【《冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用》6900字（論文）】

1冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用 1 1 31.3研究現(xiàn)狀 32相關(guān)理論 42.1冪級(jí)數(shù) 4 53冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用研究 63.1函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 63.2冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法探究 93.3冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的幾點(diǎn)應(yīng)用介紹 4結(jié)論與展望 冪級(jí)數(shù)理論起源于18世紀(jì)，是數(shù)學(xué)的幾個(gè)領(lǐng)域之一.歐拉以及拉朗貝爾是先驅(qū)者，為建立冪級(jí)數(shù)論做了很多方面的工作.1774年，歐拉對(duì)冪級(jí)數(shù)的積分2在他所著的與流體力學(xué)相關(guān)的文章中提及了上述性質(zhì)，比歐拉還要更早一些.所以，人們將這兩個(gè)方程稱(chēng)為了“達(dá)朗貝爾一歐拉方程”.19世紀(jì)，黎曼以及柯19世紀(jì)，冪級(jí)數(shù)論實(shí)現(xiàn)了全面發(fā)展，就好比微積分在18世紀(jì)的數(shù)學(xué)中占據(jù)了統(tǒng)治地位，冪級(jí)數(shù)同樣在19世紀(jì)的數(shù)學(xué)中占據(jù)了統(tǒng)計(jì)地位.黎曼、柯西以及說(shuō)，正式特征他們也已經(jīng)提出了.20世紀(jì)初期，歷經(jīng)較長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展，冪級(jí)數(shù)論的理論越發(fā)完善，技巧也更程的范疇.許多數(shù)學(xué)家也進(jìn)行了非常多的研究工作，如法國(guó)的阿達(dá)瑪、瑞典的米塔-列夫勒等，冪級(jí)數(shù)論也涉及到了越來(lái)越多的研究領(lǐng)極為深遠(yuǎn)的.冪級(jí)數(shù)在研究函數(shù)方面是一個(gè)很有力的工具.作為函數(shù)級(jí)數(shù)中的一種，冪級(jí)級(jí).當(dāng)前對(duì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)研究在不斷發(fā)展，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)日益完善.看，也被當(dāng)作了一種重要工具.運(yùn)用冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，可以解決很多數(shù)學(xué)難題.3善，所以要通過(guò)這個(gè)研究對(duì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)應(yīng)用建立完整體系.線(xiàn)工作人員提供理論的參考.開(kāi)探討起到了極大地幫助，為以后的研究提供參考依據(jù).工程實(shí)際應(yīng)用也罷，都起到了非常重要的作用.作為與無(wú)窮級(jí)數(shù)相關(guān)的最為常用體思路，并且對(duì)詳細(xì)解題過(guò)程進(jìn)行了列示.在對(duì)函數(shù)進(jìn)行表示時(shí)，冪級(jí)數(shù)通過(guò)的應(yīng)用也極為廣泛.在范圍一定的情況下，對(duì)基本初等函級(jí)數(shù)的.冪級(jí)數(shù)是符合四則運(yùn)算法則的，提供了加減乘除這四種運(yùn)算，無(wú)論是積知識(shí)的理解.對(duì)任何概率分布參數(shù)的估計(jì)都是至關(guān)重要的，因?yàn)椴痪_和有偏的兩參數(shù)冪函數(shù)分布的極大似然估計(jì)、矩估計(jì)和百分位估計(jì)的修正.用蒙特卡羅模擬方法表明了估計(jì)量的抽樣行為.對(duì)于某些參數(shù)值組合，在偏差、均方誤差和總4偏差方面，一些修正的估計(jì)量比傳統(tǒng)的極大似然估計(jì)量、矩估計(jì)量和百分位數(shù)估計(jì)量更好.同時(shí)，將函數(shù)和冪級(jí)數(shù)應(yīng)用到科研結(jié)果的驗(yàn)證，同時(shí)它們的應(yīng)用已經(jīng)發(fā)展到了各行各業(yè)，不在局限于理論的研究.密碼學(xué)是近年來(lái)發(fā)展最為迅速的非交換密碼學(xué)，其主要原因是對(duì)量子密碼分析的抵制.SakalauskasE等人[5提出了一種基于矩陣冪函數(shù)的非對(duì)稱(chēng)密碼算法.Akimenko等人[6]研究了兩種具有非線(xiàn)性死亡率和多循環(huán)繁殖條件的年齡結(jié)構(gòu)種群動(dòng)力學(xué)模型的行波解的顯式遞歸算法和數(shù)值性質(zhì).遞歸公式使在研究中能夠建立精確的數(shù)值算法，并通過(guò)一組參數(shù)化代數(shù)函數(shù)對(duì)種群動(dòng)態(tài)的不同場(chǎng)景進(jìn)行大量模擬.