專題11 旋轉（解析版）

數(shù)學八年級下暑假預習專題訓練專題十一旋轉（解析版）【專題導航】目錄【考點一旋轉的定義及性質】......................................1【考點二旋轉的作圖】............................................12【考點三坐標與旋轉規(guī)律問題】....................................18【聚焦考點1】旋轉的定義及性質旋轉的定義在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某一方向轉動一個角度，這樣的運動稱為旋轉，這個定點稱為旋轉中心，轉動的角叫旋轉角，轉動的方向稱為旋轉方向.要點詮釋：旋轉的三個要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角.注意：①旋轉中心在旋轉過程中保持不動；②圖形的旋轉由旋轉中心、旋轉方向和旋轉角決定；③將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一角度，意味著圖形上每一點同時按相同的方向旋轉了相同的角度.旋轉的性質(1)對應點到旋轉中心的距離相等；(2)對應點與旋轉中心所連的線段的夾角等于旋轉角；(3)旋轉前后的兩個圖形全等_.即旋轉不改變圖形的形狀和大小.(4)對應線段相等，對應角相等；要點詮釋：圖形繞某一點旋轉，既可以按順時針旋轉也可以按逆時針旋轉.【典例剖析1】【典例1-1】怎樣將圖中的甲圖案變成乙圖案．【分析】平移前后對應線段是平行的，故本題既需要旋轉，又需要平移兩種圖形變換．【解答】解：步驟：（1）將圖甲繞O點逆時針旋轉一定角度，使樹干與地面垂直．（2）接著將圖（1）向右平移至與圖乙重合即可．【點評】本題考查了圖形的旋轉和平移變化，學生要明確，僅靠一種變換不能達到目的．【典例1-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M為BC的中點，點D在MC上，以點A為中心，將線段AD順時針旋轉a得到線段AE，連接BE，DE．（1）用等式表示線段BE，BM，MD之間的數(shù)量關系，并證明；（2）過點M作AB的垂線，交DE于點N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）由∠DAE＝∠BAC可得∠BAE＝∠CAD，然后SAS證△ABE≌△ACD即可；（2）作EH⊥AB交BC于H，可證△BEF≌△BHF得BE＝BH，再證MH＝MD，再借助MN∥HF，由平行線分線段成比例即可證出．【解答】解：（1）BE+MD＝BM，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵M為BC的中點，∴BM＝CM，∴BE+MD＝BM；（2）EN＝DN．理由如下：如圖，作EH⊥AB交BC于H，交AB于F，由（1）△ABE≌△ACD得：∠ABE＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABC，∴∠ABE＝∠ABD，在△BEF和△BHF中，，∴△BEF≌△BHF（ASA），∴BE＝BH，由（1）知：BE+MD＝BM，∴MH＝MD，∵MN∥HF，∴，∴EN＝DN．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的對稱性等知識，作EH⊥AB構造出全等三角形是解題的關鍵．【典例1-3】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，點B的對應點D剛好落在AC邊上，連接EC．（1）若∠BAC＝50°，求∠BCE的度數(shù)；（2）若AB＝3，BC＝4，求四邊形ABCE的面積．【分析】（1）先根據(jù)三角形內角和定理求得∠BCA＝40°，再根據(jù)旋轉的性質得到∠DAE＝∠BAC＝50°，AE＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質可求得∠ACE的度數(shù)，進而可得∠BCE的度數(shù)；（2）根據(jù)勾股定理得到AC＝5，根據(jù)旋轉的性質得到DE＝BC＝4，根據(jù)三角形的面積公式可得△ABC和△ACE的面積，進一步可得四邊形ABCE的面積．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝50°，∴∠BCA＝40°，∵將△ABC繞點A順時針旋轉得到△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝50°，AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝40°+65°＝105°；（2）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝5，S△ABC＝×3×4＝6，由旋轉可得DE＝AC＝5，∠ADE＝∠B＝90°，∴S△ACE＝×5×4＝10，∴S四邊形ABCE＝S△ABC+S△ACE＝6+10＝16．