新人教版高中數(shù)學(xué)必須第二冊第八章立體幾何初步導(dǎo)學(xué)學(xué)案

基本立體圖形

【第一學(xué)時】

棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解棱柱的定義，知道棱柱的結(jié)構(gòu)特征，并能識別

2.理解棱錐、棱臺的定義，知道棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，并能識別

3.能將棱柱、棱錐、棱臺的表面展開成平面圖形

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】

1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

2.棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

3.應(yīng)用幾何體的平面展開圖

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.空間幾何體的定義是什么？

2.空間幾何體分為哪幾類？

3.常見的多面體有哪些？

4.棱柱、棱錐、棱臺有哪些結(jié)構(gòu)特征？

二、新知探究

探究點(diǎn)②____________________________

棱柱的結(jié)構(gòu)特征

例1：下列關(guān)于棱柱的說法：

①所有的面都是平行四邊形；

②每一個面都不會是三角形；

③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；

④被平面截成的兩部分可以都是棱柱.

其中正確說法的序號是

探究點(diǎn)酉一

棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

例2：下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：

①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺;

②棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；

③棱錐的側(cè)面只能是三角形；

④由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確說法的序號是.

探究點(diǎn)畫L

空間幾何體的平面展開圖

例3：（1）水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、

上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的平面展開圖

（圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上），若圖中的“2”在正方體的上

9快

面，則這個正方體的下面是（)

A.1B.9樂

C.快D.樂

(2)如圖是三個幾何體的側(cè)面展開圖，請問各是什么幾何體？

【學(xué)習(xí)小結(jié)】

1.空間幾何體的定義及分類

(1)定義：如果只考慮物體的形狀和大小,而不考慮其他因素，那么由這

些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.

(2)分類：常見的空間幾何體有多面體與旋轉(zhuǎn)體兩類.

2.空間幾何體

類別定義圖示

由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫

一

做多面體.圍成多面體的各個多邊形

多面體叫做多面體的面；兩個面的公共邊叫

做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做

I頁點(diǎn)

多面體的頂點(diǎn)F

軸一

B'

一條平面曲線(包括直線)繞它所在￡

平面內(nèi)的這條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲

旋轉(zhuǎn)體面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的

幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.這條定直線叫做1

旋轉(zhuǎn)體的軸

3.棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

結(jié)構(gòu)特征及分類圖形及記法

棱結(jié)構(gòu)特(1)有兩個面(底面)互

柱征相平行

（2）其余各面都是四邊形

（3）相鄰兩個四邊形的公側(cè)面一

側(cè)棱,

共邊都互相生任4—葬頂點(diǎn)

按底面多邊形的邊數(shù)分為記作棱柱

分類

三棱柱、四棱柱…ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

續(xù)表

X結(jié)構(gòu)特征及分類圖形及記法

（1）有一個面（底面）是多邊頂點(diǎn)

側(cè)棱//側(cè)面

結(jié)構(gòu)特芨

棱征（2）其余各面（側(cè)面）都是有

錐一個公共頂點(diǎn)的三角形4B

記作

按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱

分類棱錐S-ABCD

錐、四棱錐……

（1）上下底面互相平行，且是

相似圖形

結(jié)構(gòu)特（2）各側(cè)棱延長線相交于一點(diǎn)，露，

/，才萬冷上底面

側(cè)面與于'側(cè)棱

征（或用一個平行于棱錐底面的平心事底面

棱4F

面去截棱錐，底面與截面之間那

臺頂點(diǎn)

部分多面體叫做棱臺）記作

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……棱臺ABCD-A'B'C'D'

分類截得的棱臺分別為三棱臺、四棱

臺、五棱臺...

【精煉反饋】

1.下面的幾何體中是棱柱的有（）

國二口O

①②③

④⑤⑥⑦

A.3個

B.4個

C.5個

D.6個

A.①③

B.③④

C.①②④

D.①②

3.有一個多面體，共有四個面圍成，每一個面都是三角形，則這個幾何體

為（）

A.四棱柱

B.四棱錐

C.三棱柱

D.三棱錐

4.一個棱柱有10個頂點(diǎn)，所有的側(cè)棱長的和為60cm,則每條側(cè)棱長為

__________cm.

5.畫一個三棱臺，再把它分成：

（1）一個三棱柱和另一個多面體.

