2024年七年級數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（滬教版）專題02 分式全章復(fù)習(xí)攻略（20個考點）與難點強化訓(xùn)練（解析版）

專題02分式全章復(fù)習(xí)攻略（20個考點）與難點強化訓(xùn)練思維導(dǎo)圖考點一：分式的概念 當(dāng)兩個整數(shù)不能整除時，出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)；類似的當(dāng)兩個整式不能整除時，就出現(xiàn)了分式．一般地，如果，表示兩個整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．整式與分式統(tǒng)稱為有理式．在理解分式的概念時，注意以下三點：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不為0；分式必然是寫成兩式相除的形式，中間以分?jǐn)?shù)線隔開．考點二：分式有意義的條件 兩個整式相除，除數(shù)不能為0，故分式有意義的條件是分母不為0，當(dāng)分母為0時，分式無意義． 如：分式，當(dāng)時，分式有意義；當(dāng)時，分式無意義．考點三：分式的值為零 分式的值為零時，必須滿足分式的分子為零，且分式的分母不能為零，注意是“同時”．考點四：分式的基本性質(zhì) 分式的分子與分母同時乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變．上述性質(zhì)用公式可表示為：，．注意：（1）在運用分式的基本性質(zhì)時，基于的前提是； （2）強調(diào)“同時”，分子分母都要乘以或者除以同一個“非零”的數(shù)字或者整式；（3）分式的基本性質(zhì)是約分和通分的理論依據(jù)．考點五：約分 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母中相同的因式約去的過程，叫做約分．考點六：最簡分式 一個分式的分子、分母沒有相同的因式(1除外）時，這個分式叫做最簡分式．約分可以把一個分式化為最簡分式．考點七：約分的方法（1）當(dāng)分式的分子、分母都是幾個因式的積的形式，則約去分子、分母中相同因式的最低次冪，分子、分母的系數(shù)約去它們的最大公因數(shù)．（2）當(dāng)分式的分子、分母中有多項式，則要先因式分解，再約分．（3）約分一定要徹底，即約分后分子和分母中不含公因式．考點八：分式的乘法法則 兩個分式相乘，將分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母，用式子表示．考點九：分式的除法法則 分式除以分式，將除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘． 用公式表示為．考點十：分式的乘方法則 分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即．考點十一：分式的乘除混合運算 分式的乘除混合運算，有括號先算括號里的，沒有括號按從左到右的順序計算．【注意】（1）在分式除法運算中，除式或（被除式）是整式時，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法則計算；（2）要注意運算順序，對于分式的乘除來講，它只含同級乘除運算，而在同級運算中，如果沒有附加條件（如括號等），那么就應(yīng)該按照由左到右的順序計算．例如：．考點十二：同分母的分式加減法法則同分母分式相加減，分母不變，分子相加減．考點十三：異分母的分式加減法法則（1）通分：將幾個異分母的分式分別化為與原來分式的值相等的同分母分式的過程叫做通分，這幾個相同的分母叫做公分母．（2）異分母分式加減法法則：分母不同的幾個分式相加減，應(yīng)先進(jìn)行通分，化成同分母分式后再進(jìn)行加減運算，運算結(jié)果能化簡的必須化簡．考點十四：分式的綜合運算與分?jǐn)?shù)的混合運算類似，先算乘除，再算加減，如果有括號，要先算括號內(nèi)的．考點十五：分式方程的概念分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程考點十六：解分式方程（1）解分式方程的基本思想:“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了．（2）解分式方程的步驟：①轉(zhuǎn)化：在方程的兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程；②解這個整式方程；③檢驗：把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去．考點十七：分式方程的應(yīng)用其方法和步驟可歸納如下（1）審清題意，分清已知量和未知量；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）根據(jù)題意尋找已知的或隱含的等量關(guān)系，列分式方程；（4）解方程，并驗根；（5）寫出答案．