【點評】本題主要考查了旋轉的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟知旋轉的性質是解題的關鍵．針對訓練1【變式1-1】如圖，點O為等邊三角形ABC內一點，連接OA、OB、OC，以OB為一邊作∠OBM＝60°，且BO＝BM，連接CM、OM．（1）判斷AO與CM的大小關系并證明．（2）若OA＝，OC＝，OB＝，判斷△OMC的形狀并證明．【分析】（1）根據(jù)已知可得△OBM是等邊三角形，得出OM＝OB，∠ABC＝∠OBM，由SAS證明△AOB≌△CMB，即可得出結論；（2）由勾股定理的逆定理即可得出結論．【解答】解：（1）AO＝CM；證明如下：∵∠OBM＝60°，OB＝BM，∴△OBM是等邊三角形，∴OM＝OB，∠ABC＝∠OBM＝60°∴∠ABO＝∠CBM，在△AOB和△CMB中，，∴△AOB≌△CMB（SAS），∴OA＝MC；（2）△OMC是直角三角形；證明如下：∵△AOB≌△CMB，∴CM＝OA＝，∵△OBM是等邊三角形，∴OM＝OB＝，在△OMC中，OM2＝5，OC2+CM2＝（）2+（）2＝5，∴OM2＝OC2+CM2，∴△OMC是直角三角形【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理；證明三角形全等是解決問題的關鍵．【變式1-2】如圖（1）所示，魔術師把4張撲克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，請一位觀眾上臺，把某一張牌旋轉180°．魔術師解除蒙具后，看到4張撲克牌如圖（2）所示，他很快確定了哪一張牌被旋轉過．你能嗎？【分析】認真觀察和思考發(fā)現(xiàn)，由于左邊這四張牌與右邊的牌完全相同．似乎沒有牌被動過，所以旋轉后的圖形與原圖形完全一樣，那么被動過的這張牌上的圖案一定是中心對稱圖形．【解答】解：我能，方法如下：圖（1）與圖（2）中撲克牌完全一樣，說明被旋轉過的牌是中心對稱圖形，而圖中只有方塊4是中心對稱圖形，故方塊4被旋轉過．【點評】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，根據(jù)定義和撲克牌的花色特點可知，當所有圖形都沒有變化的時候，旋轉的是成中心對稱圖形的那個．【變式1-3】如圖，△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝5，BC＝4，將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△DEC，使得CE∥AD，連接BE，與AD交于點F．（1）求證：∠CAD＝∠CBE；（2）求四邊形ACEF的面積．【分析】（1）由旋轉的性質得∠ECD＝∠ACB＝30°，CD＝CA＝5，CE＝CB＝4，可得∠CEB＝∠CBE，∠CDA＝∠CAD，由CE∥AD可得∠CDA＝∠ECD＝30°，再根據(jù)三角形內角和定理可得∠BCD＝90°，∠CBE＝30°，從而可得結論；（2）證明四邊形ACEF是平行四邊形，過點A作AG⊥EC交EC的延長線于點G，求得，根據(jù)平行四邊形的面積公式可得結論．【解答】（1）證明：由旋轉的性質得：∠ECD＝∠ACB＝30°，CD＝CA＝5，CE＝CB＝4，∴∠CEB＝∠CBE，∠CDA＝∠CAD，∵CE∥AD，∴∠CDA＝∠ECD＝30°，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，∵∠CAD+∠CDA+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠ACB＝30°，∴∠BCD＝120°﹣∠ACB＝120°﹣30°＝90°，∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+30°＝120°，∵CB＝CE，∴，∴∠CAD＝∠CBE；（2）解：∵CE∥AD，∴∠EFD＝∠CEB＝30°，又∠CAD＝30°，∴∠EFD＝∠CAD＝30°，∴AC∥EF∴四邊形ACEF是平行四邊形，過點A作AG⊥EC交EC的延長線于點G，如圖，∴∠ACG＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD﹣∠DCE＝180°﹣30°﹣90°﹣30°＝30°，∴，∴S?ACEF＝CE?AG＝4×＝10．【點評】本題主要考查了旋轉的性質，平行線的性質，三角形內角和定理，平行四邊形的判定以及平行四邊形的面積等知識，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵．【能力提升1】【提升1-1】如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉一個角度α，得到△ADE，點B的對應點D恰好落在BC邊上．