．已知：x+y=5，求：①x2+5xy+y【分析】①利用完全平方公式的變形將所求的式子變形為x2②先根據(jù)完全平方公式的變形和積的乘方計(jì)算法則得到x2+y2=19【詳解】解：①∵x+y=5，∴x2②∵x+y=5，∴x2+∴x48．閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)．完全平方公式的變形及其應(yīng)用我們知道，完全平方公式有：a+b2=a在解題過程中，根據(jù)題意，若將公式進(jìn)行變形，則可以達(dá)到快速求解的目的，其變形主要有下列幾種情形：①a2+b2=④ab=1根據(jù)上述公式的變形，可以迅速地解決相關(guān)問題．例如：已知x+y=3，x?y=1，求x2解：x2任務(wù)：(1)已知x+y=5，x?y=3，則xy=______．(2)已知x+y=7，x2+y【分析】（1）根據(jù)已知ab=1（2）根據(jù)已知a2【詳解】（1）∵ab=1∴xy=x（2）∵x2∴25=127∴x?y21．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個(gè)如圖2所示的正方形．(1)請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：_________；方法2：__________．(2)請(qǐng)你直接寫出三個(gè)代數(shù)式：a+b2，a2+(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知m+n=5，m2+n2=20②已知x?20212+x?2023【分析】（1）利用陰影兩部分直接求和與用總面積減去空白部分面積兩種方法即可求解；（2）由圖2中陰影部分面積的表示即可得到答案；（3）①由（2）的關(guān)系可得(m+n)2②設(shè)x?2021=a，則x?2023=a?2，x?2022=a?1，依題意，得a2∴a2【詳解】（1）陰影兩部分求和為：a2用總面積減去空白部分面積為：(a+b)2故答案為：a2+b（2）由題意得，(a+b)2（3）①由（2）得(m+n)2∴25=20+2mn，解得mn=2.5，∴(m?n)2②設(shè)x?2021=a，則x?2023=a?2，x?2022=a?1，依題意，得a2∴a2可求得a2由整體思想，得(x?2022)22．兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為S1；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長為b的小正方形（如圖②），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為S（1）用含a、b的代數(shù)式分別表示S1、S（2）若a?b=8，ab=13，求S1（3）用a、b的代數(shù)式表示S3；并當(dāng)S1+【分析】（1）由圖中正方形和長方形的面積關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)S1+S2=a2（3）根據(jù)S3=a2+b2【詳解】解：（1）由圖可得，S1=a（2）∵a?b=8，ab=13∴所以S1（3）由圖可得：S所以圖③中陰影部分的面積S33．閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學(xué)公式是__________．（2）如圖③，請(qǐng)寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關(guān)系是__________（3）利用（2）的結(jié)論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根據(jù)圖④，寫出一個(gè)等式：__________．（5）小明同學(xué)用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個(gè)面積為（3a＋b）（a＋3b）長方形，請(qǐng)畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．類似地，利用立體圖形中體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個(gè)等式：___________．【分析】(1)由圖②中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系可得答案；(2)根據(jù)圖③中，大正方形的面積為（a＋b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，每個(gè)長方形的面積為ab，由各個(gè)部分的面積之間的關(guān)系可得出答案；(3)由公式變形x?y2(4)大正方形的面積可表示為（a＋b＋c）2，在分別表示出大正方形中9塊的面積，可得答案；(5)根據(jù)拼出一個(gè)面積為（3a＋b）（a＋3b），即為3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝10，進(jìn)而拼圖即可；(6)根據(jù)大正方體的體積為（a＋b）3，以及8個(gè)“小塊”的體積之間的關(guān)系得出結(jié)果即可．【詳解】（1）根據(jù)圖②各個(gè)部分面積之間的關(guān)系可得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）∵圖③中，大正方形的面積為（a＋b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，每個(gè)長方形的面積為ab，∴a+b故答案為：a+b2（3）利用（2）的結(jié)論，可知x?y2∵x＋y＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；（4）根據(jù)圖④，大正方形的面積可表示為（a＋b＋c）2，∵內(nèi)部9塊的面積分別為：a2∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc故答案為：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）∵（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，∴x=3,y=3,z=10，即需要3張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形，10張寬、長分別為a、b的長方形紙片，畫圖如下：∴x＋y＋z＝16；（6）根據(jù)圖⑥，大正方體的體積為（a＋b）3，分割成8個(gè)“小塊”的體積分別為：a3∴（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2故答案為：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．