2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題12 三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型（解析版）

專題12三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短。【模型背景】從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.知識(shí)儲(chǔ)備：在直角三角形中銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即?！灸Ｐ徒庾x】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點(diǎn)D、F分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF＋FB的最小值是【答案】【分析】由FB聯(lián)想到給FB構(gòu)造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC補(bǔ)成等邊△ABP，過(guò)F作BP的垂線FH，GF+FB=GF+FH，易得當(dāng)G、F、H成一直線時(shí)，GF+FB最短，又由于點(diǎn)G為動(dòng)點(diǎn)，易證點(diǎn)G在以AC為直徑的圓上，求點(diǎn)G到PB的最短距離即當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)O到BP的垂線段上時(shí)，GQ的長(zhǎng)度．【詳解】延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P，使CP=AC，連接BP，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BP于點(diǎn)H，取AC中點(diǎn)O，連接OG，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BP于點(diǎn)Q，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4∴AC=CP=2，BP=AB=4∴△ABP是等邊三角形∴∠FBH=30°∴Rt△FHB中，F(xiàn)H=FB∴當(dāng)G、F、H在同一直線上時(shí)，GF+FB=GF+FH=GH取得最小值∵AE⊥CD于點(diǎn)G∴∠AGC=90°∵O為AC中點(diǎn)∴OA=OC=OG=∴A、C、G三點(diǎn)共圓，圓心為O，即點(diǎn)G在⊙O上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到OQ上時(shí)，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P=60°，OP=3，sin∠P=∴∴GH最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了含30°直角三角形性質(zhì)，垂直平分線性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離，圓上點(diǎn)與直線距離，最短路徑，解題關(guān)鍵是找到點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，GH最小，進(jìn)而聯(lián)想到找出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑再計(jì)算．例2．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在上，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值為．

【答案】/【分析】在線段下方作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，求出此時(shí)的長(zhǎng)度便可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，∴，在線段下方作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

∴，∴，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)，∴，∴，，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短性質(zhì)，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造的最小值．例3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形中，，，是對(duì)角線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖：過(guò)點(diǎn)E作，過(guò)點(diǎn)B作，連接,由菱形的性質(zhì)結(jié)合題意可得結(jié)合可得，則,即；再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得,則當(dāng)時(shí)，即F與重合時(shí)，有最小值，最后解直角三角形求出即可．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)E作，過(guò)點(diǎn)B作，連接．

∵在菱形中，，∴，∵，∴，，即．∴．∴．∵∴當(dāng)時(shí)，即F與重合時(shí)，有最小值∴的最小值．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，找到有最小值的位置是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2023.綿陽(yáng)市八年級(jí)期中）P是正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，AB=2，則PA+PB+PC的最小值為。解析：PA+PB+PC=2PA+PB=2（PA+PB）連接AC交BD于O，作BE使∠PBE=30°，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BE，PF=PB.顯然A、P、F共線時(shí)PA+PB最小。此時(shí)

PA+PB=AF∵AB=2,∴AO=BO=,∵∠PBE=30°,∴OE=,BE=利用等面積法:×AF×BE=×AE×BO解得：AF=注意：本題也可以利用費(fèi)馬點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)作圖）來(lái)解決。例5．（2023上·福建福州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知如圖，中直徑，，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】【分析】作交于，交于，連接、、，令交于，由可得，由圓周角定理可得，由等邊三角形的判定及性質(zhì)可得是的垂直平分線，從而得到，由含角直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小為，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，作交于，交于，連接、、，令交于，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，是的垂直平分線，，在中，，，，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小為，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．例6．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在y軸上，連接，則的最小值是．

【答案】【分析】過(guò)作，過(guò)作．再由得，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為，求出即可．【詳解】解：連接，過(guò)作，過(guò)作，