且點A、B、E在同一條直線上．（1）求證：DA平分∠BDE；（2）若AC⊥DE，求旋轉角α的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質可得：∠1＝∠B，AD＝AB，然后利用等邊對等角可得∠2＝∠B，從而可得∠1＝∠2，即可解答；（2）設AC與DE交于點O，根據(jù)旋轉的性質可得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，再根據(jù)垂直定義可得∠AOE＝90°，從而可得∠C＝∠E＝90°﹣α，然后利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理可得∠2＝∠B＝90°﹣α，再根據(jù)三角形的外角性質可得∠4＝∠B+∠C，從而可得α＝90°﹣α+90°﹣α，最后進行計算即可解答．【解答】（1）證明：如圖：由旋轉得：∠1＝∠B，AD＝AB，∴∠2＝∠B，∴∠1＝∠2，∴DA平分∠EDB；（2）解：如圖，設AC與DE交于點O，由旋轉得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，∵AC⊥DE，∴∠AOE＝90°，∴∠C＝∠E＝90°﹣∠4＝90°﹣α，∵AB＝AD，∴∠2＝∠B＝＝＝90°﹣α，∵∠4是△ABC的一個外角，∴∠4＝∠B+∠C，∴α＝90°﹣α+90°﹣α，解得：α＝72°，∴旋轉角α的度數(shù)為72°．【點評】本題考查了旋轉的性質，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．【提升1-2】已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．（1）如圖（1），CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；（2）如圖（2），將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉（旋轉角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質得到AC＝DC，根據(jù)角平分線的定義得到∠DCB＝∠ACB，證明四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理證明結論；（2）根據(jù)全等三角形的性質得到∠ABC＝∠DEC，根據(jù)三角形內角和定理證明即可．【解答】（1）證明：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴∠DCB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD，∴四邊形ABDC為平行四邊形，∵AB＝AC，∴平行四邊形ABDC為菱形；（2）解：∠ACE+∠EFC＝180°，理由如下：∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ACB+∠ACF＝∠DEC+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝∠ACF，∵∠CEF+∠ECF+∠EFC＝180°，∴∠ACF+∠ECF+∠EFC＝180°，∴∠ACE+∠EFC＝180°．【點評】本題考查的是旋轉變換、菱形的判定、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質，證明△AMB≌△CBD是解題的關鍵．【提升1-3】如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，將△BOC繞點C按順時針旋轉60°，得△ADC，連接OD．（1）判斷△COD的形狀，并證明；（2）當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）直接寫出α為多少度時，△AOD是等腰三角形？【分析】（1）由旋轉的性質得出CO＝CD、∠OCD＝60°即可知△COD是等邊三角形；（2）由旋轉可以得出OC＝DC，∠DCO＝60°，就可以得出△ODC是等邊三角形，就可以得出∠ODC＝60°，從而得出∠ADO＝90°，而得出△AOD的形狀；（3）由條件可以表示出∠AOC＝250°﹣a，就有∠AOD＝190°﹣a，∠ADO＝a﹣60°，當∠DAO＝∠DOA，∠AOD＝ADO或∠OAD＝∠ODA時分別求出a的值即可．【解答】解：（1）△COD是等邊三角形，∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°∴CO＝CD∴△COD是等邊三角形．（2）當α＝150°時，△AOD是直角三角形．∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC＝150°由（1）△COD是等邊三角形∴∠ODC＝60°∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°當α＝150°時，△AOD是直角三角形．