考點十八：零指數(shù)；考點十九：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；考點二十：用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于0而小于1的數(shù)的方法絕對值大于0而小于1的數(shù)等于．題型一：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)1.已知，求的值．【答案】．【解析】由，得，則； 所以．【總結(jié)】本題主要考查利用整體代入得思想進(jìn)行分式的求值．2.已知滿足，求的值．【答案】或．【解析】由題意，得，相加得， 當(dāng)時，；當(dāng)時，那么，代入，得； 綜上所述，或．【總結(jié)】本題主要考查分式的求值，解題時注意分類討論．3.已知，且，，求的值．【答案】或3．【解析】當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，．4.已知，求的值．【答案】．【解析】因為，所以，即， 設(shè)，則． 所以原式．【總結(jié)】本題一方面考查分式的化簡求值，另一方面考查整體代入思想的運用．5.如果記，并且表示當(dāng)時的值，即；表示當(dāng)時的值，即，那么 （結(jié)果用含的代數(shù)式表示，為正整數(shù)）．【答案】．【解析】，，； ， ∴（為正整數(shù)）．題型二：分式的運算1.已知，，求代數(shù)式的值．【答案】-2．【解析】，已知，，所以原式=．【總結(jié)】考察分式的乘除法，注意法則的準(zhǔn)確運用．2.已知，求的值．【答案】．【解析】已知，則，所以，．，當(dāng)，時，原式=．【總結(jié)】本題一方面考查非負(fù)性的運用，另一方面考查分式的化簡求值．3.已知，求：（1）；（2）的值．【答案】（1）11；（2）．【解析】已知，則（等式兩邊同時除以），（1），（2）．【總結(jié)】考察分式的變形，這種變形經(jīng)常用到，因此要徹底理解．4.計算：．【答案】．【解析】=．【總結(jié)】本題主要考查異分母分式的加法，注意先通分，通分時注意平方差公式的運用．5.計算：．【答案】0．【解析】．【總結(jié)】注意分式規(guī)律的運用．6.已知三個數(shù)滿足，求式子的值．【答案】1．【解析】已知三個數(shù)滿足，則，．【總結(jié)】本題綜合性較強，主要考查整體代入思想的運用，以及通過恰當(dāng)?shù)淖冃?，將異分母分式轉(zhuǎn)化為同分母分式．7.計算：．【答案】．【解析】．【總結(jié)】分式計算時，先觀察分式的規(guī)律，適當(dāng)?shù)臅r候作簡便運算．8.已知，，，求的值．【答案】．【解析】已知，，則，，所以．【總結(jié)】利用解方程組的思想消元，得出未知數(shù)之間的關(guān)系，然后通過約分求出分式值．9.已知，，，求的值．【答案】1．【解析】【總結(jié)】本題計算比較復(fù)雜，解題時注意觀察規(guī)律，將難度降低．10.計算：．【答案】．【解析】．【總結(jié)】考察有規(guī)律的分?jǐn)?shù)運算，總結(jié)出規(guī)律為，類似分?jǐn)?shù)的裂項運算．11.已知，求的值．【答案】．【解析】已知，則可設(shè)，．

【總結(jié)】考察分式的乘法運算，遇比設(shè)未知數(shù)進(jìn)行約分求值是一種常用的方法．12.求證：．【解析】

．

【總結(jié)】本題綜合性較強，主要考查分式的變形化簡，解題時注意觀察分子分母間的關(guān)系．13.已知，且，求的值．【答案】1．【解析】因為，所以，代入，可得：，即，，所以，所以，即，所以．【總結(jié)】本題一方面考察分式的變形，另一方面考查整體思想的運用，綜合性較強．14.計算：．【答案】．【解析】【總結(jié)】本題主要考察分式的加法運算，注意觀察分母的規(guī)律，通過裂項進(jìn)行求解．15.已知，且，試求的值．【答案】2【解析】原式變形為：， 所以． 因為，所以， ∴， 所以．【總結(jié)】本題一方面考查分式的化簡求值，另一方面考查整體思想的運用．16.已知，，求的值．【答案】0或±1．【解析】因為，所以，即．所以，即．所以或，當(dāng)時，，∵，所以．綜上，．【總結(jié)】本題綜合性較強，主要是考察分式的變形及其運用．17.計算：．【答案】．【解析】原式 ．【總結(jié)】本題一方面考察完全平方公式的運用，另一方面考查分式的化簡求值．18.已知，，用含的代數(shù)式來表示．【答案】．【解析】已知，則，所以， 所以．【總結(jié)】考察分式的變形．19.化簡：（1）；（2）．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1） ；（2） 【總結(jié)】本題計算比較復(fù)雜，主要考查分式的加減運算，注意方法的選擇運用．20.已知=，用表示的值．【答案】．【解析】因為，所以， 所以，即． 所以．【總結(jié)】本題主要考察分式的變形和完全平方公式的運用．21.化簡：．【答案】．【解析】 【總結(jié)】考察分式化簡，注意觀察分式規(guī)律，利用裂項的方法進(jìn)行運算．