2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題12 三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型（原卷版）

專題12三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短。【模型背景】從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.知識儲備：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。【模型解讀】一動點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動速度為V1，在直線MN上運(yùn)動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼績牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·四川綿陽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點(diǎn)D、F分別是邊AB，BC上的動點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF＋FB的最小值是例2．（2023上·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方形中，，，點(diǎn)在上，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，的最小值為．

例3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形中，，，是對角線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）．

A． B． C． D．例4．（2023.綿陽市八年級期中）P是正方形對角線上一點(diǎn)，AB=2，則PA+PB+PC的最小值為。例5．（2023上·福建福州·九年級校聯(lián)考期中）已知如圖，中直徑，，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)，連接，則的最小值為．例6．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)在y軸上，連接，則的最小值是．

例7．（2022·湖南九年級期中）如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個頂點(diǎn)，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，PA+PC的值最??？求此時PA+PC的長度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時，求∠QAC的正弦值．例8．（2023·浙江寧波·九年級開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．例9．（2023.重慶九年級一診）如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，直線BD與拋物線交于另一點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F．（1）求直線BD的解析式；（2）如圖②，點(diǎn)P是直線BE上方拋物線上一動點(diǎn)，連接PD，PF，當(dāng)△PDF的面積最大時，在線段BE上找一點(diǎn)G，使得PG﹣GE的值最小，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)及PG﹣GE的最小值；課后專項訓(xùn)練1．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，，為邊上的一動點(diǎn)，則的最小值等于（）A．2 B．4 C．3 D．52．（2023春·廣東廣州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點(diǎn)，則的最小值等于______．3．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，則的最小值是______．4．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點(diǎn)，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．5．（2023·重慶沙坪壩·八年級?？计谀┤鐖D，在直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，分別以、為邊作矩形，點(diǎn)、在直線上，且，則的最小值是．6．（2023·廣東珠?！ば？既＃┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)是斜邊上的動點(diǎn)，則的最小值為.

7．（2022·湖南·九年級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD為等邊三角形點(diǎn)E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點(diǎn)過點(diǎn)E作EM∥AB，交直線AC于點(diǎn)M作EN∥AC交直線AB于點(diǎn)N，則AN+AM的最大值為．8．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，點(diǎn)M是對角線AC上的一動點(diǎn)，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．9．（2021·山東淄博市·中考真題）兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對角線上的動點(diǎn)到三點(diǎn)距離之和的最小值是__________．10．（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┰诹庑沃校?1)如圖1，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，若，求線段的長度；(2)如圖2，連接．點(diǎn)Q是對角線上的一個動點(diǎn)，若，求的最小值．11．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分別以O(shè)C、OA所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，連接OB，反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象經(jīng)過線段OB的中點(diǎn)D，并與矩形的兩邊交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，直線l：y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)E和點(diǎn)F．（1）寫出中點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出反比例函數(shù)的解析式；（2）連接OE、OF，求△OEF的面積；（3）如圖②，將線段OB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)H恰好落在x軸的正半軸上，連接BH，作OM⊥BH，點(diǎn)N為線段OM上的一個動點(diǎn)，求HN+ON的最小值．

11．（2023·廣西·南寧三中一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)及；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一個動點(diǎn)，求的最小值．13．（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對角線，相交于點(diǎn)O，關(guān)于的對稱圖形為．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，．①求的值；②若點(diǎn)P為線段上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接，一動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動到點(diǎn)P，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動到點(diǎn)A，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動到點(diǎn)A所需要的時間為t，求t的最小值．14．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在，，，求點(diǎn)到的距離．（2）【問題延伸】如圖②，在，，．若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)，過點(diǎn)作于，則的最小值為______．（3）【問題拓展】如圖（3），在矩形中，．點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)．若，則的最小值為______．15．（2022··達(dá)州市九年級期中）如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在、軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，一次函數(shù)的圖象與邊、、軸分別交于點(diǎn)、、，，并且滿足，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)．（1）求的值；（2）連接，若的面積與四邊形的面積之比為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的最小值．16．（2022·江蘇·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有