從復(fù)變函數(shù)來(lái)看，主要通過(guò)下述方法來(lái)對(duì)解析函數(shù)展開(kāi)了探究：1、Cauchy的冪級(jí)數(shù)方法。在分析解析函數(shù)時(shí)，冪級(jí)數(shù)方法是重要的方法之一，并且在復(fù)雜的功能理論中起著重要的作用。金帥等[71針對(duì)單個(gè)復(fù)變量的分析功能，將冪級(jí)數(shù)展開(kāi)擴(kuò)展到多個(gè)復(fù)變量的乘積域，并成為進(jìn)行多復(fù)變量全純分析的重要工具之一。功能。.Zhou等人[8對(duì)土壤異養(yǎng)呼吸的動(dòng)態(tài)變化及其與氣候因子的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系進(jìn)行研究，用三種模型，即對(duì)數(shù)線(xiàn)性模型、指數(shù)模型和冪模型，進(jìn)行擬合和評(píng)價(jià).結(jié)果表明，冪函數(shù)模型比指數(shù)衰減模型更準(zhǔn)確地描述了亞熱帶森林礦質(zhì)土壤有機(jī)碳的分解動(dòng)態(tài).Rajat等人I?在研究含水層物質(zhì)顆粒粒度分布對(duì)其滲透性的影響時(shí)建立了冪函數(shù)模型，所建立的冪函數(shù)模型為估算井的產(chǎn)量、土工結(jié)構(gòu)下的滲流和合理精度的過(guò)濾器設(shè)計(jì)提供了一個(gè)有效的工具.Goans[101利用傷口保留度的冪函數(shù)描述，不同傷口類(lèi)別在對(duì)數(shù)尺度上呈直線(xiàn)，不同坡度對(duì)應(yīng)不同保留度類(lèi)別.2相關(guān)理論2.1冪級(jí)數(shù)具有下列形式的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)5稱(chēng)為在點(diǎn)x=0處的冪級(jí)數(shù).為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，對(duì)于冪級(jí)數(shù)，求和函數(shù)是通過(guò)將幾個(gè)冪函數(shù)相加而獲得的。所以讓冪函數(shù)存在和函數(shù)為前提，自變量x的取值范圍就可以叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間或者是收斂域.其中，收斂域的二分之一就可以叫做收斂半徑R[111.2.2冪級(jí)數(shù)和函數(shù)由冪級(jí)數(shù)可知，可以把冪級(jí)數(shù)的部分和記為：且部分和S,(x)的極限就是和函數(shù).即涉冪函的和函數(shù)為S(x),收連半徑為R,則：(1)連續(xù)性對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù)而言，若其和函數(shù)為S(x),那么屬于收斂區(qū)間(-R,R)的情況下，該函數(shù)是具有連續(xù)性的；也就是收斂區(qū)間中的所有點(diǎn)都是存在極限值的，和函數(shù)值是相等的.即對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù)而言，若其和函數(shù)為S(x),那么屬于收斂區(qū)間(-R,R)的情況下，該函數(shù)是存在連續(xù)的導(dǎo)數(shù)的，能夠逐項(xiàng)求導(dǎo)，也就是對(duì)于任取的一個(gè)通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)可以得到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，與原級(jí)數(shù)一樣，它們的收斂半徑是一致的；6對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù)而言，若其和函數(shù)為S(x),那么屬于收斂區(qū)間(-R,R)的情況下，該函數(shù)是可積的，還可逐項(xiàng)積分，也就是對(duì)于任取的一個(gè)x∈(-R,R),那么有3冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用研究3.1函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)泰勒中值定理如下：存在一個(gè)函數(shù)f(x),如果有這么一個(gè)將x?包括在內(nèi)的開(kāi)區(qū)間(a,b),一直到(n+1)都存在階導(dǎo)數(shù)，那么在x屬于區(qū)間(a,b)的情況下，f(x)就能夠表示成兩個(gè)部分的和，其一是(x-x?)的n次多項(xiàng)式，其二是余項(xiàng)R,(x):其中這里ξ是x?與x之間的某個(gè)值.7是R,(x)=f(x)-sn+(x)→0(n→0)由此，可證明條件的必要性.8f"(x)=2!a?+3×2a?x+..+.93.1.3冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用的步驟第一步求f'(x),f"(x),.,f(n(x),..第二步求f'(0),f"(0),.,f(n(0),...第三步寫(xiě)出冪級(jí)數(shù),并求出收斂半徑R.第四步考察當(dāng)x在區(qū)間(-R,R)內(nèi)時(shí)余項(xiàng)的極限是否為零.