（3）∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α∴∠AOC＝250°﹣a．∵△OCD是等邊三角形，∴∠DOC＝∠ODC＝60°，∴∠ADO＝a﹣60°，∠AOD＝190°﹣a，①當∠DAO＝∠DOA時，2（190°﹣a）+a﹣60°＝180°，解得：a＝140°②當∠AOD＝ADO時，190°﹣a＝a﹣60°，解得：a＝125°，③當∠OAD＝∠ODA時，190°﹣a+2（a﹣60°）＝180°，解得：a＝110°∴α＝110°，α＝140°，α＝125°．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質的運用，旋轉的性質的運用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性質的運用，等腰三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．【聚焦考點2】旋轉的作圖在畫旋轉圖形時，首先確定旋轉中心，其次確定圖形的關鍵點，再將這些關鍵點沿指定的方向旋轉指定的角度，然后連接對應的部分，形成相應的圖形．注意：作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個關鍵點與旋轉中心；(2)把連線按要求（順時針或逆時針）繞旋轉中心旋轉一定的角度（旋轉角）；(3)在角的一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；(4)連接所得到的各對應點【典例剖析2】【典例2-1】分別畫出△ABC繞點O逆時針旋轉90°和180°后的圖形．【答案】解：如圖，△A1B1C1是如圖，△A2B2C2是【解析】【分析】根據(jù)旋轉的性質作圖即可?！镜淅?-2】如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）請畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標．（2）請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°后的△A2BC2，并寫出點A2的坐標．【答案】（1）解：如圖，△A∵A1∴根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標特征可知：A1（2）解：如圖，△A∴A2【解析】【分析】（1）根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標特點作圖，再求點的坐標即可；（2）根據(jù)旋轉的性質作圖，再求點的坐標即可。針對訓練2【變式2-1】如圖，的三個頂點的坐標分別為、、．(1)將以點C為旋轉中心旋轉，畫出旋轉后對應的；(2)平移，若A對應點的坐標為，畫出平移后對應的；(3)若將繞某一點旋轉得到，請直接寫出旋轉中心的坐標為．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)網格結構找出點A、B繞點C旋轉后的對應點、的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)A對應點的坐標為，得出先向右平移3個單位再向下平移6個單位到，找出平移后的對應點、、的位置，然后順次連接即可；（3）根據(jù)旋轉的定義結合圖形，連接兩對對應點，交點即為旋轉中心．【詳解】（1）解：即為所求作的三角形，如圖所示：（2）解：即為所求，如圖所示：（3）解：如圖，旋轉中心P為；故答案為：．【點評】本題主要考查平移作圖和旋轉作圖，解題的關鍵是作出平移或旋轉后對應點的位置．【變式2-2】如圖，以點O為旋轉中心，將△ABC按順時針方向旋轉60°，作出旋轉后的圖形(不用寫作法).【解析】如圖所示，△A′B′C即為所求.【能力提升2】【提升2-1】．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1,4),B(4,1),C(4,3).(1)畫出將△ABC向左平移5個單位長度得到的△A1B1C1；(2)畫出將△ABC繞原點0順時針旋轉90°得到的△A2B2C2【解析】(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求.(2)如圖所示，△A2B2C2即為所求.【提升2-2】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC,AD＝AB＝CD＝4,∠B＝∠C＝60°，M是線段BC的中點，將△MDC繞點M旋轉，得到△MD′C′,當MD′與AB交于點E,且MC′與AD交于點F時，得到以點E、F、A為頂點的△AEF.