4．（1）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如：從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形如圖1，然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形如圖2．圖1中陰影部分面積為__________，圖2中陰影部分面積為__________，請(qǐng)寫出這個(gè)乘法公式__________．（2）【知識(shí)應(yīng)用】應(yīng)用（1）中的公式，完成下面任務(wù)：若m是不為0的有理數(shù)，已知P=m2+2m+1m2?2m+1，（3）【知識(shí)遷移】事實(shí)上，通過計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖3表示的是一個(gè)邊長為x的正方體挖去一個(gè)小長方體后重新拼成一個(gè)新長方體，請(qǐng)你根據(jù)圖3中圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：____________________．【分析】（1）分別用代數(shù)式表示圖1、圖2中陰影部分的面積即可；（2）利用平方差公式，計(jì)算P-Q的差即可；（3）分別用代數(shù)式表示圖3中左圖、右圖的體積即可．【詳解】解：（1）圖1中陰影部分的面積可以看作是兩個(gè)正方形的面積差，即a2-b2，圖2是長為a+b，寬為a-b的長方形，因此面積為（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），故答案為：a2-b2，（a+b）（a-b），a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）P-Q=（m2+2m+1）（m2-2m+1）-（m2+m+1）（m2-m+1）=（m2+1）2-4m2-（m2+1）2+m2=-3m2，∵m是不為0的有理數(shù)，∴-3m2＜0，即P-Q＜0，∴P＜Q；（3）圖3左圖的體積為x?x?x-1×1×x=x3-x，圖3右圖是長為x+1，寬為x，高為x-1的長方體，因此體積為（x+1）?x?（x-1），因此有x3-x=x（x+1）（x-1），故答案為：x3-x=x（x+1）（x-1）．．5．若x滿足(7?x)(x?4)=2，求(x?7)2解：設(shè)7?x=a,?x?4=b所以(x?7)請(qǐng)仿照上面的方法求解下面的問題（1）若x滿足(8?x)(x?3)=3，求(8?x)2（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD，DC上的點(diǎn)，且AE=2，CF=5，長方形EMFD的面積是28，分別以MF、DF為邊作正方形，求陰影部分的面積．【分析】（1）設(shè)8?x=a,x?3=b，從而可得ab=3,a+b=5，再利用完全平方公式進(jìn)行變形運(yùn)算即可得；（2）先根據(jù)線段的和差、長方形的面積公式可得(x?2)(x?5)=28，再利用正方形MFRN的面積減去正方形DFGH的面積可得陰影部分的面積，然后仿照（1）的方法思路、結(jié)合平方差公式進(jìn)行變形求解即可得．【詳解】（1）設(shè)8?x=a,x?3=b，則ab=3,a+b=5，所以(8?x)2=(a+b)=5=19；（2）由題意得：MF=DE=x?2,DF=x?5，DE?DF=(x?2)(x?5)=28，因?yàn)殛幱安糠值拿娣e等于正方形MFRN的面積減去正方形DFGH的面積，所以陰影部分的面積為MF設(shè)x?2=m,x?5=n，則mn=28,m?n=3，所以(m+n)2由平方根的性質(zhì)得：m+n=11或m+n=?11<0（不符題意，舍去），所以(x?2)2=(m+n)(m?n)，=11×3，=33，故陰影部分的面積為33．6．對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到(a+b)2（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（2）根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則，通過計(jì)算驗(yàn)證上述等式；（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c=10,ab+ac+bc=35，則a2（4）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形z張邊長分別為a,b的長方形紙片拼出一個(gè)面積為(5a+7b)(9a+4b)長方形，則x+y+z=【分析】（1）利用整體法求解正方形的面積為(a+b+c)2，利用分割法求解正方形的面積為：a（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則把左邊通過計(jì)算展開，合并同類項(xiàng)后可得結(jié)論；（3）利用變形公式：a2（4）由題意可得，所拼圖形的面積為:xa2+yb2【詳解】解：（1）∵正方形的面積=(a+b+c)正方形的面積=∴故答案為:∴（2）證明：(a+b+c)(a+b+c)==（3）∵a+b+c=10,ab+ac+bc=35∴==100?2×35,=30.故答案為:30（4）由題可知，所拼圖形的面積為:x∵(5a+7b)(9a+4b)=45=45∴x=45,y=28,z=83∴x+y+z=45+28+83=156故答案為：1567．問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．