22.計算：．【答案】．【解析】 【總結(jié)】考察分式的運算，注意觀察分母的規(guī)律，利用裂項法進(jìn)行計算．23.如果，求的值．【答案】-1．【解析】如果，所以，設(shè)， 所以，所以．【總結(jié)】考察分式的變形以及利用設(shè)“k”法求值．24.已知：，求的值．【答案】1．【解析】原式 【總結(jié)】本題綜合性較強，考察分式的整體計算，主要利用整體代入思想進(jìn)行代入求值．25.化簡：．【答案】0．【解析】 ．【總結(jié)】本題綜合性較強，主要是通過因式分解和拆項找到分子與分母間的關(guān)系，然后利用裂項的方法進(jìn)行求值．題型三：分式方程及其應(yīng)用1.已知分式方程的解為非正數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】．【解析】方程兩邊同時乘以可得：，解得：，因為方程的解為非負(fù)數(shù)，所以，且，則．【總結(jié)】考察分式方程的解法，注意非正數(shù)的理解．2.解關(guān)于的方程：．【答案】．【解析】，兩邊同時乘以，可得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，所以原方程的解為．【總結(jié)】考察分式方程的解法，要熟悉十字相乘法分解因式．3.方程有增根，求的值？【答案】．【解析】方程兩邊同時乘以可得：，解得：， 因為方程有增根，所以或， 當(dāng)，所以，則， 當(dāng)，所以，則， 所以．【總結(jié)】考察分式方程增根的定義4.若關(guān)于的分式方程無解，則．【答案】．【解析】方程兩邊同時乘以可得：，解得：， 因為分式方程無解，所以或或， 當(dāng)，所以，則不存在， 當(dāng)，所以，則， 所以．【總結(jié)】考察分式方程的解法和增根的定義，注意對方程無解的理解．5.已知分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】且．【解析】方程兩邊同時乘以得：，所以，因為方程的解為非負(fù)數(shù)，所以且，所以且．【總結(jié)】分式的解要考慮分母不為零．6.解關(guān)于m的方程：．【答案】．【解析】原方程可化為，方程兩邊同時乘以可得：整理得：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，所以原方程的解為．【總結(jié)】考察分式方程的解法，注意觀察分式方程的規(guī)律．7.解關(guān)于x的方程：．【答案】．【解析】方程兩邊同時乘以可得：，整理可得：，解得：．所以方程的解為．【總結(jié)】本題考察分式方程的解法，注意這個方程不是分式方程，不需要驗根．8.若關(guān)于的方程會產(chǎn)生增根，求的值．【答案】．【解析】方程兩邊同時乘以，可得：，因為方程有增根，所以或是這個方程的解當(dāng)是這個方程的解，則可得，所以當(dāng)是這個方程的解，則可得，所以所以方程的解為．【總結(jié)】本題主要考察分式方程的增根的定義．9.閱讀下列材料解答下列問題：觀察下列方程：①；②；③……（1）按此規(guī)律寫出關(guān)于的第個方程為________________，此方程的解為_________；（2）根據(jù)上述結(jié)論，求出的解．【答案】（1），；（2）．【解析】①，方程的解為1或2；②，方程的解為2和3；③，方程的解為3或4；找規(guī)律可得答案．方程可變形為，由（1）可得：，所以．【總結(jié)】本題主要考察利用規(guī)律求分式方程的解．10.甲、乙兩車同時從相距100千米的A地到B地，甲比乙晚出發(fā)30分鐘，結(jié)果乙 比甲晚到30分鐘，已知甲車速度是乙車速度的2倍，求甲、乙兩車的速度（保留到整 數(shù)）．【答案】乙車速度為50千米/小時，則甲車速度為100千米/小時．【解析】設(shè)乙車速度為千米/小時，則甲車速度為千米/小時 則由題意有：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解， 所以乙車速度為50千米/小時，則甲車速度為100千米/小時．【總結(jié)】考察分式方程的應(yīng)用題．11.某客車從甲地到乙地走全長的高速公路，從乙地到甲地走全長的普通公路．又知在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快，由高速公路從甲地到乙地所需的時間是由普通公路從乙地到甲地所需時間的一半，求該客車由高速公路從甲地到乙地所需要的時間．【答案】4小時．【解析】設(shè)甲地到乙地的時間為小時，則有題意可得：，解得：，經(jīng)檢驗，為原方程的解且符合題意，答：該客車由高速公路從甲地到乙地所需要的時間為4小時．【總結(jié)】考察分式方程在實際問題中的應(yīng)用，注意對題意的理解，列出準(zhǔn)確的方程．一．選擇題（共6小題）1．（2022秋?徐匯區(qū)期末）關(guān)于的分式方程有增根，則的值為A．2 B． C．0 D．1【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出的值．