2024屆山西省太原市高三模擬考試（三）（5月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3山西省太原市2024屆高三模擬考試（三）（5月）數(shù)學(xué)試題第I卷一、選擇題1.（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗.故選：C.2.已知全集，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以或，所以；因為，所以，即..故選：A3.數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗將8個數(shù)據(jù)從小到大排列，得到，，故選取第2個和第3個數(shù)的平均數(shù)作為第25百分位數(shù)，即.故選：B4.的展開式中的系數(shù)為（）A.-20 B.20 C.-30 D.30〖答案〗D〖解析〗因為展開式通項為，當(dāng)時，出現(xiàn)，即此時中含的項為，所以的系數(shù)為.故選：D.5.已知中，是的中點(diǎn)，且，則面積的最大值（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因為所以，因為是中線，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；面積為.故選：A.6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于（）A.點(diǎn)對稱 B.點(diǎn)對稱C.點(diǎn)對稱 D.點(diǎn)對稱〖答案〗D〖解析〗由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，所以，即：，解得，所以，因為，所以選項A是錯誤的；因為，所以選項B是錯誤的；因為，所以選項C是錯誤的；因為，所以選項D是正確的；故選：D.7.已知定義域是的函數(shù)滿足對于任意都有，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以令，則，令，則，令，則，令，則，令，則，所以，，所以，故選：C.8.已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，設(shè)橢圓的方程為，由在上，得，顯然的內(nèi)切圓與直線相切，則該圓半徑為1，而，又，于是，，因此，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：B二、選擇題9.已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線可能是直線 B.曲線可能是圓C.曲線可能是橢圓 D.曲線可能是雙曲線〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以.對于A，當(dāng)時，曲線：為直線，故A正確；對于B，如果曲線是圓，則，矛盾，故曲線不可能是圓，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，曲線可化為，且，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C正確；對于D，當(dāng)時，曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故D正確.故選：ACD.10.已知是函數(shù)極值點(diǎn)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.的對稱中心為 B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，因為，所以的對稱中心為，故A正確；對于B，，令，解得，當(dāng)時，，因為，所以，可得，當(dāng)時，，因為，所以，可得，故B錯誤；對于C，令，解得，當(dāng)或時，，是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，，是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在時有極大值，在時有極小值，如下圖，當(dāng)時，若，則，可得，即，解得，所以；當(dāng)時，如下圖，若，則，可得，即，解得，所以；綜上所述，，故C正確；對于D，由C選項可知，若，，所以，故D錯誤.故選：AC.11.已知正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)，使得平面C.不存在點(diǎn)，使得∥平面D.不存在點(diǎn)，使得平面平面〖答案〗AB〖解析〗如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)設(shè)，則，即，對于選項A：因為，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，因為，且平面，則∥平面，可知點(diǎn)到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，又因為的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于選項B：因為，平面的法向量，若∥，則，解得，即當(dāng)時，平面，故B正確；對于選項C：因為，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，令，解得，即當(dāng)時，∥平面，故C錯誤；對于選項D：令，解得，即當(dāng)時，平面平面，故D錯誤；故選：AB.第II卷(非選擇題)三、填空題12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．〖答案〗〖解析〗拋物線即，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.13.已知直線l過點(diǎn)，且直線l的一個方向向量為，則坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離d為___________.〖答案〗〖解析〗由題知，直線過點(diǎn)，且直線的方向向量為，點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到的距離為故〖答案〗為：.14.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形).類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在內(nèi)(含邊界)一點(diǎn)，若，則的最大值為_____.