小明在解決該問題時(shí)，采用了以下解法：解：設(shè)（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，則ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．(1)請(qǐng)補(bǔ)全小明的解法；(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，則（30﹣x）2+（x﹣20）2的值為．類比研究(3)若x滿足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．拓伸延伸(4)如圖，正方形ABCD的邊長為x，AE＝1，CG＝3，長方形EFGD的面積是10，分別以DE、DG為邊長作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積為（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．【分析】（1）根據(jù)題干步驟進(jìn)行求解即可；（2）由（1）的步驟進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)題干的步驟反向求解即可；（4）先表示出相應(yīng)的量，再按照題干方法步驟求解即可；【詳解】（1）解：設(shè)（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，則ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．（2）設(shè)（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，則mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝-10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．（3）設(shè)（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，則（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．因?yàn)閠+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝(22-2022)÷2=-1009．（4）∵DE=x?1∴S∵x?31?x=?10∴S陰影部分的面積為：S四邊形必考點(diǎn)6必考點(diǎn)6利用因式分解探究三角形形狀1．（2022秋·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省隆昌市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若a、b、c是△ABC的三邊，且滿足b2+bc?ba?ca=0，a2+ab?cb?ac=0A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)b2+bc?ba?ca=0，a2+ab?cb?ac=0，分別提取公因式即可得到(b+c)(b?a)=0，(a+b)(a?c)=0，再根據(jù)b+c≠0，a+b≠0，得到【詳解】解：∵b2+bc?ba?ca=0∴(b+c)(b?a)=0，(a+b)(a?c)=0，又∵a、b、c是△ABC∴b+c≠0，a+b≠0，∴b?a=0，a?c=0，∴b=a，a=c，∴a=b=c，∴該三角形是等邊三角形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)︻}目提供的式子進(jìn)行因式分解．2．（2018秋·江西·八年級(jí)校考階段練習(xí)）先閱讀下面的材料，再解決問題：要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，并提出a；把它的后兩項(xiàng)分成一組，并提出b，從而得到am+n+bm+n.這時(shí)，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，從而得到在三角形中，若任意兩條邊的差均為0，則這個(gè)三角形是等邊三角形；若只有兩條邊的差為0，則這個(gè)三角形是等腰三角形；若有兩條邊的平方和與第三邊的平方的差為0，則這個(gè)三角形是直角三角形。請(qǐng)用上面材料中提供的方法解決問題：（1）將多項(xiàng)式ab?ac+b（2）若ΔABC的三邊a、b、c滿足條件：a4?b【答案】（1）（a+b）（b-c）；（2）直角三角形【分析】（1）將前兩項(xiàng)以及后兩項(xiàng)重新分組進(jìn)而分解因式得出答案；（2）利用分組分解法將原式分解進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）ab-ac+b2-bc=（ab-ac）+（b2-bc）=a（b-c）+b（b-c）=（a+b）（b-c）；（2）由已知，得（a2-b2）（a2+b2）+c2（a2+b2）=0．即（a2+b2）（a2-b2+c2）=0∵a2+b2＞0∴a2-b2+c2=0即

a2+c2=b2∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分解法分解因式以及勾股定理逆定理，正確分組是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）若a、b、c是三角形的三條邊，求證：a2（2）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿足a+b+c=322，a（3）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿足a2b?c+【答案】（1）見解析；（2）△ABC是等邊三角形，見解析；（3）△ABC是等腰三角形，見解析【分析】（1）用分組分解法進(jìn)行因式分解，先變形為a2（2）由題意可得a+b+c2=92．結(jié)合a2+b（3）對(duì)a2b?c據(jù)此可解．【詳解】解：（1）∵a=∵a、b、c是三角形三邊，∴a+b+c>0且a<b+c．∴a+b+ca?b?c即a2（2）△ABC是等邊三角形，理由如下：∵a+b+c=3∴a+b+c2∴a2又∵a2∴2ab+2bc+2ac=3．∴2ab+2bc+2ac=2a∴2a∴a?b2∵a?b2≥0，b?c2∴a?b=0，b?c=0，a?c=0．