令，即，解得或1，，，，，，．，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為，，，，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查胡不歸問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值．屬于中考選擇題中的壓軸題．例7．（2022·湖南九年級(jí)期中）如果有一條直線經(jīng)過(guò)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA+PC的值最小？求此時(shí)PA+PC的長(zhǎng)度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求∠QAC的正弦值．【答案】(1)直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，PA+PC的值最小，此時(shí)；(3)∠QAC的正弦值為【分析】（1）根據(jù)定義證明△DBA∽△ABC即可得證；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，,此時(shí)最小，設(shè)，則，根據(jù)，列出方程，解方程求解即可求得，進(jìn)而即可求得的長(zhǎng)，即最小值；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，則當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)的值最小，最小值為，進(jìn)而根據(jù)求解即可．（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=36°∵DE垂直平分AB∴AD=BD∴∠B=∠BAD=36°∴∠C=∠BAD又∵∠B=∠B∴△DBA∽△ABC∴直線AD是△ABC的自相似分割線．（2）如圖，連接，，垂直平分AB，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，,此時(shí)最小，，設(shè)，則解得：PA+PC=當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，PA+PC的值最小，此時(shí)；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，，由（2）知，平分點(diǎn)落在上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，即此時(shí)的值最小，最小值為∠QAC的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正弦，垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短，胡不歸問題，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．例8．（2023·浙江寧波·九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．【答案】6【分析】先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH＝AC，則，即當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)，∴AO＝3，，∴，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，如圖所示：∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此時(shí)，，是等邊三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．例9．（2023.重慶九年級(jí)一診）如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，直線BD與拋物線交于另一點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F．（1）求直線BD的解析式；（2）如圖②，點(diǎn)P是直線BE上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PF，當(dāng)△PDF的面積最大時(shí)，在線段BE上找一點(diǎn)G，使得PG﹣GE的值最小，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)及PG﹣GE的最小值；【答案】（1）y＝x+1；（2）點(diǎn)G（，），最小值為；【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，令x=0，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D時(shí)AC的中點(diǎn)，可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線解析式即可．（2）求三角形的面積最值可以轉(zhuǎn)化為求線段長(zhǎng)度的最大值，利用點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可將不共線的線段轉(zhuǎn)換為共線的線段長(zhǎng)度．【詳解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D為AC的中點(diǎn)，∴D（2，2），設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b（k≠0），代入點(diǎn)B和點(diǎn)D，，解得，∴直線BD的解析式為y＝x+1．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交BE交于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+t+4），則點(diǎn)H為（t，t+1），∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，當(dāng)t＝時(shí)，PH最大，此時(shí)點(diǎn)P為（，），當(dāng)PH最大時(shí)，△PDF的面積也最大．∵直線BD的解析式為y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴點(diǎn)F（0，1），在Rt△BFO中，根據(jù)勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線與過(guò)點(diǎn)G作y軸的平行線交于點(diǎn)M，∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG?sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG，當(dāng)P、M、G三點(diǎn)共線時(shí)，PG﹣MG＝PM，否則都大于PM，∴當(dāng)P、M、G三點(diǎn)共線時(shí)，PG﹣MG最小，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴點(diǎn)E（3，），∴PM＝﹣＝，∴點(diǎn)G（，），∴點(diǎn)G（，），PG﹣GE的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)求最值問題，線段的和差求最值問題，找等腰三角形的分類討論，綜合性較強(qiáng)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于（）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由銳角三角函數(shù)可得，即，則當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線且時(shí)，有最小值，由可求最小值為．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線且時(shí)，有最小值，即最小值為，，．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短和銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于______．【答案】4【分析】由四邊形是菱形，根據(jù)已知線段長(zhǎng)度，將轉(zhuǎn)化，再根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)P，四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為5，，，，，，，，，，，，，，即，，當(dāng)A，P，G三點(diǎn)共線且時(shí)，取最小值，最小值為，菱形的面積，，的最小值是4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，以及最短路徑問題，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積公式，將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．3．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】【分析】過(guò)M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)度最小為MH，再算出MC的長(zhǎng)度，在直角三角形MPC中利用三角函數(shù)即可解得MH【詳解】過(guò)M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)度最小∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC為等邊三角形∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=∴此時(shí)得到最小值，∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)，能夠找到最小值時(shí)的P點(diǎn)是解題關(guān)鍵.4．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．【答案】3【詳解】思路引領(lǐng)：在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥AM于T，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AM于H．易證ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解決問題．答案詳解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥AM于T，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC?sin6°＝23，∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值為3，故答案為3．5．（2023·重慶沙坪壩·八年級(jí)校考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，分別以、為邊作矩形，點(diǎn)、在直線上，且，則的最小值是．【答案】【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC交x軸于M，在直線BM上截取BB′＝DE＝1，過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥OM于F，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OC于H，連接B′H．證明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根據(jù)B′H≥B′F，求出B′F即可解決問題．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC交x軸于M，在直線BM上截取BB′＝DE＝1，過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥OM于F，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OC于H，連接B′H．與x軸交于點(diǎn)C，與y軸變于點(diǎn)A，令x=0，y=，令y=0,得x=∴A（0，），C（，0），∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°，∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四邊形DBB′E是平行四邊形，∴BD＝B′E，∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3，∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝，∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥，∴BD＋EC的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．6．（2023·廣東珠?！ば？既＃┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.