（2）三個三棱錐，并用字母表示.

【第二學(xué)時】

圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義，知道這四種幾何體的結(jié)構(gòu)特征，能

夠識別和區(qū)分這些幾何體

2.了解簡單組合體的概念和基本形式

3.會根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何體特征進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】

1.圓柱、圓錐、圓臺、球的概念

2.簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

3.旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算問題

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.常見的旋轉(zhuǎn)體有哪些？是怎樣形成的？

2.這些旋轉(zhuǎn)體有哪些結(jié)構(gòu)特征？它們之間有什么關(guān)系？

3.這些旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖和軸截面分別是什么圖形?

二、新知探究

探究____________________________

圓柱、圓錐、圓臺、球的概念

例1：(1)給出下列說法：

①圓柱的底面是圓面；

②經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；

③圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交;

④夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體.

其中說法正確的是.

(2)給出以下說法：

①球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心所連線段的長；

②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間所連線段的長；

③用一個平面截一個球，得到的截面可以是一個正方形；

④過圓柱軸的平面截圓柱所得截面形狀是矩形.

其中正確說法的序號是.

探究點(diǎn)0

簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

例2：如圖所示的幾何體是由下面哪一個平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的（）

互動探究

［變條件、變問法］若將本例選項(xiàng)B中的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試說出它形成的

幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

解：①是直角三角形，旋轉(zhuǎn)后形成圓錐；②是直角梯形，旋轉(zhuǎn)后形成圓臺；

③是矩形，旋轉(zhuǎn)后形成圓柱，所以旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體如圖所示.通過觀察可知，

該幾何體是由一個圓錐、一個圓臺和一個圓柱自上而下拼接而成的.

①

探究點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算問題

例3：如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓

錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1：16,截去的圓錐的母線長

(V

是3cm,求圓臺0。的母線長.

?0

【學(xué)習(xí)小結(jié)】

1.圓柱、圓錐、圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征

（1）圓柱的結(jié)構(gòu)特征

以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所

定義

圍成的旋轉(zhuǎn)體

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸

、乙軸

4,二for底面底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面

圖示及相

：-一側(cè)面?zhèn)让妫浩叫杏谳S的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面

關(guān)概念一母線

母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊

底面

柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體

（2）圓錐的結(jié)構(gòu)特征

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)

定義

一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸

W軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面

圖不及相關(guān)喝側(cè)面、A側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面

概念母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的

底面返爐

邊

錐體：圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體

(3)圓臺的結(jié)構(gòu)特征

定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分

軸:圓錐的軸

底面集？

偵面工底面：圓錐的底面和截面

圖示及相

母線側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面和截面之間的部分

關(guān)概念

母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分

底面

臺體：圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體

（4）球的結(jié)構(gòu)特征

以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球

定義

面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球

球心上半徑球心：半圓的圓心

圖示及相

半徑：半圓的半徑

關(guān)概念

徑直徑：半圓的直徑

2.簡單組合體

（1）概念

由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.

（2）兩種構(gòu)成形式

①由簡單幾何體拼接而成;

②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.

【精煉反饋】

A.圓柱、圓錐、圓臺和球

B.圓柱、球和圓錐

C.球、圓柱和圓臺

D.棱柱、棱錐、圓錐和球

2.用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是圓面，則這個幾何體不可能

是（）

A.圓錐

B.圓柱

C.球

D.棱柱

3.下列說法中正確的是.

①連接圓柱上、下底面圓周上兩點(diǎn)的線段是圓柱的母線；

②圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺；

③通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn)，有無數(shù)條母線.

4.一個圓錐的母線長為20cm,母線與軸的夾角為30。，則圓錐的高。為

cm.