∴a=b=c．∴△ABC是等邊三角形．（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：a==a=a=b?c=b?c=b?c∵a∴b?ca?b∴b=c或b=a或a=c．∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，靈活運(yùn)用提公因式法、公式法、分組分解法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.4．（2022秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）求解下列問題：(1)若x2+2y(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b【答案】(1)1(2)等腰三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)完全平方公式因式分解，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x,y的值，代入計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式運(yùn)算法，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a=3,b=4,c=4，即可判斷三角形的形狀【詳解】（1）解：∵∴(x∴(x?y)∵∴x?y=0,y+4=0,∴x=y=?4.

y（2）∵∴(a(a?3)2∵∴a?3=0,b?4=∴a=3,b=4,c=4.∴c=b≠a.∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握完全平方公式，等腰三角形的定義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤簟鰽BC的三邊長分別為a，b，c，且滿足等式3a【答案】等邊三角形【分析】將已知等式化為a?b2+b?c【詳解】解：∵3a∴3即2即a∴a?b2∴a?b2=0，b?c∴a?b=0，b?c=0，a?c=0，即a=b=c∵△ABC的三邊長分別為a，b，c，∴該三角形是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，等邊三角形的判定，得出a=b=c是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，要將多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，提出公因式a，再把它的后兩項(xiàng)分成一組，提出公因式b，從而得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，這時(shí)am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出(1)嘗試填空：ac?bc+ab?a(2)解決問題：因式分解2x?18+xy?9y；(3)拓展應(yīng)用：已知三角形的三邊長分別是a，b，c，且滿足a2【答案】(1)a?bc?a(2)2+y(3)△ABC是等邊三角形，理由見解析．【分析】（1）利用分組分解法因式分解即可；（2）利用分組分解法因式分解即可；（3）利用分組分解法因式分解，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明a=b=c即可．【詳解】（1）解：ac?bc+ab?=ac?bc?=c=a?b故答案為：a?bc?a（2）2x?18+xy?9y=2=2+y（3）結(jié)論：△ABC是等邊三角形．理由：∵a2∴a2?2ab+∵a?b2≥0，∴a?b=0，c?b=0，∴a=b=c∴△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)范例熟練掌握分組分解．7．（2022春·山東青島·八年級(jí)校考期中）數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．(1)探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式____________________．(2)探究二：類似地，我們可以借助一個(gè)棱長為a的大正方體進(jìn)行以下探索：在大正方體一角截去一個(gè)棱長為b(b<a)的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；(3)將圖3中的幾何體分割成三個(gè)長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵BC=a，AB=a?b，CF=b，∴長方體①的體積為ab(a?b)．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結(jié)果不需要化簡(jiǎn)）(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為______________．(5)問題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問題：已知a-b=6，ab=2，求a3(6)類比以上探究，嘗試因式分解：a3+b【答案】(1)a(2)a(3)b2a?b(4)a(5)252(6)a+b【分析】（1）圖1中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，圖2中陰影部分的面積等于長為a+b、寬為a?b的長方形的面積，由此即可得；（2）直接利用大正方體的體積減去小正方體的體積即可得出答案；（3）根據(jù)長方體的體積公式即可得；（4）根據(jù)（2）和（3）的結(jié)論可得a3（5）先利用完全平方公式求出a2（6）將a3+b（1）解：圖1中陰影部分的面積為a2圖2中陰影部分的面積為a+ba?b∵拼圖前后圖形的面積不變，∴a∴可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式為a2故答案為：a2（2）解：由題意，得到的幾何體的體積為a3故答案為：a3（3）解：∵EN=b,DE=b,DM=a?b，∴長方體②的體積為b2∵GH=a,FG=a?b,HR=a，∴長方體③的體積為a2故答案為：b2a?b，（4）解：由（2）和（3）得：a3則可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為a3故答案為：a3（5）解：∵a?b=6,ab=2，∴a∴a（6）解：由（4）可知，a3則a==a+b故答案為：a+ba【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與圖形面積、利用完全平方公式變形求值、利用提公因式法分解因式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握利用不同的方法表示同一個(gè)幾何體的體積得到代數(shù)恒等式是解題關(guān)鍵．