在此過程中，△AEF的周長的最小值是________【答案】4+2eq\r(3)【解析】如圖，連接AM,過點D作DP⊥BC于點P,過點A作AQ⊥BC于點Q,則AQ∥DP.∵AD∥BC,∴四邊形ADPQ是平行四邊形，∴QP＝AD＝4,∠C＝∠B＝60°，∴∠BAQ＝∠CDP＝30°，∴CP＝eq\f(1,2)CD＝2,BQ＝eq\f(1,2)AB＝2,∴BC＝2+2+4＝8.∵點M是BC的中點，∴CM＝BM＝4,∴CD＝CM.易知△MCD,△MAB,△MAD和△MC′D′是等邊三角形，∴∠BMA＝∠BME+∠AME＝60°，∠EMF＝∠AMF+∠AME＝60°，∴∠BME＝∠AMF.在△BME與△AMF中，eq\b\lc\{(\a\al\co1(∠B＝∠FAM,BM＝AM,∠BME＝∠AMF)),∴△BME≌△AMF(ASA),∴BE＝AF,ME＝MF,∴AE+AF＝AE+BE＝AB.∵∠EMF＝60°，∴△EMF是等邊三角形，EF＝MF.∵MF的最小值為點M到AD的距離，等于DP的長，又易得DP＝2eq\r(3),∴EF的最小值是2eq\r(3)，∵△AEF的周長＝AE+AF+EF＝AB+EF,∴△AEF的周長的最小值為4+2eq\r(3).【聚焦考點3】坐標與旋轉規(guī)律問題坐標與圖形變化-旋轉（1）關于原點對稱的點的坐標P（x，y）?P（﹣x，﹣y）（2）旋轉圖形的坐標圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標．常見的是旋轉特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【典例剖析3】【典例3-1】平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（6，﹣1），將OA繞原點按順時針方向旋轉90°得OB，則點B的坐標為（）A．（﹣6，1） B．（﹣1，﹣6） C．（﹣6，﹣1） D．（﹣1，6）【分析】作BC⊥x軸于點C，根據(jù)旋轉的概念和三角函數(shù)值解答即可．【解答】解：作BC⊥x軸于點C，∵點A的坐標為（6，﹣1），將OA繞原點順時針方向旋轉90°得OB，∴OB＝OA，∠BOC＝90°，∴點B的坐標為（﹣1，﹣6），故選：B．【點評】本題考查的是坐標與圖形的變化﹣旋轉問題，掌握旋轉的性質、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．【典例3-2】如圖，在平面直角坐標系中，已知點P（0，1），點A（4，1），以點P為中心，把點A按逆時針方向旋轉60°得到點B，在M1（﹣1，﹣），M2（﹣，0），M3（1，﹣1），M4（2，2）四個點中，直線PB經過的點是（）A．M1 B．M2 C．M3 D．M4【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質可得B（2，1+2），利用待定系數(shù)法可得直線PB的解析式，依次將M1，M2，M3，M4四個點的一個坐標代入y＝x+1中可解答．【解答】解：∵點A（4，1），點P（0，1），∴PA⊥y軸，PA＝4，由旋轉得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，如圖，過點B作BC⊥y軸于C，∴∠BPC＝30°，∴BC＝2，PC＝2，∴B（2，1+2），設直線PB的解析式為：y＝kx+b，則，∴，∴直線PB的解析式為：y＝x+1，當x＝﹣1時，y＝﹣+1，∴點M1（﹣1，﹣）不在直線PB上，當x＝﹣時，y＝﹣1+1＝0，∴M2（﹣，0）在直線PB上，當x＝1時，y＝+1，∴M3（1，）不在直線PB上，當x＝2時，y＝2+1，∴M4（2，2）不在直線PB上．故選：B．【點評】本題考查的是圖形旋轉變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，確定點B的坐標是解本題的關鍵．針對訓練3【變式3-1】小星利用平面直角坐標系繪制了如下風車圖形，他先將△OBA固定在坐標系中，其中A（2，4），B（2，0），接著他將△OBA繞原點O逆時針轉動90°至△OB1A1，稱為第一次轉動，然后將△OB1A1繞原點O逆時針轉動90°至△OB2A2，稱為第二次轉動，…那么按照這種轉動方式，轉動2023次后，點A的坐標為（）A．（4，﹣2） B． C． D．（2，4）【分析】依題意不難發(fā)現(xiàn)第4次旋轉后△OBA回到初始位置，而2023÷4＝505……3，據(jù)此可得當△OBA旋轉2023次后的位置與旋轉第3次后的位置重合，進而可得出答案．【解答】解：∵△OBA每次繞點O逆時針旋轉90°，∴第4次旋轉后△OBA回到初始位置，又∵2023÷4＝505……3，∴當△OBA旋轉2023次后的位置與旋轉第3次后的位置重合，即此時點A與點A3重合，∵點A（2，4），∴點A3（4，﹣2），∴轉動2023次后，點A的坐標為（4，﹣2）．故選：A．【點評】此題主要考查了圖形的旋轉及性質，解答此題的關鍵是找出第4次旋轉后△OBA回到初始位置．【變式3-2】如圖，平面直角坐標系中，有