〖答案〗〖解析〗，取的中點(diǎn)，連接，因為，故，又，所以，故，且，所以的最大值為，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合.故〖答案〗為：四、解答題15.已知等比數(shù)列的前項和為，且也是等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由是等比數(shù)列得，或(舍去)，.（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，.16.為預(yù)防季節(jié)性流感，某市防疫部門鼓勵居民接種流感疫苗.為了進(jìn)一步研究此疫苗的預(yù)防效果，該防疫部門從市民中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行檢測，其中接種疫苗的700人中有570人未感染流感，未接種疫苗的300人中有70人感染流感.醫(yī)學(xué)統(tǒng)計研究表明，流感的檢測結(jié)果存在錯檢現(xiàn)象，即未感染者其檢測結(jié)果為陽性或感染者其檢測結(jié)果為陰性.已知未感染者其檢測結(jié)果為陽性的概率0.01，感染者其檢測結(jié)果為陽性的概率0.95.將上述頻率近似看成概率.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為接種流感疫苗與預(yù)防流感有關(guān)?疫苗流感合計感染未感染接種未接種合計（2）已知某人流感檢測結(jié)果為陽性，求此人感染流感的概率(精確到0.01).附:;0.100.050.01x2.7063.8416.635解：（1）由題意得疫苗流感合計感染未感染接種130570700未接種70230300合計2008001000零假設(shè)為:接種流感疫苗與感染流感無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為接種流感疫苗與感染流感有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過；接種流感疫苗中未感染流感和感染流感的頻率分別為和，未接種流感疫苗中未感染流感和感染流感的頻率分別為和，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為接種疫苗時未感染流感的概率大；（2）設(shè)“某人流感檢測結(jié)果為陽性”，“此人感染流感”，由題意得，，，，，，，即某人流感檢測結(jié)果為陽性，則此人感染流感的概率約為.17.如圖，四棱柱的底面是平行四邊形，底面，.（1）求證：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：底面，底面，在中，，則，，，，平面，平面，，平面，且平面，平面平面；（2）解：由（1）知，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)是平面的一個法向量，則取，則，，；與平面所成角的正弦值為；（3）解：設(shè)是平面的一個法向量，則取，則，，平面與平面夾角的余弦值為.18.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為與，點(diǎn)在上，且直線與的斜率之和為.（1）求雙曲線的方程;（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)(均異于點(diǎn))，直線與直線交于點(diǎn)，求證:三點(diǎn)共線.（1）解：由題意得，且（2）證明：由（1）得，設(shè)直線方程為，則，由得，直線的方程為，令，則，，所以三點(diǎn)共線.19.已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)滿足，證明：．（1）解：函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上遞增，則，即，于是，由，得；由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，所以實數(shù)的取值范圍.（2）證明：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，由，得，令，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)，即在上遞減，在上遞增，，函數(shù)在上遞增，于是，即，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時，則有，即，因此，函數(shù)在上遞減，則，從而，即，顯然，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以.山西省太原市2024屆高三模擬考試（三）（5月）數(shù)學(xué)試題第I卷一、選擇題1.（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗.故選：C.2.已知全集，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以或，所以；因為，所以，即..故選：A3.數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗將8個數(shù)據(jù)從小到大排列，得到，，故選取第2個和第3個數(shù)的平均數(shù)作為第25百分位數(shù)，即.故選：B4.的展開式中的系數(shù)為（）A.-20 B.20 C.-30 D.30〖答案〗D〖解析〗因為展開式通項為，當(dāng)時，出現(xiàn)，即此時中含的項為，所以的系數(shù)為.故選：D.5.已知中，是的中點(diǎn)，且，則面積的最大值（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因為所以，因為是中線，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；面積為.故選：A.6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于（）A.點(diǎn)對稱 B.點(diǎn)對稱C.點(diǎn)對稱 D.點(diǎn)對稱〖答案〗D〖解析〗由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，所以，即：，解得，所以，因為，所以選項A是錯誤的；因為，所以選項B是錯誤的；因為，所以選項C是錯誤的；因為，所以選項D是正確的；故選：D.7.已知定義域是的函數(shù)滿足對于任意都有，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以令，則，令，則，令，則，令，則，令，則，所以，，所以，故選：C.8.