5.如圖所示，將等腰梯形ABC。繞其底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，可得到怎樣

的空間幾何體？該幾何體有什么特點(diǎn)？

AD

Bc

【參考答案】

【第一課時】

二、新知探究

例1：【答案】③④

【解析】①錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；

②錯誤，棱柱的底面可以是三角形；

③正確，由棱柱的定義易知；

④正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，所以正確說法的序號

是③④.

例2：【答案】②③④

【解析】①錯誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，棱錐底

面和截面之間的部分不是棱臺.

②正確,棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形.

③正確,由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形.

④正確,由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐.

⑤錯誤,如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.

所以正確說法的序號為②③④.

例3：【解】（1）選B.由題意，將正方體的展開圖還原成正方體,

“1”與“樂”相對，“2”與“9”相對，“0”與“快”相對，所以

下面是下”.

（2）題圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱

柱的特點(diǎn)；題圖②中，有5個三角形，且具有共同的頂點(diǎn)，還有一個五邊形，符

合棱鏈的特點(diǎn)；題圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點(diǎn)，還有兩個相

似的三角形，符合棱臺的特點(diǎn)，把側(cè)面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：

所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺.

【精煉反饋】

1.【答案】C

【解析】選C.棱柱有三個特征：（1）有兩個面相互平行.（2）其余各面是四

邊形.(3)側(cè)棱相互平行.本題所給幾何體中⑥⑦不符合棱柱的三個特征，而①

②③④⑤符合，故選C.

2.【答案】C

【解析】選C.根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱

錐，④是棱錐.故選C.

3.【答案】D

【解析】選D.根據(jù)棱錐的定義可知該幾何體是三棱錐.

4.【答案】12

【解析】因?yàn)槔庵?0個頂點(diǎn)，所以棱柱為五棱柱，共有五條側(cè)棱，所以

側(cè)棱長為弓=12(cm).

5.【答案】解：畫三棱臺一定要利用三棱錐.

8B

#①B②

(1)如圖①所示,三棱柱是棱柱另一個多面體是B'C'C"B"BC.

(2)如圖②所示，三個三棱錐分別是4-ABC,B'-A'BC,C'-A'B'C.

【第二課時】

二、新知探究

例1：【答案】(1)①②

(2)①④

【解析】(1)①正確，圓柱的底面是圓面；②正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱任

意兩條母線的截面是一個矩形面；③不正確，圓臺的母線延長相交于一點(diǎn)；④不

正確，圓柱夾在兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體.

(2)根據(jù)球的定義知，①正確；②不正確，因?yàn)榍虻闹睆奖剡^球心；③不

正確，因?yàn)榍虻娜魏谓孛娑际菆A面；④正確.

例2：【答案】A

【解析】該幾何體自上而下由圓錐、圓臺、圓臺、圓柱組合而成，故應(yīng)選A.

例3：【答案】解：設(shè)圓臺的母線長為/cm,

由截得的圓臺上、下底面面積之比為1：16,可設(shè)

截得的圓臺的上、下底面的半徑分別為zrm,4/vm.過軸

SO作截面，如圖所示，

則△SO'A's/SSOA,SA'=3cm.

所以而'一市'所以用一萬一7

解得1=9,即圓臺（70的母線長為9cm.

【精煉反饋】

1.【答案】B

【解析】選B.根據(jù)題中圖形可知，（1）是球，（2）是圓柱，（3）是圓錐，（4）

不是圓臺，故應(yīng)選B.

2.【答案】D

3.【答案】②

【解析】①錯誤，連接圓柱上、下底面圓周上兩點(diǎn)的線段不一定與圓柱的軸

平行，所以①不正確.③錯誤，通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線.

4.【答案】1即

【解析】/?=20cos30°=20x-^=l（h/3（cm）.

5.【答案】解：若將等腰梯形ABC。繞其下底3C所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所

得幾何體可以看作是以A。為母線,8。所在的直線為軸的圓柱和兩個分別以A3,

為母線的圓錐組成的幾何體，如圖（1）所示.

若將等腰梯形ABCD繞其上底AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體可以看

作是以為母線，A。所在的直線為軸的圓柱中兩底分別挖去以AB,CD為母

線的兩個圓錐得到的幾何體，如圖（2）所示.