若為零，則在區(qū)間(-R,R)內(nèi)有3.2冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法探究極限，也就是存在，那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是具有收斂性的，且和函數(shù)例3.2-1:求冪級(jí)數(shù)該法簡(jiǎn)單、方便而且容易操作，僅需對(duì)求解得到前n項(xiàng)和進(jìn)行求極限操作即可，所以不論冪級(jí)數(shù)求和是以何種形式出現(xiàn)，該法均可適用.但是應(yīng)當(dāng)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)來(lái)分析，如果冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式較為復(fù)雜，如等，對(duì)定義法進(jìn)行適用并不具有可操作性.3.2.2逐項(xiàng)求導(dǎo)法在冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)中，如果系數(shù)為下述兩種情況，一種是1除以自然數(shù)，另一種是1除以?xún)上噜徸匀粩?shù)，也就是分母中包括了n,那么先進(jìn)行求導(dǎo)、后進(jìn)行積分這種方法會(huì)較為可行.解：根據(jù)題意不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)這一冪級(jí)數(shù)而言，收斂區(qū)間是[-1,1]當(dāng)x≠0時(shí)，不妨設(shè)只需2次求導(dǎo)操作就能夠得到一個(gè)特殊冪級(jí)數(shù)，系數(shù)是與n無(wú)關(guān)的，相當(dāng)于一個(gè)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，根據(jù)求和公式可以得到：上式兩邊積分得：綜上所述3.2.3逐項(xiàng)積分法在冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)中，如果系數(shù)為下述兩種情況，一種是自然數(shù)，另一種是兩相鄰自然數(shù)的乘積，即n在分子上時(shí)，那么先進(jìn)行積分、后進(jìn)行求導(dǎo)這種方法會(huì)較為可行[14]解：根據(jù)題意不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)這一冪級(jí)數(shù)而言，收斂區(qū)間是(一1,+1).兩邊除以x令則將上式兩邊積分得：只需3次求積分操作就能夠得到一個(gè)特殊冪級(jí)數(shù)，通項(xiàng)公式是與n無(wú)關(guān)的，相當(dāng)于一個(gè)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，根據(jù)求和公式可以得到：在上式的基礎(chǔ)上第1次求導(dǎo)，可知：第2次求導(dǎo)得：第3次求導(dǎo)得：而可得所求和函數(shù)3.2.4其他方法例3.2-4:存在一個(gè)冪級(jí)數(shù)試求其和函數(shù)以及收斂域.可知在x=-1的情況下級(jí)數(shù)是收斂的，x=1的情況下級(jí)數(shù)是發(fā)散的，因而收斂區(qū)間為(-1,1).故有3.3.1求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和例1求無(wú)窮級(jí)數(shù)點(diǎn)并且總和很容易得，怎樣利用計(jì)算消除系數(shù)中的3n+1是解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵.因此，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮秃瘮?shù)非常重要。要清除分母中3n+1,該函數(shù)包含一個(gè)x3n+1項(xiàng)，然后求導(dǎo)?；謴?fù)方程式的兩邊以獲得包含x的變量上限整數(shù)，由此可以建立一個(gè)冪級(jí)數(shù),應(yīng)該注意，積分總是從級(jí)數(shù)的收斂中心到x的積分，然后，根據(jù)無(wú)窮級(jí)數(shù)和的特征，得到收斂區(qū)域的x值。常規(guī)步驟如下：找出冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)解易知該冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?-1,1),且從而故3.3.2計(jì)算圓周率π的近似值過(guò)去，數(shù)學(xué)家為此付出了生命和精力，以實(shí)現(xiàn)π精度。直到17世紀(jì)，借助于數(shù)學(xué)分析中反級(jí)數(shù)兩邊對(duì)x積分得到于是，令x=1得3.3.3在積分中的應(yīng)用如果積分是超越函數(shù)，則無(wú)法獲得直接積分的結(jié)果。