人教版高中數(shù)學(xué)公式

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.集合{4，4，,可}的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1個;

非空的真子集有2"-2個.

2.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(a*0);

(2)頂點式/(x)=a(x—〃)2+Zr(aH0);

(3)零點式/(x)=tz(x-xt)(x-x2)(a豐0).

3.解連不等式N</(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

…、M+N,M—N

<=>IfM———1<-^—<=>

11

o----------->---------

f(x)-NM—N

4.方程/(x)=0在(匕，右)上有且只有一個實根,與于也、)于也2)<0不等價,前者是后者的一

個必要而不是充分條件.特別地，方程+/?X+C=0(4N0)有且只有一個實根在(匕,七)內(nèi),

等價于/氏)/(&2)<o,或“占)=0且占<—2〈4型t或/氏)=0且"^<一2<42?

2a222a

5.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)/(x)=+法+03工0)在閉區(qū)間［p,q］上的最值只能在％=—處及區(qū)間的兩端

2a

點處取得，具體如下：

h

⑴當(dāng)a>。時，若％=-不~€［。削,則/(XL=/(-丁)，/(尤)max=max{/(，)，/(")}；

2a2a

尤=一與史［p，d>/Wmax=皿{/(〃)，/(夕)}1(")==min{/(P)，F(xiàn)⑷}?

(2)當(dāng)a<0時,若*=-丁€［〃,/，則/(%),&=min{/(p),/(q)},若*=一不右［〃,司，則

2a2a

/(x)1rax=max{/(p)J(q)}，/(x)niin=min{/(p),/(如.

6.一元二次方程的實根分布

依據(jù)：若/(〃。/(〃)<0,則方程/(x)=0在區(qū)間(根,〃)內(nèi)至少有一個實根.

設(shè)/(X)=x2+px+q,則

p--4q20

(1)方程y(x)=o在區(qū)間(加,+8)內(nèi)有根的充要條件為了?！?=0或，p

——>m

2

/("?)>0

/(?)>0

(2)方程/(x)=0在區(qū)間(加,")內(nèi)有根的充要條件為/(〃?)/(〃)<(或，p~—4-qN0或

m<--<n

2

/(附=0或，(〃)=0

q/Cn)>0[af(m)>0

p~-4<7>0

(3)方程/(x)=0在區(qū)間(-℃,〃)內(nèi)有根的充要條件為/?！?<0或<.

--p-<m

I2

7.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

⑴在給定區(qū)間(-8,+00)的子區(qū)間L(形如［%+?>)不同)上含參數(shù)的二

次不等式f(x,t)>0(/為參數(shù))恒成立的充要條件是>0(x").

⑵在給定區(qū)間(-8,+oo)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式/(xMNO(f為參數(shù))恒成立的充

要條件是史L).

?>0f

(3)/(x)=ax4+笈2+c>0恒成立的充要條件是<b>0或—:

,、b2-4ac<0

c>0i

8.元素與集合的關(guān)系

x￡A<=>x任CfjA,XGC^A<=>x/A.

9.德摩根公式

CV(AB)=CVAC^B-^kAB)=CUACVB.

10.包含關(guān)系

AB=AoAB=B=AqBoCuBqCuA

<=>AC(，B=(DogAB=R

11.容斥原理

card(AB)-cardA+cardB—card(AB)

card{ABC)=cardA+cardB+cardC—card(AB)

—card{AB)—card(BC)-card(CA)+card(ABC).

12.真值表

Pq非PP或qP且q

其假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有n個至多有（”—1）個

小于不小于至多有〃個至少有（〃+1）個

對所有X，存在某X,

成立不成立p或q—1〃旦—\Q

對任何X,存在某X，

不成立成立，且q—ip或「q

14.四種命題的相互關(guān)系

若非P則非q互逆若非q則非P

15.充要條件

(1)充分條件：若p=>q,則p是q充分條件.

(2)必要條件：若q=>p,則p是q必要條件.