(1)(2)

簡單幾何體的表面積與體積

【第一學(xué)時】

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解柱體、錐體、臺體的側(cè)面展開圖，掌握柱體、柱、錐、臺的體積

2.能利用柱體、錐體、臺體的體積公式求體積，理解柱體、錐體、臺體的

體積之間的關(guān)系

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】

1.柱、錐、臺的表面積

2.錐體、臺體的表面積的求法

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題:

1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積如何計(jì)算？

2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是什么？

3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式是什么？

4.柱體、錐體、臺體的體積公式分別是什么？

5.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式、體積公式之間分別有怎樣的關(guān)系？

二、合作探究

探究點(diǎn)②____________________________

柱、錐、臺的表面積

例1：(1)若圓錐的正視圖是正三角形，則它的側(cè)面積是底面積的()

A.啦倍

B.3倍

C.2倍

D.5倍

(2)已知正方體的8個頂點(diǎn)中，有4個為側(cè)面是等邊三角

形的三棱錐的頂點(diǎn)，則這個三棱錐與正方體的表面積之比為

()

A.1：^2B.1：小

C.2：啦D.3：^6

(3)已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3,

圓臺的側(cè)面積為84兀，則該圓臺較小底面的半徑為()

A.7

B.6

C.5

D.3

探究點(diǎn)@____________________________

柱、錐、臺的體積

例2：如圖所示，正方體ABCD-A山IGOI的棱長為a,過頂點(diǎn)B,D,4截

下一個三棱錐.

(1)求剩余部分的體積；

(2)求三棱錐A-AiBO的體積及高.

探究

組合體的表面積和體積

例3：如圖在底面半徑為2,母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為小的圓柱,

求圓柱的表面積.

1.［變問法］本例中的條件不變，求圓柱的體積與圓錐的體積之比.

解：由例題解析可知：圓柱的底面半徑為r=l,高/7=小，所以圓柱的體積

V\=nrh=7t><l2x4=兀

圓錐的體積丫2=*32小=鳴.

所以圓柱與圓錐的體積比為3：8.

2.［變問法］本例中的條件不變，求圖中圓臺的表面積與體積.

解：由例題解析可知：圓臺的上底面半徑r=l,下底面半徑R=2,高〃=

小，母線/=2,所以圓臺的表面積5=兀CP+^+r-l+Rl)=n(12+22+1X2+

2x2)=117i.

圓臺的體積V=/r(，+〃?+衣2)h=g兀(l2+2+22)x4

3.［變條件、變問法］本例中的“高為小”改為“高為〃”，試求圓柱側(cè)面積的最

大值.

解：設(shè)圓錐的底面半徑為H,圓柱的底面半徑為一,

則R=0C=2,AC=4,

AO=yj42-22=2y[3.

如圖所示易知△AEBSAAOC,

AE_EB

所以Ad=OC'

即粽M

所以h=2y[3—y[3r,

S圓柱伸=2兀/7/—2兀r(2,\/3—d5r)

=-2小71戶+4、[3冗八

所以當(dāng)r=l,/?=小時，圓柱的側(cè)面積最大，其最大值為2小兀.

【學(xué)習(xí)小結(jié)】

1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積

多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.棱柱、棱錐、棱臺的表

面積就是圍成它們的各個面的面積的和.

2.棱柱、棱錐、棱臺的體積

(1)5=曲；(2)V^=^Sh；V^S'+\[SS'+S),其中S',S分別

是棱臺的上、下底面面積，力為棱臺的高.

3.圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積

名稱圖形公式

底面積：5底=出

側(cè)面積：S?=M

圓柱1

&

2*nr表面積：5=2?！?2>/

體積：V=7tr2/

底面積：S底=正

側(cè)面積：S?,j=7tr/

圓錐(二

表面積：S=itrl-Smr

體積：V=^iit2h

上底面面積：S1■庇=口'2

下底面面積：S下底=立

側(cè)面積：S(r+/)

破/

圓臺表面積：

5=兀(/2+/+//+”)

體積：

丫=%〃(川+力+為

【精煉反饋】

1.已知某長方體同一頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3,則該長方體的表面

積為（）

A.22B.20

C.10D.11

2.正三棱錐的高為3,側(cè)棱長為2小，則這個正三棱錐的體積為（）

27

A彳B-4

r271/3

。4D呼

3.已知圓臺的上、下底面的面積之比為9：25,那么它的中截面截得的上、

下兩臺體的側(cè)面積之比是.