此時(shí)，可以將積分?jǐn)U展為冪級(jí)數(shù)例2計(jì)算不定積分分析：如果積分符合現(xiàn)有的積分方法，則不會(huì)得到結(jié)果，但是您熟悉e數(shù)的冪級(jí)數(shù)和表達(dá)0然后，使用冪級(jí)數(shù)的屬性在收斂區(qū)間上逐項(xiàng)對(duì)項(xiàng)進(jìn)行積分以獲例3計(jì)算二重積分分析：通常，求二重積分的常用方法是將其轉(zhuǎn)換為X型或Y型形式以獲得結(jié)果.但是，此問(wèn)題使用X類(lèi)型來(lái)計(jì)算在末尾包含x積分變量的定積分.根據(jù)常規(guī)的N-L公式，由于不能獲得原始函數(shù)并且不能獲得最終結(jié)果，因此認(rèn)為可以通過(guò)變換以?xún)缂?jí)數(shù)的形式表示被積函數(shù)，從而得到結(jié)果，簡(jiǎn)潔明了.當(dāng)0≤x<1時(shí)級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù)，它的每一項(xiàng)都連續(xù)且大于0,逐項(xiàng)積分得到級(jí)數(shù)收斂，因此這里等重要結(jié)論可由Fourier級(jí)數(shù)求得.反過(guò)來(lái)，和函數(shù)表示為冪級(jí)數(shù)，并且冪級(jí)數(shù)是表達(dá)函數(shù)的重要工具，因此冪級(jí)數(shù)也可以用來(lái)證明不等式.例4證明不等式分析：在證明不等式的常用方法中，綜合，比較，分析和導(dǎo)數(shù)方要原因是變量x無(wú)法完全統(tǒng)一在一起，并且無(wú)法判斷結(jié)果.但是，我們知道函數(shù)e“很容易表示為冪級(jí)數(shù)，然后通過(guò)冪級(jí)數(shù)比較大小，得到不等式加以證明，拓寬了思路并培養(yǎng)了能力.3.3.5求數(shù)列的極限使用一系列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)來(lái)找到極限是數(shù)學(xué)思維的一種重要方法.對(duì)于一般公式中包含n的公式之和的極限問(wèn)題，可以將級(jí)數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)的總和，根據(jù)級(jí)數(shù)的特性，構(gòu)造相應(yīng)的冪級(jí)數(shù)，求得冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并通過(guò)和函數(shù)在收斂點(diǎn)的函數(shù)值得到數(shù)列的極限的值.例5求極限分析：這個(gè)題是找到無(wú)限多項(xiàng)式之和的極限.因此，不能使用“和的極限等于極限的和”的算法.前面的示例啟發(fā)我們構(gòu)造了冪級(jí)數(shù)求和是在求和函數(shù)中對(duì)所得的結(jié)果.另外，處理此問(wèn)題時(shí)有一個(gè)技巧，即，為了消除n+1,可以將冪級(jí)數(shù)的兩邊構(gòu)造冪級(jí)數(shù)易知其收斂域?yàn)?-1,1),設(shè)且兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，得對(duì)上式兩邊從0到x積分，得因此，當(dāng)x≠0時(shí)，有即顯然故4結(jié)論與展望冪級(jí)數(shù)在賦值過(guò)程中存在截?cái)嗾`差，且很多無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂速度慢，需要較大的展開(kāi)項(xiàng)數(shù)才能獲得可靠的逼近效果.此外，這些逼近方法在自變量區(qū)間內(nèi)效果不穩(wěn)定，例如冪級(jí)數(shù)展開(kāi)在零點(diǎn)附近時(shí)有較好的逼近效果，而漸近級(jí)數(shù)展開(kāi)通常在自變量取值較大時(shí)才能很好地逼近原函數(shù).在計(jì)算機(jī)技術(shù)持續(xù)發(fā)展的同時(shí)，計(jì)算能力的提高，出現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)軟件，例如Matlab、Maple等，這些數(shù)學(xué)軟件由算法標(biāo)準(zhǔn)程序發(fā)展而來(lái)，可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行賦值和操作.但是這些數(shù)學(xué)軟件中對(duì)特殊函數(shù)的賦值算法還是不夠豐富、高效.因此，探索更精確高效的賦值算法，具有重要意義.[3]MuhammadS,UIH,IjazH,etal.CompEstimationMethodsforthePowerFunctionDistribution[J].Plo[4]ZakaA,AkhterAS.ModififortheParametersofthePowerFunctionDistribution[J].PakistanJournalofStatistics&OperationResearch,2014,10(4):369.[5]SakalauskasE,MihalkovichA.NewAsymmetricCiphClassBasedonMatrixPowerFunction[J].Informatica,2[6]AkimenkoVV.Nonlinearage-structuredmodelsofpolycyclicpopudeathratesaspowerfunctionswithexponentn2017,133:175-205.decompositionus