(3)充要條件：若p=q,且p,則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

⑴設(shè)％?/e[a,]1%.x2那么

(4-/)[/&)_/(巧)]>0。/("一"以〉0。/(x)在口㈤上是增函數(shù);

(玉)—/(/)]<0。"再)一"巧)<0=/(x)在[a，U上是減函數(shù).

%一x2

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；如果/(x)<0,則/(x)

為減函數(shù).

17.如果函數(shù)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù).f(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函

數(shù)y=/(〃)和〃=g(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y=/[g(X)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,

那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則/'(x+a)=/(-x-a)；若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，則

/(x+a)=/(r+a).

20.對于函數(shù)丁=/(x)(xeR),f(x+a)=/g-x)恒成立,則函數(shù)/(x)的對稱軸是函數(shù)尤=巴!—

兩個函數(shù)y=/(x+a)與y=/S-x)的圖象關(guān)于直線x=審對稱.

21.若/(x)=-/(-x+a),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點弓,0)對稱；若/(%)=—/(x+a),則函數(shù)

y=/(x)為周期為2a的周期函數(shù).

22.多項式函數(shù)P(x)=a“x"+a,ix"T++4的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)u>P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.

多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)OP(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱=/(a+x)=f(a-x)

o/(2a-x)=/(x).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=等對稱o/(a+陽)=—mx)

of(a+b—mx)=f(mx).

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù))=/(—x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對稱.

(2)函數(shù)y=f(mx-a)與函數(shù)y=/S—〃比)的圖象關(guān)于直線x=—對稱.

2m

(3)函數(shù)y=/(x)和y=/tM的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移。、上移。個單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+Z?的圖象；若將曲線

/(x,y)=0的圖象右移a、上移。個單位，得到曲線—初=0的圖象.

26.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系

~a)=bof-'(b)=a.

27.若函數(shù)y=/(Zx+O)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=(》)—切，并不是y=㈤，而

k

函數(shù)y=[/-'(kx+加是y='[f(%)_b]的反函數(shù).

k

28.幾個常見的函數(shù)方程

⑴正比例函數(shù)f(x)=ex,f(x+y)=f(x)+=c.

⑵指數(shù)函數(shù)f(x)=ax,f(x+y)=1/W(y)"(l)="0.

(3)對數(shù)函數(shù)/(x)=log(,x,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=l(a>0,aw1).

(4)幕函數(shù)/(x)=V,/(孫)=/(x)/(y)，/'⑴=a.

(5)余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

X

29.兒個函數(shù)方程的周期(約定a〉0)

(1)/(%)=f(x+a),則f(x)的周期T=a；

(2)f(x)-f{x+?)=0,

或f(x+a)=-(/U)豐0),

f(x)

或于(x+a)=(/(x)H0),

/(x)

或;+J/(x)_/2(x)=/(x+?),(/(x)6[0,1]),則/(x)的周期T=2a；

⑶/(x)=l-」一(/(x)聲0),則/(x)的周期T=3a；

f(x+a)

(4)fa+/)=且/(a)=l(/a)"⑺K1,0<1|<2a),則/(幻的周期

T=4a；

(5)/(x)+/(x+〃)+/(x+2〃)/(x+3〃)+/(x+4〃)

=/(x)/(x+a)/(x+2^)/(x+3“)/(x+4〃)，則/(x)的周期T=5a；

(6)f(x+a)=/(x)-/(x+a)，則/(x)的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

生1*

(1)an-,——(a>O,m,neN",且拉>1).

Nd"

-巴1

(2)an=——Qa>b,m,neN",且〃>1).

u

31.根式的性質(zhì)

(1)麗)"=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時，舊=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時，V/=|可=<"'"一°.

—a.a<0

32.有理指數(shù)哥的運算性質(zhì)

(1)ar-as=a,+s{a>0,r,s￡Q).

(2){ar)s=ars{a>0,r,s￡Q).

(3)(ab)r=arbr(a>0,Z?>0,re0).

注：若a>0,p是一個無理數(shù)，則3表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)嘉的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)

指數(shù)寨都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

log4N=b<=>d=N(a>4,a￥l,N>0)

34.對數(shù)的換底公式

<logN

log.N=--—(a>0,且aw1,0,且mw1,N>0).