4.如圖，三棱臺ABCAiBiG中，AB：AiBi=l：2,求三

棱錐AiABC,三棱錐BA\B\C,三棱錐CA\B\C\的體積之

比.

【第二學(xué)時】

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.記準(zhǔn)球的表面積和體積公式，會計(jì)算球的表面積和體積

2.能解決與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問題

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】

1.球的表面積與體積

2.與球有關(guān)的組合體

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.球的表面積公式是什么？

2.球的體積公式什么？

二、合作探究

探究^^面上

球的表面積與體積

例1:（1）已知球的體積是于，則此球的表面積是（）

A.12兀B.16兀

_16兀

（2）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂

直的半徑，若該幾何體的體積是竽，則它的表面積是（）

A.17兀B.18兀

C.2071D.28兀

探究@L

球的截面問題

例2：如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容

器高8cm,將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰

好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計(jì)容器厚度，則球的體

積為（）

500兀q八866兀q

A.--cm°B.--cm'

探究點(diǎn)血L

與球有關(guān)的切、接問題

角度一球的外切正方體問題

例3：將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為

()

4兀啦兀

A.*yB.2-

C.冬D,^

Zo

角度二球的內(nèi)接長方體問題

例4：一個長方體的各個頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱

的長分別為1，2,3,則此球的表面積為.

角度三球的內(nèi)接正四面體問題

例5：若棱長為。的正四面體的各個頂點(diǎn)都在半徑為H的球面上，求球的表

面積.

角度四球的內(nèi)接圓錐問題

例6：球的一個內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半,

則該圓錐的體積和此球體積的比值為.

角度五球的內(nèi)接直棱柱問題

例7：設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為“，頂點(diǎn)都在一個球面

上，則該球的表面積為()

A.na2B.^TUZ2

11,

C.}T皿-9D.5na-

【學(xué)習(xí)小結(jié)】

1.球的表面積

設(shè)球的半徑為R,則球的表面積S=4兀

2.球的體積

設(shè)球的半徑為R,則球的體積V=芻n.

【精煉反饋】

1.直徑為6的球的表面積和體積分別是（）

A.36兀，144兀B.36兀，36兀

C.144兀，36兀D.144TI,144兀

2.一個正方體的表面積與一個球的表面積相等，那么它們的體積比是（）

A善B*

oZ

恒州

。2D2兀

3.若兩球的體積之和是12n,經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為6兀，則兩

球的半徑之差為（）

A.1B.2

C.3D.4

4.已知棱長為2的正方體的體積與球。的體積相等，則球。的半徑為

5.已知過球面上A,B,C三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且

AB=BC=CA=2,求球的表面積.

【參考答案】

二、合作探究

例1：【答案】(1)C

(2)B

(3)A

【解析】(1)設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為I,則由題意可知，l=2r,

S船=兀尸2r=2兀3，S底=兀/,可知選C.

(2)棱錐Q-ACO為適合條件的棱錐，四個面為全等的等邊三角形，設(shè)正方

體的棱長為1,則B'C=^2,SAB，AC=^.

三棱錐的表面積S錐=4x坐=2S，

又正方體的表面積S正=6.

因此S儺：S正=2?。?=1:小.

(3)設(shè)圓臺較小底面的半徑為r,則另一底面的半徑為3八由S例=3兀(r+

3r)=84兀，解得r=7.

例2：【答案】(1)V三棱錐

111.

=^X-/1BA￡)AIA=^3.

故剩余部分的體積

V=V正方體一V三棱錐A\-ABD=ai—^a3=^ai.

(2)V三棱錐A-A山。=V三棱錐AI-A8D=23.

設(shè)三棱錐A-A18。的高為4,

則V三棱錐

(巾a)2h=^a2h,

322vo

故坐屋

J3

解得h=^-a.

