專題15利用相似三角形測高（3個知識點2種題型1種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級上冊

專題15利用相似三角形測高（3個知識點2種題型1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.利用陽光下的影子測量旗桿的高度（重點）知識點2.利用標(biāo)桿測量旗桿的高度（難點）知識點3.利用鏡子的反射測量旗桿的高度（重點）【方法二】實例探索法題型1.求影子在坡（或墻）面上時物體的高度題型2.利用相似測量河寬【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.利用相似三角形測物高【方法四】成果評定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握幾種測量物體高度的方法與原理，能綜合運用相似三角形的判定定理和相似三角形的定義解決問題。通過設(shè)計測量旗桿高度的方案，學(xué)會將實物圖形抽象成幾何圖形的方法，體會將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化思想?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.利用陽光下的影子測量旗桿的高度（重點）【例1】（2022秋·陜西延安·九年級校考期末）如圖，某學(xué)習(xí)小組為了測量校園內(nèi)一棵小樹的高度，用長為的竹竿作測量工具，移動竹竿，使竹竿影子的頂端、樹影子的頂端落在水平地面上的同一點，且點，，在同一直線上．已知，，求這棵樹的高度．【答案】這棵樹的高度為【分析】利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴．答：這棵樹的高度為．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，讀懂題目信息，確定出相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式】（2022秋·九年級課時練習(xí)）賀哲同學(xué)的身高1.86米，影子長3米，同一時刻金老師的影子長2.7米，則金老師的身高為米（結(jié)果保留兩位小數(shù)）?！敬鸢浮?.67【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．【詳解】解：根據(jù)相同時刻的物高與影長成比例，設(shè)金老師的高度為xm，則，解得x=1.67．故答案為：1.67．【點睛】本題主要考查同一時刻物高和影長成正比．考查了同學(xué)們利用所學(xué)知識解決實際問題的能力．知識點2.利用標(biāo)桿測量旗桿的高度（難點）【例2】（2023·廣東佛山·校考三模）如圖，小穎同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DE＝8cm，DF＝10cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝m．【答案】7.5【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長后加上小穎同學(xué)的身高即可求得樹高AB．【詳解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，∴由勾股定理求得EF＝0.06m，∴，∴BC＝6米，∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．故答案為：7.5．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．【變式】如圖，小明欲測量一座古塔的高度，他拿出一根竹桿豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過竹桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面，竹桿頂端離地面，小明到竹桿的距離，竹桿到塔底的距離，求這座古塔的高度．【答案】古塔的高度是米．【分析】先根據(jù)小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EH⊥AB可知，BH=DG=EF=1.6m，再小明眼睛離地面1.6m，竹桿頂端離地面2.4m求出CG的長，由于CD∥AB可得出△EGC∽△EHA，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出AH的長，進(jìn)而得出AB的長．【詳解】∵小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EH⊥AB，∴BH=DG=EF=1.6m，EG=DF，GH=DB，∵小明眼睛離地面1.6m，竹桿頂端離地面2.4m，∴CG=CD-EF=2.4-1.6=0.8m，∵CD∥AB，∴△EGC∽△EHA，DF=2m，DB=33m，∴，即，解得AH=14m，∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m，答：古塔的高度是15.6米．【點睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，先根據(jù)題意得出相似三角形，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出結(jié)論是解答此題的關(guān)鍵．知識點3.利用鏡子的反射測量旗桿的高度（重點）【例3】（2022秋·九年級單元測試）李師傅用鏡子測量一棵古樹的高，但樹旁有一條小河，不便測量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，第一次把鏡子放在點（如圖所示），人在點正好在鏡中看到樹尖；第二次他把鏡子放在處，人在處正好看到樹尖．已知李師傅眼睛距地面的高度為，量得為，為，為，求樹高．【答案】這棵古樹的高為10m【分析】根據(jù)反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，所以可得△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：根據(jù)反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)∴解得．∴這棵古樹的高為10m．【點睛】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．