?og?,a

〃

推論log,W=—log，(a〉0,且a>l,且mwl,N>0).

"m

35.對數(shù)的四則運算法則

若a>0,a#l,M>0,N>0,則

⑴log。(MN)=log.M+log"N;

⑵叫“后=1°8"“一108批；

n

(3)log.M=nlogrtM(neR).

36.設(shè)函數(shù)f(x)=log?,(?x2+bx+c)(a/0),記△=〃-4ac.若/(x)的定義域為R,則a>0,且

△<0;若/(x)的值域為R,則a>0,且△20.對于a=0的情形,需要單獨檢驗.

37.對數(shù)換底不等式及其推廣

若a>0,。>0,x>0,—,則函數(shù)y=logm3x)

a

⑴當(dāng)a>Z?時,在(0,—)和(-,+oo)上y=log(Z>x)為增函數(shù).

aaav

⑵當(dāng)。<人時，在(0,3和(',+8)上>=10g,“Sx)為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃>m>l，p>0,a>0>且awl，則

<1)ioglll+p(n+p)<logmn.

⑵log?mlog?n<logfl.

38.平均增長率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,則對于時間x的總產(chǎn)值y,有)，=NQ+p)”.

39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系

§〃—]

5

an=\'(數(shù)列｛”“｝的前n項的和為s“=6+a,++a?).

40.等差數(shù)列的通項公式

?！?6+(〃-1)4=+6-火〃eN*)；

其前n項和公式為

_〃(4+4)?(?-1)

%-2.叫十2a

d2/1ix

=-7?+(6Z.--d)Yl.

22

41.等比數(shù)列的通項公式

a.==包?q"(〃GN*)；

q

其前n項的和公式為

s.=ji-q

navq=\

或s“=J\-q^

navq-\

42.等比差數(shù)列{““}:an+i=qan+d,ax=b(q0)的通項公式為

h+(n-l)d,q-1

4尸bq*d-b)q"-'-d

.4-1

其前n項和公式為

nb+n(n—1)J,(q-1)

s”='d、i-q',d.

Ii-qq-ii-q

43.分期付款(按揭貸款)

ab(i+b)n

每次還款％=元（貸款a元,〃次還清，每期利率為b）.

(1+Z?)n-1

44.常見三角不等式

JI

(1)若xe(0,5),UPJsinx<x<tanx.

(2)若x￡(0,—),JKiJ1<sinx+cosx<V2.

2

(3)Isinx14-1cosx|>1.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

qin

sin24-cos2^=1,tan^=-------,tan8?c"夕=1.

cos。

46,正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

..n7i(-1)2sina,（n為偶數(shù)）

sin(—+a)=<_]

(-1)2cosa,（n為奇數(shù)）

（n為偶數(shù)）n

,nn、(-l)2cos?,

cos(——+a)=j〃+|

（n為奇數(shù)）(-1)2sina,

47.和角與差角公式

sin(a±6)=sinacosp±cosasinJ3;

cos(6r±/?)=cosacos/?sinasin/;

,八、tana±tanB

tan(z?±/3)=-----------.

1tanatan/3

sin(a+/?)sin(a-^)=sin2or-sin2/7(平方正弦公式)；

cos(a+/?)cos(a-/?)=cos2a-sin2p.

asina+bcosa二J^TP_sin(a+e)(輔助角夕所在象限由點(a/)的象限決定，tan/=一).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos26r=cos2(z-sin26z=2cos2cr-l=l-2sin2cr.

2tana

tan2a

1-tan2a

49.三倍角公式

sin3。=3sin。-4sin，8=4sinOsin。-3)sin(y+0).

冗兀

cos3。=4cos”-3COS6=4COS0COS(y-0)COS(y+0)

cc3tantan3八/萬八、/1八、

tan30=------------=tan0tan(---6)tan(一+0).

l-3tan2^33

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin(G%+0),x￡R及函數(shù)y=COS(GX+。)，x￡R(A,3,°為常數(shù)，且A#0,3>0)的周期

T=——；函數(shù)y=tan(@x+0),xwZ(A,3,0為常數(shù)，且AWO,3>o)的周期T=工.

co2co

51.正弦定理

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a1=b2+c2-2歷cosA;

b1=c1+a2-2cacosB;

c2-cr4-/?2-2abcosC.