例3：【答案】設(shè)圓錐的底面半徑為R,圓柱的底面半徑為r,表面積為S.

則R=OC=2,AC=4,

AO=\/42~22=2y[3.

如圖所示，A

易知△AEBs^AOC,

所以翳=遂，即露=￡所以-1，Af\

S底=2無戶=2兀，S?j=litr-h=2^/371.三三》,

所以S=S底+S網(wǎng)=2兀+2小無

=(2+2小)7i.

【精煉反饋】

1.【答案】A

【解析】選A.所求長方體的表面積S=2x(1x2)+2x(1x3)+2x(2x3)

=22.

2.【答案】D

【解析】選D.由題意可得底面正三角形的邊長為3,所以V=；x乎X32X3=

孥.故選D.

3.【答案】7：9

【解析】圓臺的上、下底面半徑之比為3：5,設(shè)上、下底面半徑為3x,5x,

則中截面半徑為4x,設(shè)上臺體的母線長為/,

則下臺體的母線長也為/,上臺體側(cè)面積Si=7t(3x+4x)/=7心/,下臺體側(cè)

面積S2=n(4x+5x)l=9nxl,所以5i：S2=7：9.

4.【答案】解:設(shè)棱臺的高為力，SAABC=S,則SAABCI=4S.

所以儂1ABC=gsAABch=gsh,

14

VCA\B\Ci=-^S^A\B\Ci-h:=-jSh.

17

又V臺(S+4s+2S)=^Sh,

所以VBA\B\C=Vi-VA\ABC-VCA\B\C\

7°,Sh4sh20,

~3Sj~T~~~3Sh,

所以體積比為1：2：4.

【第二課時】

例1：【答案】(1)B

(2)A

【解析】(1)設(shè)球的半徑為R,則由已知得

4327r

丫=于7?3=飛-,解得R=2.

所以球的表面積S=4TTR2=]6兀.

(2)由三視圖可得此幾何體為一個球切割掉!后剩下的幾何體,

O

設(shè)球的半徑為r,

,,74a28

?gX-；rr--yn,

73

所以r=2,表面積5=/<4兀，+彳兀,二17兀，選A.

o4

例2：【答案】A

【解析】如圖，作出球的一個截面，則MC=8—6=2(cm),

8M=；AB=；x8=4(cm).

設(shè)球的半徑為Rem,則

R2=OM2+MB2

=(R—2)2+42,

所以R=5,

所以V球=方兀'53=9^9兀(cm3).

例3：【答案】A

【解析】由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的

直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2,故半徑為1,其體積是胃

兀

X7TX1l-35=—4

例4：【答案】14兀

【解析】長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長，即2R=

^l2+22+32=V14,

所以球的表面積5=4兀7?2=[4兀.

例5：【答案】把正四面體放在正方體中，設(shè)正方體棱長為x,則。=啦

x,由題意,

所以S現(xiàn)二而配二呼3足.

93

例6：【答案】或G

【解析】①當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心兩側(cè)時，如圖所示，設(shè)球半徑為一,

事F

則球心到該圓錐底面的距離是會于是圓錐的底面半徑為2

-2，

——3r

IWJ為5?

該圓錐的體積為gx兀x1WXT，球體積為%凡所以

孤39

該圓錐的體積和此球體積的比值為「=琶.

②同理，當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心同側(cè)時，該圓錐的體積和此球體積的比值

73

為亞

例7：【答案】B

【解析】由題意知，該三棱柱為正三棱柱，旦側(cè)棱與底面邊長

相等，均為a-如圖，P為三棱柱上底面的中心，0為球心，易知

4尸=多<坐/=坐2,0尸=%,所以球的半徑R=0A滿足R2=(坐，

+(%)=卷入故S現(xiàn)=4兀7?2=/皿2.

【精煉反饋】

1.【答案】B

4

【解析】選B.球的半徑為3,表面積5=4兀-32=36兀，體積V=^7t-33=367r.

2.【答案】A

【解析】選A.設(shè)正方體棱長為0,球半徑為已由6a2=4兀代得籍、仔，

所以%|5=凱郛=乎.