【變式1】（2022秋·九年級課時練習(xí)）每年的秋冬季節(jié)，青竹湖湘一外國語學(xué)校的銀杏大道是學(xué)校最為靚麗的一條風(fēng)景線，數(shù)學(xué)彭老師有一天為了測量一棵高不可攀的銀杏樹高度，他利用了反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設(shè)計如圖所示的測量方案：把鏡子放在離銀杏樹m的點處，然后觀測者沿著直線后退到點，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點，再用皮尺量得m，觀測者目高m，則樹高約是多少米？【答案】樹高約是7m．【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出△ABE∽△CDE，再根據(jù)其相似比解答．【詳解】根據(jù)題意，易得，，則，則，即，解得：AB=7m，答：樹高AB約是7m．【點睛】此題考查相似三角形的應(yīng)用，應(yīng)用反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，運用相似比即可解．【變式2】（2022秋·九年級課時練習(xí)）小強在地面E處放一面鏡子，剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端B，此時EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC＝1.6米，請計算出教學(xué)樓AB的高度．（根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角）【答案】教學(xué)樓AB的高度為16米【分析】根據(jù)反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，則可判斷Rt△AEB∽Rt△CED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，即可求出AB．【詳解】解：根據(jù)題意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，∴Rt△AEB∽Rt△CED，∴，即解得：AB＝16（米）．答：教學(xué)樓AB的高度為16米．【點睛】此題考查了相似三角形的實際應(yīng)用，利用入射角與反射角相等得到相似三角形是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，蘇海和蘇洋很想知道射陽日月島上“生態(tài)守護者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他們帶著測量工具來到雕像前進(jìn)行測量，測量方案如下：如圖，首先，蘇海在C處放置一平面鏡，他從點C沿后退，當(dāng)退行0.9米到E處時，恰好在鏡子中看到雕像頂端A的像，此時測得蘇海眼睛到地面的距離為1.2米；然后，蘇海沿的延長線繼續(xù)后退到點G，用測傾器測得雕像的頂端A的仰角為，此時，測得米，測傾器的高度米．已知點B、C、E、G在同一水平直線上，且、、均垂直于，求雕像的高度．

【答案】【分析】根據(jù)已知條件推出，求得與的關(guān)系，再根據(jù)題意易得四邊形、四邊形、四邊形均為矩形，得到，根據(jù)，得，構(gòu)造一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)米，如圖，

根據(jù)題意可得，，，∴，∴,∴，∵點B、C、E、G在同一水平直線上，且、、均垂直于，，∴四邊形、四邊形、四邊形均為矩形，∴，∵，∴，∴解得∴答：雕像的高度為16.8米．【點睛】本題考查相似三角形的判定、性質(zhì)與實際應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．【方法二】實例探索法題型1.求影子在坡（或墻）面上時物體的高度1．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖所示，在離某建筑物處有一棵樹，在某時刻，長的竹竿垂直地面，影長為，此時，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影高為，那么這棵樹高約有多少米？【答案】這棵樹高．【分析】因為在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同，利用竹竿這個參照物就可以求出圖中的，是的影子，然后加上CD就是樹高．【詳解】過點作交于點則，，即答：這棵樹高．【點睛】解決此類問題的關(guān)鍵是利用在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同這個結(jié)論，列出方程求解．2．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點，CD是水平的，在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上.若鐵塔底座寬CD=12m，塔影長m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時刻小明站在點E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m和1m，求塔高AB．【答案】塔高AB為24m.【分析】過點D構(gòu)造矩形，把塔高的影長分解為平地上的BD，斜坡上的DE．然后根據(jù)影長的比分別求得AG，GB長，把它們相加即可．【詳解】如圖，過點D作，交AE于點F，過點F作，垂足為點G.由題意得，，∴，∵，，∴，∴，答：塔高AB為24m.【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用；解決本題的難點是把塔高的影長分為在平地和斜坡上兩部分；關(guān)鍵是利用平地和斜坡上的物高與影長的比得到相應(yīng)的部分塔高的長度．題型2.利用相似測量河寬3．（2022秋·九年級課時練習(xí)）為測量一河兩岸相對電線桿、之間的距離，有四位同學(xué)分別測量出了一下四組數(shù)據(jù)：①，；②，，；③，，；④，，；能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出、間距離的共有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系可以借助邊角關(guān)系求出AB的長，也可以利用相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)求出AB的長.