53.面積定理

(1)S=—ah=—bh.=—ch(/z>h>僅分別表示a、b、c邊上的高).

222h

(2)S=—ahsinC=—bcsinA=—cas\nB.

222

(3)&QAB=|J(|OA|-|OB|)2-(O4.OB)2.

54.三角形內(nèi)角和定理

在AABC中，有4+8+。=萬=。=萬一(A+3)

<S>.1=y-^y^<?2C=2^-2(A+B).

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin(<wx+Q),xWR及函數(shù)y=cos(<yx+0),xGR(A,3,°為常數(shù)，且AWO,3>0)的周期

27r7tTt

T=——；函數(shù)y=tan(@x+0),xwZ(A,3,°為常數(shù)，且AWO,3>o)的周期T=—.

co2CD

51.正弦定理

，=—=2R.

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=h2+c2-2bccosA;

b2=c2+a2-2racosB;

c2=a2+h2-2abcosC.

53.面積定理

(1)S==gbhb=(ha>hb>4分別表示a、b^c邊上的高).

(2)S=—abs\nC=—hcs\nA=—cas\nB.

222

(3)SA。.^^(\OA\-\OB\)2-(OAOB)2.

54.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有A+8+C=TT<=>C=4一(A+B)

C=￡_A+B^2C=2^_+B)

222

55.簡單的三角方程的通解

sinx=Q<=>x=攵笈+(-1)Aarcsina(keZ,\a\<1).

cosx=a<=>x=2kn±arccosa(kGZ,|?|<1).

tanx=a=>x=k7i+arctana(kwZ,Q￡R).

特別地,有

sina=sin/?0a=A)+(—1)"/?(左wZ).

cosa=cos0<=>a=2kjv±/?(2cZ).

tana=tan,n二=kr+(3*GZ).

56.最簡單的三角不等式及其解集

sinx>a(|〃區(qū)1)oxcQk冗+arcsina.2k兀+乃一arcsind),keZ.

sinx<a(\a\<l)<^>xe：Qkjv一冗一arcsina,2ATT+arcsind),keZ.

cosx>a(\a\<V)<^>xe(2k/r-arccosa,2k冗+arccosa),keZ.

cosx<a(ja\<Y)oxeQk兀+arccosa,2kzr+2乃一arccosa),keZ.

71

tanx>a(ae7?)=>xG(ATF+arctana,k7T+—),keZ.

71

tanx<a(aG7?)=>xG(krc--,k7v+arctand)、keZ.

57.實數(shù)與向量的積的運算律

設(shè)入、以為實數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：X(ua)=(Xu)a;

(2)第一分配律:(X+y)a=Xa+pa;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的數(shù)量積的運算律：

(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(Aa),b=4(a?b)=Aa,b=a,(2b);

(3)(/b)?c=a,c+b?c.

59.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)人

1、人”使得a=AAZe?.

不共線的向量&、已叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(Xj，x),b=(X2，y2)，且bxO,則ab(bN0)=X1％一%2%=

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a?b=|ab|cos0.

61.a-b的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cose的乘積.

62.平面向量的坐標(biāo)運算

⑴設(shè)a=(X]，x),b=(X2，%)，則a+b=(X+x2,y,+y2).

(2)設(shè)a=(x,,y,),b=(x2,y2),則a-b=(x)-x2,y,-y2).

(3)設(shè)A(X1,yJ,B(X2，〉2)，則A8=O8—Q4=(與一毛,當(dāng)一37)

(4)設(shè)a=(x,y),4eR,則4a=(Xx,Xy).

(5)設(shè)a=(X],%),b=(1,%)，則a?b=(中2+%%)?

63.兩向量的夾角公式

cos?=-T==^~^(a=(x?y,),b=(x2,y2)).

64.平面兩點間的距離公式

dAn=\AB\=ylABAB

%22

=7(^2-I)+(y2-3,1)(A(石，X),B(龍2,%))?

