常微分方程練習(xí)題及答案(復(fù)習(xí)題)

常微分方程練習(xí)試卷填空題。1.方程是階（線性、非線性）微分方程.2.方程經(jīng)變換，可以化為變量分離方程.3.微分方程滿足條件的解有個(gè).4.設(shè)常系數(shù)方程的一個(gè)特解，則此方程的系數(shù)，，.5.朗斯基行列式是函數(shù)組在上線性相關(guān)的條件.6.方程的只與有關(guān)的積分因子為.7.已知的基解矩陣為的，則.8.方程組的基解矩陣為．9.可用變換將伯努利方程化為線性方程.

10.是滿足方程和初始條件

的唯一解.

11.方程的待定特解可取

的形式:

12.三階常系數(shù)齊線性方程的特征根是計(jì)算題1.求平面上過(guò)原點(diǎn)的曲線方程,該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)(1,0)的連線相互垂直.2．求解方程.3.求解方程。4．用比較系數(shù)法解方程..

5．求方程的通解.6．驗(yàn)證微分方程是恰當(dāng)方程，并求出它的通解.7．設(shè)，，試求方程組的一個(gè)基解基解矩陣，求滿足初始條件的解.8.求方程通過(guò)點(diǎn)的第二次近似解.9.求的通解10.若試求方程組的解并求expAt三、證明題1.若是的基解矩陣，求證：存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣，使得.2.設(shè)是積分方程的皮卡逐步逼近函數(shù)序列在上一致收斂所得的解，而是這積分方程在上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在上.3.設(shè)都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),且是二階線性方程的一個(gè)基本解組.試證明:(i)

和都只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零);(ii)

和沒(méi)有共同的零點(diǎn);(iii)

和沒(méi)有共同的零點(diǎn).4.試證：如果是滿足初始條件的解，那么.答案一.填空題。1.二，非線性2.，3.無(wú)窮多4.5.必要6.7.8.9.10.11.證：是基解矩陣，故存在，令，則可微且，易知.所以而，所以,（常數(shù)矩陣），故.2.設(shè)是積分方程的皮卡逐步逼近函數(shù)序列在上一致收斂所得的解，而是這積分方程在上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在上.證明：由題設(shè)，有，.下面只就區(qū)間上討論，對(duì)于的討論完全一樣。因?yàn)槠渲?，所以其?設(shè)對(duì)正整數(shù)有,則有,故由歸納法，對(duì)一切正整數(shù)，有.而上不等式的右邊是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，故當(dāng)時(shí)，它,因而函數(shù)序列在上一致收斂于.根據(jù)極限的唯一性,即得,.3.設(shè)都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),且是二階線性方程的一個(gè)基本解組.試證明:(i)

和都只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零);(ii)

和沒(méi)有共同的零點(diǎn);(iii)

和沒(méi)有共同的零點(diǎn).證明:和的伏朗斯基行列式為

因和是基本解組,故.

若存在,使得,則由行列式性質(zhì)可得,矛盾.即

最多只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn).同理對(duì)有同樣的性質(zhì),故(i)得證.

若存在,使得,則由行列式性質(zhì)可得,矛盾.即

與無(wú)共同零點(diǎn).故(ii)得證.

若存在,使得,則同樣由行列式性質(zhì)可得,矛盾.即與無(wú)共同零點(diǎn).故(iii)得證.

4.試證：如果是