【詳解】①因為知道∠ACB和AC的長，所以可利用∠ACB的正切來求AB的長，故①正確；②可利用∠ACB和∠ADB的正切由CD的長，得出關(guān)于AB，AC的比例式，利用方程求出AB即可，故②正確；③因為△ABD∽△EFD可利用，求出AB即可，故③正確；④無法求出A，B間距離，故④錯誤，故共有3組可以求出A，B間距離，故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用和解直角三角形的應(yīng)用，解答道題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題只要把實際問題抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．4．（2023秋·山東濟南·九年級期末）如圖，為估算某河的寬度，在河對岸選定一個目標(biāo)點A，在近岸取B，C，D三點，使得，，點E在上，并且點A，E，D在同一條直線上，若測得，，，則河的寬度為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出和相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解．【詳解】∵，，∴又∵，∴，∴即解得故選D．【點睛】考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·湖南岳陽·九年級?？计谥校┤鐖D，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標(biāo)點，在近岸取點，，，使得，，點在上，并且點，，在同一條直線上．若測得，，，則河的寬度等于．【答案】【分析】易證△ABE∽△DCE，即可求得．【詳解】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC∴△ABE∽△DCE∴即故答案為：【點睛】本題考查相似三角形的實際應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2021春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的P點處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為________米．【答案】22.5【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性質(zhì)解題．解：過P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如圖所示設(shè)河寬為x米．∵AB∥CD，∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，∴△PDC∽△PBA，∴，∴，依題意CD=20米，AB=50米，∴，解得：x=22.5（米）．答：河的寬度為22.5米．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.利用相似三角形測物高1．（2022?德州）如圖，把一根長為4.5m的竹竿AB斜靠在石壩旁，量出竿長1m處離地面的高度為0.6m，則石壩的高度為（）A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m【分析】根據(jù)DC∥BF，可得＝，進(jìn)而得出BF即可．【解答】解：過點B作BF⊥AD于點F，∵DC⊥AD，BF⊥AD，∴DC∥BF，∴△ACD∽△ABF，∴＝，∴＝，解得：BF＝2.7．故選：A．【點評】本題考查了相似三角形應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．2．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解答】解：如圖：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解答．3．（2022?廣西）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是米．【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．【解答】解：據(jù)相同時刻的物高與影長成比例，設(shè)金字塔的高度BO為x米，則可列比例為，，解得：x＝134，經(jīng)檢驗，x＝134是原方程的解，∴BO＝134．故答案為：134．【點評】本題主要考查同一時刻物高和影長成正比．考查利用所學(xué)知識解決實際問題的能力．4．（2021?吉林）如圖，為了測量山坡的護坡石壩高，把一根長為4.5m的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出竿上AD長為1m時，它離地面的高度DE為0.6m，則壩高CF為m．【分析】根據(jù)DE∥CF，可得，進(jìn)而得出CF即可．【解答】解：如圖，CF⊥AB，則DE∥CF，∴，即，解得CF＝2.7，故答案為：2.7．【點評】本題考查了相似三角形應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．5．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為米．【分析】過點F作FG⊥CD，垂足為G，延長FG交AB于點H，根據(jù)題意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，從而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后證明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出BH的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：過點F作FG⊥CD，垂足為G，延長FG交AB于點H，由題意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度為18.2米，故答案為：18.2．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2021?南通）如圖，利用標(biāo)桿DE測量樓高，點A，D，B在同一直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E，C．若測得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，樓高BC是多少？【分析】根據(jù)平行線的判定得到DE∥BC，然后，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝9（m），答：樓高BC是9m．