3.【答案】A

【解析】選A.設(shè)兩球的半徑分別為R,rCR>r),則由題意得

4?i..4K,,一

-r/?3+_rr3=12兀R=2,

解得故R—r=L

r=l.

、2兀7?+2兀r=6兀,

4.【答案】A

4

【解析】設(shè)球0的半徑為r,則步尸=23,

解得「=非.

5.【答案】解：設(shè)截面圓心為O,球心為。，連接OA,

0A,00',

設(shè)球的半徑為R.

因?yàn)镺A=|x坐X2=￥.

在RQO'OA中，0A2=0乂2+。，02,

所以於=（的2+京2,

4

所以R=y

64

所以S球=4兀R2=W兀

7

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

【第一學(xué)時】

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解平面的概念，會用圖形與字母表示平面

2.能用符號語言描述空間中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

3.能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實(shí)理解三個基本事實(shí)的

地位與作用

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】

1.平面的概念

2.點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

3.三個基本事實(shí)及推論

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.教材中是如何定義平面的？

2.平面的表示方法有哪些？

3.點(diǎn)、線、面之間有哪些關(guān)系？如何用符號表示？

4.三個基本事實(shí)及推論的內(nèi)容是什么？各有什么作用？

二、合作探究

探究__________________________

圖形、文字、符號語言的相互轉(zhuǎn)化

例1：（1）用符號語言表示下面的語句，并畫出圖形.

平面ABD與平面BDC交于BD,平面ABC與平面AOC交于AC.

（2）將下面用符號語言表示的關(guān)系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予

以表示.

A^l,ABua,ACu^.

探究點(diǎn)且L

點(diǎn)、線共面問題

例2：證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).

【解】已知：如圖所示，/in/2=A,12nb=B,—C

求證：直線/i,b,，3在同一平面內(nèi).

探究點(diǎn)

三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問題

例3：如圖所示，在正方體ABCD-A山iCiDi中，E、/分別為3____c,

AB.A4i的中點(diǎn).求證：CE,D\F,OA三線交于一點(diǎn).41ds一佚

AEB

［變條件、變問法］若將本例條件中的“E,產(chǎn)分別為AB,的中點(diǎn)”改成

“E,E分別為AB,441上的點(diǎn)，且OiFC!CE=M"，求證：點(diǎn)。、A、M三點(diǎn)共

線.

證明：因?yàn)镺iFnCE=M,

且。iFu平面AiOiZM,所以MW平面4AD4,

同理MG平面BCDA,

從而M在兩個平面的交線上，

因?yàn)槠矫鍭iDiDACl平面BCDA=AD,

所以成立.所以點(diǎn)。、A、M三點(diǎn)共線.

【學(xué)習(xí)小結(jié)】

1.平面

（1）平面的概念

幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象

出來的.平面是向四周無限延展的.

(2)平面的畫法

我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.當(dāng)水平放置時，常把平行

四邊形的一邊畫成橫向;當(dāng)平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.

(3)平面的表示方法

我們常用希臘字母a,但>等表示平面，如平面a、平面以平面y等，并

將它寫在代表平面的平行四邊形的一個角內(nèi)；也可以用代表平面的平行四邊形的

四個頂點(diǎn)，或者相對的兩個頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個平面的名稱.如圖中的

平面a,也可以表示為平面ABC。、平面AC或者平面

2.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系及符號表示

A是點(diǎn)，根是直線,a,夕是平面.

文字語言符號語言圖形語言

A在/上A自AI

A在/外A^l-J/

A在a內(nèi)A且a/

?A

A在a外A^a//

/在1內(nèi)仁akI/

-----/

/在a外4__/

1,加相交于A

1,a相交于AlC\a=A%

a,0相交于I

3.平面的性質(zhì)

基本

文字語言圖形語言符號語言

事實(shí)

A,B,C三點(diǎn)不

過不在一條直線上

基本共線=存在唯一的

的三個點(diǎn)，有且只

事實(shí)i「C/平面a使A,B,

有一個平面

CGa

基本如果一條直線上的_/認(rèn)/_AG/,BGI,且A

事實(shí)2兩個點(diǎn)在一個平面

內(nèi)，那么這條直線lua

在這個平面內(nèi)

如果兩個不重合的

平面有一個公共P^a,且PW

基本

點(diǎn)，那么它們有且80aC6=l,且P

事實(shí)3與

只有一條過該點(diǎn)的e/

公共直線

4.平面性質(zhì)的三個推論

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面.如圖(1).