8．（2020秋·湖南衡陽·八年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀材料：若m2∵根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知一個(gè)不等邊三角形的三邊長分別為a、b、c，且a、b、c都是正整數(shù)，并滿足a2（2）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足a2+c（3）試探究關(guān)于x、y的代數(shù)式5x【答案】（1）4；（2）等邊三角形；（3）最小值為16，此時(shí)x=-3，y=-5．【分析】（1）首先根據(jù)a2+b2?4a?6b+13=0（2）先把原式化為（a-b）2+（b-c）2=0，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a=b=c，那么△ABC是等邊三角形；（3）將原式變形為x+32【詳解】解：（1）a2∴a?22∴a=2，b=3，∴1＜c＜5，∴c=4；（2）a2∴a2∴a2∴a?b2∴a-b=0且b-c=0，即a=b且b=c，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形；（3）有最小值，5=x=x+3∵x+32≥0，∴原式≥16，此時(shí)x=-3，y=-5．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的三條邊之間的關(guān)系，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是明確題目中的材料，可以將問題中方程轉(zhuǎn)化為材料中的形式．9．（2021春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B（0，b），已知a，b滿足a2+b2+8a+8b+32=0．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE，且AF=AE，連接BF交x軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2，c），求c的值及OE的長；（3）在（2）的條件下，如圖2，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BC//x軸交EG的延長線于點(diǎn)C，連接OC、AC，試判斷△AOC的形狀，并說明理由．【答案】（1）A?4,0、B0,?4；（2）c=4，OE的長為2；（3）【分析】（1）把a(bǔ)2+b2+8a+8b+32=0（2）如詳解圖：過點(diǎn)F作FM⊥AO于M，利用角度的等量代換可得∠MFA=∠OAE，∠AMF=∠AOE=90°，從而可證△AMF≌△EOA，可得AM=OE,OA=MF，進(jìn)而可得答案；（3）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出直線AB的解析式為：y=?x?4，再利用EG⊥AB，設(shè)CE所在直線的解析式為：y=x+b，根據(jù)E點(diǎn)坐標(biāo)可求CE所在直線的解析式為：y=x?2，根據(jù)點(diǎn)B、C縱坐標(biāo)相同，即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式即可分別求出AC、OC、AO的長即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵a2∴a+42∴a+4=0,b+4=0，∴a=b=?4，∴A?4,0（2）如圖：過點(diǎn)F作FM⊥AO于M，∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°,∴∠OAE+∠FAO=90°,∵FM⊥AO，∴∠FMA=∠AOE=90°，∴∠AFM+∠FAO=90°，∴∠AFM=∠OAE，∴在△AMF和△AOE中∠FMA=∠AOE∴△AMF≌△EOA，∴AM=EO,FM=AO=4，∴c=4∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為：?2，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為：?4∴AM=OE=?2∴OE的長為2，（3）設(shè)AB所在直線的解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)A?4,0?4k+b=0b=?4解得k=?1b=?4∴直線AB的解析式為：y=?x?4，設(shè)CE所在直線的解析式為：y=x+m，將E0,?2代入可得，?2=0+m，解得：m=?2∴CE所在直線的解析式為：y=x?2，∵BC//x∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?4，將y=?4，代入y=x?2得：x=?2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為?2,?4，∴OCACOA∴OC=AC∴△AOC是以C為頂點(diǎn)的等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題關(guān)鍵．必考點(diǎn)7必考點(diǎn)7利用拆項(xiàng)或添項(xiàng)進(jìn)行因式分解1．