【解答】解：方程兩邊都乘，得原方程有增根，最簡公分母，解得，當(dāng)時，．解得．故選：．【點評】本題考查了分式方程的增根，讓最簡公分母為0確定增根；化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．2．（2022秋?上海期末）如果分式的值為零，那么等于A．2 B． C．2或 D．0【分析】根據(jù)分式的值為0的條件及分式有意義的條件列出關(guān)于的不等式，求出的值即可．【解答】解：的值為零，且，解得．故選：．【點評】本題考查的是分式的值為0的條件，熟知分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022秋?上海期末）分式中，當(dāng)和分別擴大3倍時，分式的值A(chǔ)．?dāng)U大9倍 B．?dāng)U大6倍 C．?dāng)U大3倍 D．不變【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)化簡即可．【解答】解：，分式的值擴大3倍，故選：．【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?青浦區(qū)期末）關(guān)于代數(shù)式，下列說法正確的是A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．當(dāng)時，的值是1 D．當(dāng)時，的值是1【分析】根據(jù)當(dāng)時，有意義，且，即可解答．【解答】解：有意義的條件是：，解得：，即當(dāng)時，故選：．【點評】本題考查了零指數(shù)冪有意義的條件，熟練掌握零指數(shù)冪有意義的條件是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）下列分式方程中，解為的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)方程解的意義，使方程左右兩邊相等的式子值叫方程的解，分別代入判斷即可．【解答】解：當(dāng)時，．中，左邊，右邊，不符合題意；．中，，分母等于0，分式無意義，不符合題意；．中，左邊右邊，符合題意；．中，分母，不符合題意．故選：．【點評】本題考查了分式方程的解，解決本題的關(guān)鍵是正確理解分式方程解的意義，做題時要考慮分母是否為0的情況．6．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）下列各式是最簡分式的是A． B． C． D．【分析】最簡分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．【解答】解：、是最簡分式，故本選項符合題意；、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了最簡分式．熟練掌握一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共12小題）7．（2023秋?奉賢區(qū)期中）當(dāng)時，代數(shù)式的值是4．【分析】將代入計算即可．【解答】解：時，．故答案為：4．【點評】本題考查分式的值，較簡單，代入計算要細(xì)心，避免出錯．8．（2022秋?上海期末）要使分式有意義，則的取值范圍是．【分析】分式有意義時，分母不等于零．【解答】解：當(dāng)分母，即時，分式有意義．故答案為：．【點評】本題考查了分式有意義的條件．從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義分母為零；（2）分式有意義分母不為零；（3）分式值為零分子為零且分母不為零．9．（2022秋?閔行區(qū)校級期末）將表示成只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式為．【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則解答即可．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】本題考查的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等于正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）計算：．【分析】利用分式的加減法則計算即可．【解答】解：原式，故答案為：．【點評】本題考查分式的加減運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）當(dāng)時，分式的值為0．【分析】直接利用分式的值為零則分子為零，分母不為零，進(jìn)而得出答案．【解答】解：分式的值為0，且，解得：且，，，故答案為：．【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．12．（2022秋?楊浦區(qū)期末）如果，，那么1．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)分別求出和，根據(jù)分式的加減法法則計算，得到答案．