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(X],yJ,b=(X2，y2)，且b#0,則

Ab<=>b=Xa<=>xiy2-x2y1=0.

a_Lb(aH0)<=>a,b=0oX1X2+必%=。.

66.線段的定比分公式

設(shè)6(X，X),鳥(龍2,%)，尸(孤丁)是線段片鳥的分點，丸是實數(shù)，且片P=2P￡，則

.—1+4oOpJiOR

_x+4y2]+丸

i+/i

oOP=fOq+(l-r)Og(r=^—).

1+A

67.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(XI,y)、B(x2,y2),C(X3,丫3),則△ABC的重心的坐標(biāo)是

x,+x2+x3y,+y2+y3

3，3

68.點的平移公式

x-x+hx=x—h,,

<,<=><oOP=OP+PP.

y=y+ky=y-k

注：圖形F上的任意一點P(x,y)在平移后圖形F'上的對應(yīng)點為P(x,yj,且PP'的坐標(biāo)為伍次).

69.“按向量平移”的幾個結(jié)論

⑴點P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點P(x+〃,y+左).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象C按向量a=①,幻平移后得到圖象C',則C'的函數(shù)解析式為

y=f(x-h)+k.

(3)圖象C'按向量a=(〃,A)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)=/(x),則C'的函數(shù)解析式為

y=f(x+h)-k.

(4)曲線C:f{x,y)=0按向量a=(/:,%)平移后得到圖象C‘，則C'的方程為f(尤一九y-幻=0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(/i向)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為AA3C所在平面上一點，角所對邊長分別為a,"c,則

222

(1)。為AABC的外心o=OB=OC.

(2)。為AABC的重心=04+08+00=0.

(3)。為AABC的垂心==

(4)。為AABC的內(nèi)心<=>aOA+OOB+cOC=0.

(5)。為AABC的NA的旁心oaOA=OOB+cOC.

71.常用不等式：

(1)〃1€/?=>"+6222。人(當(dāng)且僅當(dāng)2=13時取“=”號).

(2)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取J”號).

2

(3)o'+by+c3>3abe(a>O,b>O,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)同一WW,+4《同+瓦

72.極值定理

已知都是正數(shù)，則有

(1)若積個是定值p,則當(dāng)x=y時和x+y有最小值2J萬；

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時積.有最大值z52.

推廣已知則有(x+y)?=(x—y)2+2xy

(1)若積肛是定值,則當(dāng)|x-y|最大時，|x+y|最大；

當(dāng)|x-y|最小時，|x+y|最小.

(2)若和|x+y|是定值，則當(dāng)|x-y|最大時，|孫|最小;

當(dāng)|x-yl最小時，|孫|最大.

73.一元二次不等式《%2+笈+，>0(或<0)(ak0,A=》2-4ac>0),如果。與+fex+c同號,

則其解集在兩根之外；如果a與以2+法+。異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩

根之間.

玉<X<工2=(X—玉)(工一%2)<°(.〈工2)；

x<x,,>x2<=>(x-Xj)(x-x2)>O(Xj<x2).

74.含有絕對值的不等式

當(dāng)a>0時，有

兇<a=x2<a~。一a<x<a.

國>aoH>足0%>a或％v—a.

75.無理不等式

”)20

a)77w>Jg(x)o<g(x)?o

f(x)>g(x)

f(x)>0,

I----_p.f(x)>0

⑵J/a)>g(x)o{g(x"0或{..??

,g(x)<0

[f(x)>[g(x)]28

[/W>0

(3)"(x)<g(x)=*g(x)>0

J(x)<[g(x)f

76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

(1)當(dāng)a>l時，

af{x)>asW<=>/(x)>g(x)；

/(x)>0

logJ。)>log“g。)=<g。)>0.

/(x)>g(x)

(2)當(dāng)0<a<l時，

afM>as(x>o/(x)<g(x)；

/U)>0

log?/(X)>10g(,g(x)=<g(x)〉0

/(x)<g(x)

77.斜率公式

k=2-4(6(%,X)、P2(x2,y2)).

zr

78.直線的五種方程

(1)點斜式y(tǒng)-yx=Kx-Xy)(直線/過點6(X1,y),且斜率為Z).