閱讀材料：我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2?2ab+b2叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：x2+2x?3=x2+2x+1?4=(x+1)根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：a2(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2?4a+b(3)當(dāng)x、y為何值時(shí)，多項(xiàng)式?x【答案】(1)(a+1)(a?5)(2)5(3)x=y=3時(shí)，最大值為16．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，先將a2?4a?5變形為a2（2）根據(jù)配方法得出兩個(gè)完全平方式，再根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，每一部分為0可得a，b的值，最后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得c的取值范圍和最小值；（3）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子配方，再根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可得到當(dāng)x、y為何值時(shí)，所求式子取得最大值，并求出這個(gè)最大值；【詳解】（1）解：原式=a=a?2=a?2=(a+1)(a?5)；故答案為：(a+1)(a?5)（2）∵a∴a∴(a?2)∴a?2=0b?6=0解得：∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴4<c<8，又∵c是整數(shù)，c=5,6,7；∴邊長c的最小值是5；（3）?=?=?(x?y)∵(x?y)2≥0∴?(x?y)∴當(dāng)x?y=0y?3=0時(shí),即x=y=3時(shí)，?【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．2．閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項(xiàng)法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運(yùn)用多種方法才能解決問題．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6第1步：拆項(xiàng)法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過添括號(hào)進(jìn)行分組；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結(jié)果分解徹底．（1）請(qǐng)你試一試分解因式x3﹣7x+6．（2）請(qǐng)你試一試在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4﹣5x2+6．【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）x+【分析】（1）將﹣7x拆分為﹣x﹣6x，分組后分別提公因式，可得出答案；（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．【詳解】（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）x4﹣5x2+6＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生因式分解的知識(shí)及學(xué)以致用的能力，掌握因式分解結(jié)合題意并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．3．我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：x2②拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項(xiàng)法．例如：x③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)；4．觀察得出原二次三項(xiàng)式的兩個(gè)因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．觀察得出：兩個(gè)因式分別為(x+7)與(x?1)例如：x分析：解：原式=(x+7)(x?1)（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4②（拆項(xiàng)法）x③x2（2）已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b【答案】（1）①(2x+y+1)(2x?y+1)，②(x?4)(x?2)，③(x?2)(x?3)；（2）7【分析】（1）①將原式化為(4x2+4x+1)?（2）先利用完全平方公式對(duì)等式a2+b2+c2【詳解】解：（1）①4=(4==(2x+y+1)(2x?y+1)；②x===(x?3?1)(x?3+1)=(x?4)(x?2)；③x2故答案為：(x?2)(x?3)；（2）∵a2∴(a∴(a?2)2∴a=2，b=2，c=3，∴a+b+c=2+2+3=7．∴△ABC的周長為7．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問題中的應(yīng)用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關(guān)鍵．4．閱讀下列分解因式的過程：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)(x+3a)(x-a)．像上面這樣通過加減項(xiàng)配出完全平方式后再把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做配方法，請(qǐng)你用配方法將下面的多項(xiàng)式因式分解：（1）m2-4mn+3n2；（2）x2-4x-12．【答案】（1）（m-n）（m-3n）；（2）（x+2）（x-5）．【分析】（1）、（2）分別利用閱讀材料中的配方法分解即可．【詳解】解：（1）m2-4mn+3n2=m2-4mn+4n2-4n2+3n2=m2-4mn+4n