已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，設(shè)橢圓的方程為，由在上，得，顯然的內(nèi)切圓與直線相切，則該圓半徑為1，而，又，于是，，因此，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：B二、選擇題9.已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線可能是直線 B.曲線可能是圓C.曲線可能是橢圓 D.曲線可能是雙曲線〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以.對于A，當(dāng)時，曲線：為直線，故A正確；對于B，如果曲線是圓，則，矛盾，故曲線不可能是圓，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，曲線可化為，且，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C正確；對于D，當(dāng)時，曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故D正確.故選：ACD.10.已知是函數(shù)極值點(diǎn)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.的對稱中心為 B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，因為，所以的對稱中心為，故A正確；對于B，，令，解得，當(dāng)時，，因為，所以，可得，當(dāng)時，，因為，所以，可得，故B錯誤；對于C，令，解得，當(dāng)或時，，是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，，是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在時有極大值，在時有極小值，如下圖，當(dāng)時，若，則，可得，即，解得，所以；當(dāng)時，如下圖，若，則，可得，即，解得，所以；綜上所述，，故C正確；對于D，由C選項可知，若，，所以，故D錯誤.故選：AC.11.已知正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)，使得平面C.不存在點(diǎn)，使得∥平面D.不存在點(diǎn)，使得平面平面〖答案〗AB〖解析〗如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)設(shè)，則，即，對于選項A：因為，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，因為，且平面，則∥平面，可知點(diǎn)到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，又因為的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于選項B：因為，平面的法向量，若∥，則，解得，即當(dāng)時，平面，故B正確；對于選項C：因為，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，令，解得，即當(dāng)時，∥平面，故C錯誤；對于選項D：令，解得，即當(dāng)時，平面平面，故D錯誤；故選：AB.第II卷(非選擇題)三、填空題12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．〖答案〗〖解析〗拋物線即，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.13.已知直線l過點(diǎn)，且直線l的一個方向向量為，則坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離d為___________.〖答案〗〖解析〗由題知，直線過點(diǎn)，且直線的方向向量為，點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到的距離為故〖答案〗為：.14.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形).類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在內(nèi)(含邊界)一點(diǎn)，若，則的最大值為_____.〖答案〗〖解析〗，取的中點(diǎn)，連接，因為，故，又，所以，故，且，所以的最大值為，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合.故〖答案〗為：四、解答題15.已知等比數(shù)列的前項和為，且也是等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由是等比數(shù)列得，或(舍去)，.（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，.16.為預(yù)防季節(jié)性流感，某市防疫部門鼓勵居民接種流感疫苗.為了進(jìn)一步研究此疫苗的預(yù)防效果，該防疫部門從市民中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行檢測，其中接種疫苗的700人中有570人未感染流感，未接種疫苗的300人中有70人感染流感.醫(yī)學(xué)統(tǒng)計研究表明，流感的檢測結(jié)果存在錯檢現(xiàn)象，即未感染者其檢測結(jié)果為陽性或感染者其檢測結(jié)果為陰性.已知未感染者其檢測結(jié)果為陽性的概率0.01，感染者其檢測結(jié)果為陽性的概率0.95.將上述頻率近似看成概率.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為接種流感疫苗與預(yù)防流感有關(guān)?疫苗流感合計感染未感染接種未接種合計（2）已知某人流感檢測結(jié)果為陽性，求此人感染流感的概率(精確到0.01).附:;0.100.050.01x2.7063.8416.635解：（1）由題意得疫苗流感合計感染未感染接種130570700未接種70230300合計2008001000零假設(shè)為:接種流感疫苗與感染流感無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為接種流感疫苗與感染流感有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過；接種流感疫苗中未感染流感和感染流感的頻率分別為和，未接種流感疫苗中未感染流感和感染流感的頻率分別為和，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為接種疫苗時未感染流感的概率大；（2）設(shè)“某人流感檢測結(jié)果為陽性”，“此