(2)斜截式y(tǒng)=3:+0(b為直線/在y軸上的截距).

(3)兩點式上_里=X*(X->2)(R(X|，X)、E(尤2，%)(X尸彳2)).

必一y%2一%1

(4)截距式-+^=1(a,。分別為直線的橫、縱截距，久匕工0)

ab

(5)一般式Ax+8y+C=0(其中A、B不同時為0).

79.兩條直線的平行和垂直

⑴若:y=&/+4，12:y=k2x+b2

①4||4=攵1=k?力產(chǎn)b2；

②4"L4=kJ2--1-

(2)若4:4%++G=0,A：4工++。2=0,且Ai、A?、Bl^B2都不為零,

①小|/2,04=旦力6；

'A,B2G

②4±/2=44+4為=0；

80.夾角公式

⑴tana=|、-hT-k、-I、-

14-k2kl

(/i:y=5+仄,Z21y=k2x+b2,k1k20一1)

(2)tana

44+旦星

(4:Ax+B].y+G=0,4：^x+B2y+C2=0,^^+7?,52H0).

7T

直線4_L6時，直線/1與/2的夾角是X.

2

81.4到4的角公式

(1)tana=kk[.

1+k2kl

(4:y=kxx+bX,l2:y=k2x+b2,k{k2w-l)

AjBz—4B、

⑵tana

A,A2+B}B2

(/]:Ax+gy+G=o,4：B2y+C2=0,+B(B2wO).

TT

直線4_L4時，直線/i到匕的角是＜■.

82.四種常用直線系方程

(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點月(%，%)的直線系方程為y-%(除直線x=x°),其中4

是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點4(&),%))的直線系方程為4(%一/)+3(了一%)=0,其中48是待定的系數(shù).

(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線4：4x+4y+G=0,，2：4x+B2y+G=。的交點的直線系方程

為(4x+4y+￡)+2(4%++C2)=0(除I?)，其中人是待定的系數(shù).

(3)平行直線系方程：直線丁=區(qū)+人中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程.與直線

Ax+5y+C=0平行的直線系方程是Ac+By+；l=O(2/0),人是參變量.

(4)垂直直線系方程：與直線Ax+By+C^O(A￥0,BWO)垂直的直線系方程是Bx-Ay+A^O,

入是參變量.

83.點到直線的距離

d=坐+州。+°!(點p(九0,%),直線/：Ax+By+C=O).

y1A2+B2

84.Ax+8)，+C＞0或＜0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線/:Ar+By+C=O,則Ar+8y+C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

若3*0,當(dāng)B與Ar+8)，+C同號時，表示直線/的上方的區(qū)域；當(dāng)8與Ar+By+C異號時，表示

直線/的下方的區(qū)域.簡言之，同號在上，異號在下.

若3=0,當(dāng)A與Ar+8)，+C同號時，表示直線/的右方的區(qū)域；當(dāng)A與Ar+By+C異號時，表示

直線/的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左.

85.(Ax++G)(4%+6)，+C2)>0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線。：(4%+用了+0(42》+名、+。2)=0(4兒4%聲0),則

(4》+4〉+0(42》+52丁+。2)>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

(Ax+gy+GX^x+^y+G)〉。所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

(4》+4)，+。1)(4》+82丁+。2)<0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

x=a+rcosO

(3)圓的參數(shù)方程\八.

y=b+rsinO

(4)圓的直徑式方程。一可)“一干)+(y-y)(廣2yA(圓的直徑的端點是4占，%)、

B(x2,y2)).

87.圓系方程

(D過點A(x-x),8。2，必)的圓系方程是

(》一玉)(》—%2)+(丁一乂)。-%)+4(》一%)(乂一%)一(丁一、)(西一工2)]=。

o(x-xl)(x-x2)+(y->,l)(y-y2)+A(ax+by+c)=0,其中dx+Z?y+c=0是直線AB的方程，人是待

定的系數(shù).

(2)過直線/:Ax+5y+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程是

x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0,入是待定的系數(shù).

