2024屆湖南省懷化市高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3湖南省懷化市2024屆高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題一、選擇題1.設集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式，得，解得，因此，而，所以.故選：D.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，變形得到，故，所以，故選：A.3.已知均為單位向量，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，均為單位向量，得，所以，故與的夾角為.故選：B.4.祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.它是中國古代一個涉及幾何體體積的問題，意思是兩個同高的幾何體，如在等高處的截面面積恒相等，則體積相等.設A，B為兩個同高的幾何體，p：A，B的體積相等，q：A，B在等高處的截面面積恒相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由，反之不成立．是的必要不充分條件．故選：B.5.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域為，當時，，因為函數(shù)在上遞增，函數(shù)在上遞減，因此函數(shù)在上遞增，BD錯誤；當時，，求導得：在上遞增，，，而，即有，則存在，使得，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C選項不滿足，A選項符合要求.故選：A6.給定整數(shù)，有個實數(shù)元素的集合，定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合為一個元規(guī)范數(shù)集．（注：表示數(shù)集中的最小數(shù)）．對于集合，則（）A.是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集 B.是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集C.不是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集 D.不是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集〖答案〗C〖解析〗集合中，，則，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)不是1，因此不是規(guī)范數(shù)集；集合，，，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)是1，因此是規(guī)范數(shù)集.故選：C.7.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由當時，由三角函數(shù)線知識可得，所以，又令，，，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，當且僅當時等號成立，故而，所以.故選：A.8.為等差數(shù)列，公差為，且，,，函數(shù)在上單調(diào)且存在，使得關于對稱，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵{an}為等差數(shù)列，公差為d，且0＜d＜1，a5（k∈Z），sin2a3+2sina5?cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos?2cossin2sina5cos2d?2cosa5sin2d，∴sin4d＝1，∴d．∴f（x）cosωx，∵在上單調(diào)∴，∴ω；又存在，所以f（x）在（0，）上存在零點，即，得到ω．故〖答案〗為故選D.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.某校高一年級共有男女學生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣本中男生有30人，則該校高一年級女生人數(shù)是200B.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C.線性回歸方程中，若線性相關系數(shù)越大，則兩個變量的線性相關性越強D.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05〖答案〗ABD〖解析〗對于A，該校高一年級女生人數(shù)是，A正確；對于B，由，得第75百分位數(shù)為，B正確；對于C，線性回歸方程中，線性相關系數(shù)絕對值越大，兩個變量的線性相關性越強，C錯誤；對于D，由，可判斷與有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)的零點為的零點為，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗依題意，，，則分別是直線與函數(shù)，圖象交點的橫坐標，而函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線對稱，又直線垂直于直線，則點與點關于直線對稱，則，于是，，，AC正確，B錯誤；，即，D錯誤.故選：AC11.在三棱錐中，平面，點是三角形內(nèi)動點（含邊界），，則下列結論正確的是（）A.與平面所成角的大小為B.三棱錐的體積最大值是2C.點的軌跡長度是D.異面直線與所成角的余弦值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗如圖，把三棱錐補形成正四棱柱并建立空間直角坐標系，對于A，由平面，得是與平面所成的角，，因此，A正確；對于C，由，得點的軌跡是以線段為直徑的球面與相交的一段圓弧及點，令的中點分別為，則平面，，于是，顯然點所在圓弧所對圓心角大小為，長度是，C正確；對于B，由選項C知，當時，點到平面距離最大，最大距離為1，因此三棱錐的體積，B錯誤；對于D，設，則點，而，于是，又，令異面直線與所成的角大小為，則，令，在上單調(diào)遞增，因此，D正確.故選：ACD三、填空題12.已知，則的單調(diào)增區(qū)間為_______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域為，求導得，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故〖答案〗為：13.根據(jù)國家“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”提出的“推動城鄉(xiāng)義務教育一體化發(fā)展，高度重視農(nóng)村義務教育”，某師范大學4名畢業(yè)生主動申請到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學工作，若將這4名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學，每所學校至少分配1人，則不同分配方案的種數(shù)為_______．〖答案〗36〖解析〗依題意，有2人去同一所學校，所以不同分配方案的種數(shù)為.故〖答案〗為：3614.已知雙曲線，過點的直線交雙曲線于兩點，交軸于點（點與雙曲線的頂點不重合），若，則當時，點坐標為_______．〖答案〗〖解析〗顯然直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，則，由消去y并整理得，，則且，設，于是，，由，得，則，，而，因此，解得，所以點坐標為.