【解答】解：，，，，，，，故答案為：1．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的性質(zhì)、等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）方程的解是．【分析】方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗即可．【解答】解：，方程兩邊都乘，得，解得：，檢驗：當(dāng)時，，所以是原分式方程的解，故答案為：．【點評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．14．（2022秋?閔行區(qū)校級期末）如果關(guān)于的分式方程無解，則的值為．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)分式方程無解得到，求出的值，代入整式方程即可求出的值．【解答】解：，去分母得：，根據(jù)分式方程無解，得到，即，代入整式方程得：，解得：．故答案為：．【點評】本題考查了分式方程的解，正確記憶在任何時候都要考慮分母為0無解是解題關(guān)鍵．15．（2022秋?閔行區(qū)校級期末）已知，則的值為．【分析】已知等式左邊通分并利用同分母分式的減法法則計算，變形后代入所求式子計算即可求出值．【解答】解：，即，原式．故答案為：．【點評】本題考查了分式的化簡求值，掌握分式的運算法則是關(guān)鍵．16．（2022秋?青浦區(qū)期末）如果關(guān)于的分式方程無解，那么的值是或者．【分析】根據(jù)方程無解得出其對應(yīng)的整式方程的解是或整式方程無解，即可求出．【解答】解：，方程兩邊同時乘以，得：，整理得：，該分式方程無解，，，故答案為：或．【點評】本題考查了分式方程無解的問題，解題關(guān)鍵是掌握分式方程無解說明了其對應(yīng)的整式方程無解或整式方程的解使分母為零．17．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）已知關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的范圍是且．【分析】解方程，用含代數(shù)式表示，由解為正數(shù)求出的取值范圍，注意增根情況．【解答】解：，，，方程的解為正數(shù)，且，且，故答案為：且．【點評】本題考查含參數(shù)的分式方程的解，解題關(guān)鍵是要注意排除增根情況的的值．18．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）觀察分析下列方程：①，②，③；請利用它們所蘊含的規(guī)律，求關(guān)于的方程為正整數(shù)）的根，你的答案是：或．【分析】首先求得分式方程①②③的解，即可得規(guī)律：方程的根為：或，然后將化為，利用規(guī)律求解即可求得答案．【解答】解：由①得，方程的根為：或，由②得，方程的根為：或，由③得，方程的根為：或，方程的根為：或，可化為，此方程的根為：或，即或．故答案為：或．【點評】此題考查了分式方程的解的知識．此題屬于規(guī)律性題目，注意找到規(guī)律：方程的根為：或是解此題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?靜安區(qū)期中）若為最簡分式，且對任意的值，有，且，求的值．【分析】將已知等式進(jìn)行通分得出，，，得出，或，，，然后分情況代入求值即可．【解答】解：，，，，或，，，，當(dāng)，，時，；當(dāng)，，時，，綜上得：的值為或5．【點評】題目主要考查分式的化簡及通分運算，熟練掌握分式的運算進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．20．（2022秋?楊浦區(qū)期末）計算：【分析】首先應(yīng)用平方差公式，可得，據(jù)此推得；然后根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算方法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：【點評】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①，為正整數(shù)）；②計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計算；③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．21．（2022秋?閔行區(qū)校級期末）先化簡，后求值：，然后在0，1，2三個數(shù)中選一個適合的數(shù)，代入求值．【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將使分式有意義的的值代入計算即可．【解答】解：原式，且，且，，則原式．【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．22．（2022秋?青浦區(qū)期末）先化簡后求值：，其中．