(3)過圓G：/+/2+。山+&)，+耳=()與圓。2：X2+>2+。/+%)，+工=0的交點的圓系方程是

=

x'+y'+D^x+E^y+Fi+A(x~+y'+D2x+E2y+F2)0,入是待定的系數(shù).

88.點與圓的位置關(guān)系

點P(x0,yo)與圓(x—of+(3一與2=/的位置關(guān)系有三種

若d=.(a-XoA+3-%)2,則

d>z■。點P在圓外；d=ru>點P在圓上；d<ru>點P在圓內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系有三種：

d>ro相離o△<0；

d=ro相切<=>△=()；

d<ru>相交oA>0.

其中公"

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為0“02,半徑分別為n,r2)\0{02\=(1

d>/+々o外離o4條公切線；

d=八+々o外切=3條公切線；

+七o相交。2條公切線;

d=\r]-目o內(nèi)切ol條公切線;

0cde卜一G|o內(nèi)含o無公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓d+y2+Dx+Ey+F=0.

①若已知切點(王),%)在圓上，則切線只有一條，其方程是

￡)(x0+x)E(y()+y)A

玉/+yoy+~-+—+F=0.

22

當(dāng)（x0,y0）圓外時，/X++。（彳+幻+E（2°+、+尸=0表示過兩個切點的切點弦方程.

②過圓外一點的切線方程可設(shè)為y-%=Mx-%）,再利用相切條件求k,這時必有兩條切線,

注意不要漏掉平行于y軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為丁=履+人，再利用相切條件求b,必有兩條切線.

⑵已知圓/+）2=

①過圓上的%（小,為）點的切線方程為無/+%>=/；

②斜率為左的圓的切線方程為y=依±n/17淳.

X2V2[x=acos0

92.橢圓）4=1（?！怠?gt;0）的參數(shù)方程是

ab[y=bsin0

22

93.橢圓5+3=1（。>力>0）焦半徑公式

ab

22

\PF{\=e（x+—）,|PF2|=e（----x）.

94.橢圓的的內(nèi)外部

2222

（1）點P（x。,%）在橢圓與+二=l（a>8>0）的內(nèi)部=其+4<1.

ab~ab

（2）點P（xQ,y°）在橢圓--+=1（。>人>0）的外部<=>—Y+請'>1-

95.橢圓的切線方程

22

（1）橢圓二+2=1（。>人>0）上一點P（Xo，%）處的切線方程是警+岑=1.

a-h-a-b

22

Xy

(2)過橢圓=+=1（。>/?>0）外一點P（x0,%）所引兩條切線的切點弦方程是

a

黎+爭“

22

(3)橢圓二+二=1(。＞。＞0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是A2a2+B2/=C2.

ah

96.雙曲線0—與=1(。＞0力＞0)的焦半徑公式

a~b~

22

|^|=kU+y)b\PF^e^--x)\.

97.雙曲線的內(nèi)外部

(1)點P(x0,%)在雙曲線f—=l(d?＞0,/?＞0)的內(nèi)部＜=＞T—＞1.

ahab

2222

⑵點尸(%。,%)在雙曲線「一]=l(a＞0,b＞0)的外部=與一粵vl.

abab~

98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

2222

(1)若雙曲線方程為二―\=1=＞漸近線方程：=-[=0oy=±2x.

ah~aba

22

(2)若漸近線方程為^=±2》0±±2=0=雙曲線可設(shè)為入.

aabab

2222

(3)若雙曲線與二一二=1有公共漸近線，可設(shè)為]一4=入(九＞0,焦點在x軸上，九＜0,

ab-ab

焦點在y軸上).

99.雙曲線的切線方程

(1)雙曲線I—4=1(。＞0力＞0)上一點p(飛,線)處的切線方程是學(xué)一斗=1.

ab-ab~

22

(2)過雙曲線=-與=1(?！?力〉0)外一點「(為,%)所引兩條切線的切點弦方程是

a~lr

出—迎=1

a2b2-

22

(3)雙曲x線次v=1(。＞0力＞0)與直線Ar+8