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，證得△ADE∽△ABC是解題的關(guān)鍵．7．（2022?陜西）小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB．【分析】解法一：先證明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的長，再證明△BOC∽△AOD，可得OB的長，最后由線段的差可得結(jié)論．解法二：過點C作CM⊥OD于C，證明△EGF∽△MDC可得結(jié)論．【解答】解：解法一：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF，∵∠AOD＝∠EFG＝90°，∴△AOD∽△EFG，∴＝，即＝，∴AO＝15，∵AD∥BC，∴△BOC∽△AOD，∴＝，即＝，∴BO＝12，∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）；解法二：如圖，過點C作CM⊥OD于C，交AD于M，∵△EGF∽△MDC，∴＝，即＝，∴CM＝3，即AB＝CM＝3（米），答：旗桿的高AB是3米．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵掌握相似三角形的判定，屬于中考?？碱}型．【方法四】成果評定法一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?德城區(qū)期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的辦法，如圖所示，在井口A處立一垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀測井水水岸D，視線BD與井口的直徑CA交于點E，若測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，則水面以上深度CD為（）A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對應(yīng)邊成比例即可得出CD．【解答】解：由題意知：AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴解得CD＝3，∴水面以上深度CD為3米．故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023春?尤溪縣期末）如圖，淇淇同學(xué)在湖邊看到一棵樹，他目測出自己與樹的距離為20m，樹的頂端在水中的倒影距自己5m遠(yuǎn)，淇淇的身高為1.7m，則樹高為（）A．3.4m B．4.7m C．5.1m D．6.8m【分析】由題意可知，圖中出現(xiàn)相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：由相似三角形的性質(zhì)，設(shè)樹高x米，則＝，∴x＝5.1m．故選：C．【點評】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，正確記憶相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．3．（2023?城關(guān)區(qū)一模）四分儀是一種十分古老的測量儀器．其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學(xué)家托勒密的《天文學(xué)大成》．圖1是古代測量員用四分儀測量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過窺衡桿測望井底點F、窺衡桿與四分儀的一邊BC交于點H．圖2中，四分儀為正方形ABCD．方井為矩形BEFG．若測量員從四分儀中讀得AB為1，BH為0.5，實地測得BE為2.5．則井深BG為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ABC＝90°，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BG＝EF，∠BEF＝90°，從而可得∠ABH＝∠FEH＝90°，然后證明8字模型相似三角形△ABH∽△FEH，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵BE＝2.5，BH＝0.5，∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2，∵四邊形BEFG是矩形，∴BG＝EF，∠BEF＝90°，∴∠ABH＝∠FEH＝90°，∵∠AHB＝∠EHF，∴△ABH∽△FEH，∴＝，∴＝，∴EF＝4，∴BG＝EF＝4，故選：A．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023春?臨淄區(qū)期末）如圖，將一個裝有水的杯子傾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一個寬BC＝6cm，長CD＝16cm的矩形．當(dāng)水面觸到杯口邊緣時，邊CD恰有一半露出水面，那么此時水面高度是（）A．9.6cm B．9.3cm C．8.6cm D．7.2cm【分析】直接利用勾股定理得出BF的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【解答】解：如圖所示：作BF⊥AE于點F，由題意可得，BC＝6cm，CF＝DC＝8cm，故BF＝＝＝10（cm），可得：∠CFB＝∠BAE，∠C＝∠AEB，故△BFC∽△BAE，∴，∴，解得：BE＝9.6cm．故選：A．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解答】解：如圖：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解答．6．（2022秋?泗陽縣期末）如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，已知標(biāo)桿BE高2m，測得AB＝3m，BC＝6m．則建筑物CD的高是（）A．4m B．9m C．8m D．6m【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△AEB∽△ADC，∴＝，∴＝，∴CD＝6（m），故選：D．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．7．（2023春?