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.如圖(2).

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.如圖(3).

(1)(2)(3)

【精煉反饋】

1.能確定一個平面的條件是()

A.空間三個點(diǎn)B.一個點(diǎn)和一條直線

C.無數(shù)個點(diǎn)D.兩條相交直線

2.經(jīng)過同一條直線上的3個點(diǎn)的平面()

A.有且只有一個B.有且只有3個

C.有無數(shù)個D.不存在

3.如果直線au平面a,直線bu平面a,MGa,NGb,NGl,則()

A.luaB.

C.lC\a=MD.!T\a=N

4.如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么這兩個平面()

A.沒有其他公共點(diǎn)B.僅有這一個公共點(diǎn)

C.僅有兩個公共點(diǎn)D.有無數(shù)個公共點(diǎn)

5.說明語句mAa=A,A￡/”表示的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，并畫出

圖形.

【第二學(xué)時】

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解空間兩條直線間的位置關(guān)系，理解異面直線的定義

2.了解直線與平面之間的三種位置關(guān)系，并能判斷直線與平面的位置關(guān)系,

會用符號語言和圖形語言表示

3.了解平面與平面之間的兩種位置關(guān)系，并能判斷兩個平面的位置關(guān)系,

會用符號語言和圖形語言表示

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】

1.空間兩直線的位置關(guān)系

2.直線與平面的位置關(guān)系

3.平面與平面的位置關(guān)系

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題:

1.空間兩直線有哪幾種位置關(guān)系？

2.直線與平面的位置關(guān)系有哪幾種？

3.平面與平面的位置關(guān)系有哪幾種？

4.如何用符號和圖形表示直線與平面的位置關(guān)系？

5.如何用符號和圖形表示平面與平面的位置關(guān)系？

二、合作探究

探究點(diǎn)畫__________________________

空間兩直線位置關(guān)系的判定

例1：如圖，在長方體ABCD-AIBCIDI中，判斷下列直線

的位置關(guān)系：

①直線A\B與直線DiC的位置關(guān)系是；

②直線A\B與直線B\C的位置關(guān)系是；

③直線DQ與直線0c的位置關(guān)系是；

④直線AB與直線BiC的位置關(guān)系是

探究點(diǎn)直L

直線與平面的位置關(guān)系

例2：下列命題：

①直線/平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，則/〃a；

②若直線a在平面a外，則.〃。；

③若直線a〃"，直線/?ua,則a〃a；

④若直線a〃。，bua,那么直線。就平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線.

其中真命題的個數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

探究__________________________

平面與平面的位置關(guān)系

例3：已知在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，并且這兩條直線互相平行，那么

這兩個平面的位置關(guān)系一定是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.以上都不對

互動探究

1"變條件］在本例中，若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線

是異面直線”，則兩平面的位置關(guān)系如何？

解：如圖，aua,bu§,a,Z?異面,則兩平面平行或相交.

a

A

①②

2.［變條件］在本例中，若將條件改為平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與平面￡平行,

那么平面a與平面夕的關(guān)系是什么？

解：如圖，a內(nèi)都有無數(shù)條直線與平面夕平行.

A_

①

由圖知，平面a與平面夕可能平行或相交.

3.［變條件］在本例中，若將條件改為平面a內(nèi)的任意一條直線與平面夕平

行，那么平面a與平面夕的關(guān)系是什么？

解：因?yàn)槠矫鎍內(nèi)的任意一條直線與平面夕平行，所以只有這兩個平面平行

才能做到，所以平面a與平面尸平行.

探究

點(diǎn)、線、面位置關(guān)系圖形的畫法

例4：如