【答案】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短畫出圖形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)做，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)共線時(shí)，的值最小，即的最小值為，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·湖南·九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD為等邊三角形點(diǎn)E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，交直線AC于點(diǎn)M作EN∥AC交直線AB于點(diǎn)N，則AN+AM的最大值為．【解答】解：過(guò)E作EH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵EN∥AC，EM∥AB，∴四邊形ANEM是平行四邊形，∠HME＝∠A＝60°，設(shè)EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a，∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，當(dāng)E在點(diǎn)D時(shí)，AH的值最大是：3+4.5＝7.5，AN+AM的最大值為7.5，故答案為：7.5．8．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接BD，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即MA+MB+MD最小，根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等邊三角形，∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵M(jìn)D=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∴DE=，∴2DE=8．∴MA+MB+MD的最小值是8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)．9．（2021·山東淄博市·中考真題）兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)到三點(diǎn)距離之和的最小值是__________．【答案】【分析】由題意易得四邊形是菱形，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，易得，，然后根據(jù)勾股定理可得，則，，進(jìn)而可得，要使為最小，即的值為最小，則可過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，最后根據(jù)“胡不歸”問題可求解．【詳解】解：∵紙條的對(duì)邊平行，即，∴四邊形是平行四邊形，∵兩張紙條的寬度都為，∴，∴，∴四邊形是菱形，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，如圖所示：∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∴，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖所示：∴，要使的值為最小，則需滿足為最小，根據(jù)三角不等關(guān)系可得：，所以當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，取最小，即為BM的長(zhǎng)，如圖所示：∴，∴，∴的最小值為，即的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定及含30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據(jù)三角函數(shù)及菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．10．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┰诹庑沃?，．(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，若，求線段的長(zhǎng)度；(2)如圖2，連接．點(diǎn)Q是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求出，從而得到，，利用勾股定理求出，再運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)在直線的上方作，分別過(guò)點(diǎn)、作于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則，，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，．再根據(jù)菱形性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）解：，，，在菱形中，，，在中，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)在直線的上方作，分別過(guò)點(diǎn)、作于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則，、關(guān)于直線對(duì)稱，，，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，．當(dāng)點(diǎn)與不重合時(shí)，．四邊形是菱形，，，又，，，，，即的最小值是．的最小值是．【點(diǎn)睛】本題是菱形綜合題，考查的是軸對(duì)稱最短路徑問題、點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等，掌握軸對(duì)稱最短路徑的確定方法、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分別以O(shè)C、OA所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，連接OB，反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象經(jīng)過(guò)線段OB的中點(diǎn)D，并與矩形的兩邊交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，直線l：y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)E和點(diǎn)F．（1）寫出中點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出反比例函數(shù)的解析式；（2）連接OE、OF，求△OEF的面積；（3）如圖②，將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在x軸的正半軸上，連接BH，作OM⊥BH，點(diǎn)N為線段OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HN+ON的最小值．

【答案】（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4．【分析】（1）首先確定點(diǎn)B坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可解決問題．（2）求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，再根據(jù)S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB計(jì)算即可．（3）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先證明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ON?sin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)J，N，H共線，且與HK重合時(shí)，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的長(zhǎng)，由此即可解決問題．【詳解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．∵OD=DB，∴D(，2)．∵y=經(jīng)過(guò)D(，2)，∴k=3，∴反比例函數(shù)的解析式為y=．（2）如圖①中，連接OE，OF．由題意E(，4)，F(xiàn)(3，1)，

∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=．（3）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．由題意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，∴BH==2，∴sin∠CBH==．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°．∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH．∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，∴sin∠JOD=，∴NJ=ON?sin∠NOD=ON，∴NH+ON=NH+NJ，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)J，N，H共線，且與HK重合時(shí)，HN+ON的值最小，最小值=HK的長(zhǎng)．∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+ON是最小值為4．【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積，最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．11．（2023·廣西·南寧三中一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程組即可得到結(jié)論；（2）由條件可得BE?DE=OE?EM，設(shè)D(a，-x2?x+1)，則可表示BE、DE、OE、EM的長(zhǎng)，得到關(guān)于a的方程，解方程可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，求出AE、DE長(zhǎng)，則sin∠DAE的值可求；（3）作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，交軸于點(diǎn)P，則∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此時(shí)FH最小，求出最小值即可．【詳解】解：（1）把點(diǎn)，點(diǎn)代入得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∵二次函數(shù)的表達(dá)式為，令，得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．∵軸，∴，．∵，∴．設(shè)，則，∴，，，，∴，解得，（舍去），（舍去），∴，∴，，∴，∴；（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，則，∵，∴，∴，∴，由垂線段最短可知此時(shí)長(zhǎng)度最小，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，垂線段最短，軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及解直角三角形的知識(shí)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．13．（2023春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，關(guān)于的對(duì)稱圖形為．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，．①求的值；②若點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間為t，求t的最小值．【答案】(1)見解析(2)①；②t的最小值為3【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，折疊的性質(zhì)可得，即可求證；（2）①連接交于點(diǎn)M，作交的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，，通過(guò)證明四邊形是矩形，得出，，則，根據(jù)勾股定理得出最后根據(jù)，即可求解；②根據(jù)題意得出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，連接，過(guò)點(diǎn)P作于H，則，進(jìn)而得出，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)O，P，H共線且與重合時(shí)，t有最小值，t的最小值為的值，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵關(guān)于的對(duì)稱圖形為，∴，∴四邊形是菱形．（2）解：①如答圖1中，連接交于點(diǎn)M，作交的延長(zhǎng)線于H．

∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴為中位線，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，在中，∴

②由題意得：點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間如答圖2中，連接，過(guò)點(diǎn)P作于H，由①，得過(guò)點(diǎn)O作于M．如答圖2根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)O，P，H共線且與重合時(shí)，t有最小值，t的最小值為的值，

又所以t的最小值為3．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問題，是中考?jí)狠S題．14．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在，，，求點(diǎn)到的距離．（2）【問題延伸】如圖②，在，，．若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于，則的最小值為______．（3）【問題拓展】如圖（3），在矩形中，．點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)．若，則的最小值為______．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得的長(zhǎng)，再由，即可求解；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于．根據(jù)題意可得的最小值等于的長(zhǎng)，再由當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，可得的最小值等于的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得的長(zhǎng)，再由，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，連接，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得在，從而得到，繼而得到的最小值等于，再由當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，即的長(zhǎng)最小，可得的最小值等于，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于．∵，∴．在中，．∵，∴．∴點(diǎn)到的距離為．（2）如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于．∵，∴的最小值等于的長(zhǎng)，∵當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)H重合，∴的最小值等于的長(zhǎng)，∵，∴．在中，．∵，∴．即的最小值為；故答案為：（3）如圖，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，連接，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，在中，，∴，∴，∴的最小值等于，∵當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，即的長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)G重合，∴的最小值等于，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，即的最小值等于．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022··達(dá)州市九年級(jí)期中）如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在、軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，一次函數(shù)的圖象與邊、、軸分別交于點(diǎn)、、，，并且滿足，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求的值；（2）連接，若的面積與四邊形的面積之比為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）首先求出四邊形的面積，再根據(jù)條件求出的面積，即可解決問題；（3）過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則，即可轉(zhuǎn)化為求的最小值，作點(diǎn)關(guān)于一次函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，交一次函數(shù)于點(diǎn)，即的最小值為，算出長(zhǎng)度即可．【詳解】（1）在中，令，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，把代入中得：，解得：；（2）由（1）得一次函數(shù)為，，，，，，，的面積與四邊形的面積之比為，的面積與四邊形的面積之比為，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，解得：，把代入中得：，；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，，，，作點(diǎn)關(guān)于一次函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，且OO’與直線DF交于Q點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，，，當(dāng)、、在同一直線時(shí)最小，即的最小值為，，，，，在中，，，在中．，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形與函數(shù)的綜合題，包括一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、四邊形的面積，解直角三角形以及胡不歸問題，屬于中考?jí)狠S題．16．（2022·江蘇·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、，若有，則稱點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．（1）如圖2，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)、、、、、、均在小正方形的頂點(diǎn)上，則點(diǎn)E是關(guān)于點(diǎn)B的勾股點(diǎn).（2）如圖3，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn),①求證：；②若，，求的度數(shù)．（3）如圖3，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②直接寫出的最小值．【答案】（2）①證明見解析；②30°；（3）①AE的長(zhǎng)為或；②．【分析】（2）①由矩形性質(zhì)得∠ADC=90