招遠(yuǎn)市期末）如圖，小明探究課本“綜合與實踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測試距離為5m時，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“E”字高度為62.7mm，當(dāng)測試距離為3m時，最大的“E”字高度為（）A．37.62mm B．43mm C．43.62mm D．104.5mm【分析】根據(jù)條件可得△ADF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由題意可得：△ADF∽△ABC，當(dāng)測試距離為3m時，最大的“E”字高度為xmm，5m＝5000mm，3m＝3000mm，解得：x＝37.62，∴當(dāng)測試距離為3m時，最大的“E”字高度為37.62mm；故選：A．【點評】本題考查了相似三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．8．（2023春?福山區(qū)期末）如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度．如果標(biāo)桿BE高1.2m，測得AB＝1.6m，BC＝12.6m，則樓高CD是（）A．9.45m B．10.65m C．14.2mm D．16.8m【分析】先證明△ABE∽△ACD，則利用相似三角形的性質(zhì)得＝，然后利用比例性質(zhì)求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.65（米）．故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．9．（2023春?新泰市期末）如圖，為估算某河的寬度，在河對岸選定一個目標(biāo)點A，在近岸取B，C，D三點，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上，若測得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，則河的寬度為（）A．20m B．30m C．40m D．60m【分析】由兩角對應(yīng)相等可得△BAE∽△CDE，利用對應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，∴，解得：AB＝40，故選：C．【點評】考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識點為：兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊成比例．10．（2023春?芝罘區(qū)期末）操場上有一根豎直的旗桿AB，它的一部分影子（BC）落在水平地面上，另一部分影子（CD）落在操場的墻壁上，經(jīng)測量，墻壁上的影高為1.2m，地面的影長為2.6m，同時測得一根高為2m的竹竿OM的影長是ON＝1.6m，請根據(jù)以上信息，則旗桿的高度是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m【分析】首先需先求出這棵樹全落在地面上時的影子的長，即這棵樹在底面上的影子長與墻壁上的影子落在地面上的投影長度之和；一根長為2m的竹竿的影長是1.6m；根據(jù)竹竿的高與其影長的比值和樹高與其影長的比值相同，即可列方程求出這棵樹的高度．【解答】解：由題意可知，留在墻壁上的樹影高為1.2m，設(shè)這段影子在地面上的長為a，可得：＝，∴a＝0.96m．∴這棵樹全落在地面上時的影子的長為：2.6+0.96＝3.56（m）．設(shè)樹高為xm，再根據(jù)竹竿的高與其影長的比值和樹高與其影長的比值相同可列比例式為：＝，∴x＝4.45．∴樹高是4.45m．故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列方程是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）11．（2022秋?邗江區(qū)期末）如圖，小明用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB．他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm．EF＝30cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求樹高AB是9m．【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高AB．【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D∴△DEF∽△DCB∴＝，∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，∴＝，∴BC＝7.5米，∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米．故答案為：9．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．12．（2023?海州區(qū)一模）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，則零件的厚度x為0.5cm．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長，再根據(jù)某零件的外徑為10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm，∴AB＝9cm，∵某零件的外徑為10cm，∴零件的厚度x為：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），故答案為：0.5cm．【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是求出AB的值．13．（2023?長嶺縣模擬）為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)點P，在近岸取點Q和S，使點P，Q，S共線且直線PS與河岸垂直，然后在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞cT，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R．已測得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，則河寬PQ＝90m．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而代入求出即可．【解答】解：根據(jù)題意得出：QR∥ST，則△PQR∽△PST，∴，∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，∴，解得：PQ＝90（m），∴河的寬度為90米．故答案為：90．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△PQR∽△PST是解題關(guān)鍵．14．（2023春?乳山市期末）小明在測量教學(xué)樓的高度時，先測出教學(xué)樓落在地面上的影長為20米，然后豎直放置一根高為2米的標(biāo)桿，測得標(biāo)桿的影長為3米，則樓高為米．【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求解．【解答】解：設(shè)樓高為x米，根據(jù)題意得，，解得：，故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．15．（2023?吉林二模）如圖是某風(fēng)力發(fā)電機示意圖，其相同的三個葉片均勻分布，每個葉片長30m，即OA＝30m．水平地面上的點M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方70m，即OM＝70m．當(dāng)風(fēng)力發(fā)電機葉片外端點A離地面的高度最大時，若垂直于地面的木棒EF與影長FG的比為1：2，則此刻風(fēng)力發(fā)電機的影長為200m．【分析】當(dāng)OA在MO的延長線時，風(fēng)力發(fā)電機葉片外端點A離地面的高度最大，最大高度＝OA+OM＝100米，然后設(shè)此刻風(fēng)力發(fā)電機的影長為x米，根據(jù)題意可：＝，最后進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：當(dāng)OA在MO的延長線時，風(fēng)力發(fā)電機葉片外端點A離地面的高度最大，最大高度＝OA+OM＝30+70＝100（米），設(shè)此刻風(fēng)力發(fā)電機的影長為x米，由題意得：＝，即：＝，解得：x＝200，經(jīng)檢驗：x＝200是原方程的根，∴此刻風(fēng)力發(fā)電機的影長為200米，故答案為：200．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．16．（2023?松原一模）如圖①，西周數(shù)學(xué)家商高用“矩”測量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖②的位置，從矩的一端A（人眼）望點E，使視線通過點C，記人站立的位置為點B，量出BG的長，即可算得物高EG．經(jīng)測量，得CD＝60cm，AD＝120cm，AB＝1.5m．設(shè)BG＝x（m），EG＝y(tǒng)（m），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝x+1.5．【分析】根據(jù)題意可得：FG＝AB＝1.5m，AF＝BG，EF∥CD，然后證明A字模型相似三角形△ACD∽△AEF，從而利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：由題意得：FG＝AB＝1.5m，AF＝BG，EF∥CD，∴∠EFA＝∠CDA，∠ACD＝∠AEF，∴△ACD∽△AEF，∴＝，∴＝，解得：y＝x+1.5，故答案為：y＝x+1.5．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2023春?任城區(qū)期末）如圖，小華站在樓AB的底端A處，眺望樓CD的頂端D，發(fā)現(xiàn)視線MD與水平線ME的夾角為α；然后，小華保持身體姿勢不變轉(zhuǎn)身后退，當(dāng)退到點F處時，發(fā)現(xiàn)視線BE與水平線EM的夾角也為α．已知點F恰好為AC的中點，點M在AB上，AB⊥AC，CD⊥AC，EF⊥AC，EM⊥AB，樓AB的高度為7米，小華眼睛距離地面的高度EF＝MA＝1.5米，根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算出大樓CD的高度為12.5米．【分析】延長ME交CD于點N，根據(jù)題意可得：AM＝EF＝CN＝1.5米，AM∥EF∥CN，從而可得點E是MN的中點，進(jìn)而可得ME＝EN＝MN，再根據(jù)已知可求出BM的長，然后證明△BME∽△DNM，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出DN的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：延長ME交CD于點N，由題意得：AM＝EF＝CN＝1.5米，AM∥EF∥CN，∵點F為AC的中點，∴點E是MN的中點，∴ME＝EN＝MN，∵AB＝7米，∴BM＝AB﹣AM＝5.5（米），∵∠BME＝∠DNM＝90°，∠BEM＝∠DMN，∴△BME∽△DNM，∴＝，∴＝，∴DN＝11，∴CD＝DN+CN＝11+1.5＝12.5（米），∴大樓CD的高度為12.5米，故答案為：12.5．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023春?萊州市期末）如圖，為了測量一棟樓的高度，王青同學(xué)在她腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到她剛好在鏡子中看到大樓頂部．如果王青眼睛與地面的距離KL＝1.6m，同時量得LM＝0.4m，MS＝5m，則樓高TS＝20m．【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△KLM∽△TSM，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠KML＝∠TMS，∴△KLM∽△TSM，∴＝，即＝．∴TS＝20．故答案為：20．【點評】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解答．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?大荔縣期末）下表是小明填寫的實踐活動報告的部分內(nèi)容，請你借助小明的測量數(shù)據(jù)，計算小河的寬度．題目測量小河寬度AB目標(biāo)示意圖測量數(shù)據(jù)BC＝1米，BD＝10米，DE＝1.2米【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出＝，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，則＝，即＝，解得：AB＝50，答：小河的寬度為50米．【點評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．20．（2023?西安校級模擬）為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識計算該橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在AB、AC的延長線上取點D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測量，BC＝120米，DE＝210米，且點E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點F，請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計算橋AF的長度．【分析】過E作EG⊥BC于G，依據(jù)△ABC∽△ADE，即可得出＝，依據(jù)△ACF∽△ECG，即可得到＝，進(jìn)而得出AF的長．【解答】解：如圖所示，過E作EG⊥BC于G，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴＝＝，∴＝，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△ACF∽△ECG，∴＝，即＝，解得AF＝80，∴橋AF的長度為80米．【點評】本題主要考查了利用相似測量河的寬度（測量距離）．測量不能直接到達(dá)的兩點間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．方法是通過測量易于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．21．（2023?碑林區(qū)校級一模）如圖，小明用自制的直角三角形紙板DEF測量水平地面上樹AB的高度，已知兩直角邊EF：DE＝2：3，他調(diào)整自己的姿勢和三角形紙板的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，DM垂直于地面，測得AM＝21m，邊DF離地面的距離為1.6m，求樹高AB．【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似，求得BC的長后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高AB．【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∴．∵AM＝CD＝21m，∴BC＝14m，∴AB＝AC+BC＝1.6+14＝15.6（m）．答：樹高15.6m．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．22．（2023?寶雞二模）某數(shù)學(xué)興趣小組要完成一個項目學(xué)習(xí)，測量凌霄塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上點E、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得BD＝57米，D、E之間有一個花圃距離無法測量；然后，在E處放置一平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像，EG＝2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，點B、D、E、G在同一水平線上．請你求出凌霄塔的高度AB．（平面鏡的大小厚度忽略不計）【分析】先證明△CDE∽△FGE，求出DE的長，再證明△ABE∽△CDE即可求出答案．【解答】解：∵CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，∴∠CDE＝∠FGE＝90°，∵∠CED＝∠FEG，∴△CDE∽△FGE，∴，∵CD＝4，F(xiàn)G＝1.6，EG＝2.4，∴，解得：DE＝6，∵BD＝57，∴BE＝BD+DE＝57+6＝63，∵AB⊥BG，CD⊥BG，∴∠ABE＝∠CDE＝90°，∵∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得：AB＝42，∴凌霄塔的高度AB為42米．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確理解題意是解題關(guān)鍵．23．（2022秋?昌圖縣期末）小明同學(xué)自制了一個直角三角形紙板，將三個頂點分別標(biāo)記為D、E、F，測得紙板兩條直角邊DE＝8cm，EF＝6cm．如圖，小明使用它測量樹AB的高度時，先調(diào)整自己的位置，使斜邊DF保持水平，并且直角邊DE與點B在同一條直線上，同時測得AC＝1.5m，CD＝8m，求樹AB的高度．??【分析】根據(jù)題意可得：CD⊥AB，從而可得∠DEF＝∠DCB＝90°，然后證明△DEF∽△DCB，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出BC的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：CD⊥AB，∴∠DCB＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠DCB＝90°，∵∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴＝，∴＝，解得：CB＝6，∵AC＝1.5m，∴AB+AC+BC＝7.5（m），∴樹AB的高度為7.5m．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2023春?榮成市期末）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE＝3.5m，點F到地面的高度CF＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上．求燈泡到地面的高度AG．【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出BC的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程進(jìn)而求出AG的長．【解答】解：由題意可得：FC∥DE，則△BFC∽BED，故，即，解得：BC＝3；∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴，解得