故〖答案〗為：四、解答題15.如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，是邊的中點．（1）求證：；（2）若，平面平面，求直線與平面所成角余弦值．（1）證明：在三棱錐中，是等邊三角形，是的中點，則，由，得≌，則，，而平面，因此平面，平面，所以.（2）解：由（1）知，，平面平面，平面平面，平面，則平面，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量，則，令，得，因此，所以直線與平面所成角的余弦值是.16.在中，角，，所對的邊分別為,,,滿足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍.解：（1）由得：，∴∴所以，∴，∵，∴.（2）∵，，∴（當且僅時取等號）又，∴.17.現(xiàn)有甲、乙兩名運動員爭奪某項比賽的獎金，規(guī)定兩名運動員誰先贏局，誰便贏得全部獎金a元.假設每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立.在甲贏了局，乙贏了局時，比賽意外終止，獎金如何分配才合理？評委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.（1）若，求；（2）記事件A為“比賽繼續(xù)進行下去乙贏得全部獎金”，試求當時，比賽繼續(xù)進行下去甲贏得全部獎金概率，并判斷當時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機事件為小概率事件.解：（1）設比賽再繼續(xù)進行局甲贏得全部獎金，則最后一局必然是甲贏，依題意，最多再進行2局，當時，甲以贏，，當時，甲以贏，，因此甲贏的概率為，則乙贏的概率為，所以.（2）設比賽再繼續(xù)進行局乙贏得全部獎金，則最后一局必然是乙贏，當時，乙以贏，，當時，乙以贏，，于是得乙贏得全部獎金的概率，甲贏得全部獎金的概率，，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，因此乙贏的概率最大值為，所以事件A是小概率事件.18.已知橢圓的左焦點為，過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，且.（1）求橢圓的離心率；（2）橢圓的上頂點為，不過的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，若，試問直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.解：（1）設橢圓的右焦點為，連接，根據(jù)橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形.又，所以而，所以，在四邊形中，，所以，在中，根據(jù)余弦定理得即，化簡得.所以橢圓的離心率；（2）因為橢圓的上頂點為，所以，所以，又由（1）知，解得，所以橢圓的標準方程為.在中，，，所以，從而，又為線段的中點，即，所以，因此，從而，根據(jù)題意可知直線的斜率一定存在，設它的方程為，，，聯(lián)立消去得①，，根據(jù)韋達定理可得，，所以所以，整理得，解得或.又直線不經(jīng)過點，所以舍去，于是直線的方程為，恒過定點，該點在橢圓內(nèi)，滿足關于的方程①有兩個不相等的解，所以直線恒過定點，定點坐標為.19.已知正項數(shù)列的前項和為，且.（1）求和的值，并求出數(shù)列的通項公式；（2）證明：；（3）設，求的值（其中表示不超過的最大整數(shù)）.（1）解：由題意知當時，.當時，.因為，則當時，有.兩式相減，得：，又因為，所以.故，，兩式相減，得.因為，所以.又因為，，所以對，有，故等差數(shù)列，因此.（2）證明：設，則，所以在上單調(diào)遞減，則，從而.令，得，即，分別取，則，……，，累加得.（3）解：由（2）知.由知.故，，，，所以.又由知，故，，，，所以.故，即.湖南省懷化市2024屆高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題一、選擇題1.設集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式，得，解得，因此，而，所以.故選：D.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，變形得到，故，所以，故選：A.3.已知均為單位向量，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，均為單位向量，得，所以，故與的夾角為.故選：B.4.祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.它是中國古代一個涉及幾何體體積的問題，意思是兩個同高的幾何體，如在等高處的截面面積恒相等，則體積相等.設A，B為兩個同高的幾何體，p：A，B的體積相等，q：A，B在等高處的截面面積恒相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由，反之不成立．是的必要不充分條件．故選：B.5.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域為，當時，，因為函數(shù)在上遞增，函數(shù)在上遞減，因此函數(shù)在上遞增，BD錯誤；當時，，求導得：在上遞增，，，而，即有，則存在，使得，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C選項不滿足，A選項符合要求.故選：A6.給定整數(shù)，有個實數(shù)元素的集合，定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合為一個元規(guī)范數(shù)集．（注：表示數(shù)集中的最小數(shù)）．對于集合，則（）A.是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集 B.是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集C.不是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集 D.不是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集〖答案〗C〖解析〗集合中，，則，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)不是1，因此不是規(guī)范數(shù)集；集合，，，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)是1，因此是規(guī)范數(shù)集.故選：C.7.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由當時，由三角函數(shù)線知識可得，所以，又令，，，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，當且僅當時等號成立，故而，所以.故選：A.8.為等差數(shù)列，公差為，且，,，函數(shù)在上單調(diào)且存在，使得關于對稱，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵{an}為等差數(shù)列，公差為d，且0＜d＜1，a5（k∈Z），sin2a3+2sina5?cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos?2cossin2sina5cos2d?2cosa5sin2d，∴sin4d＝1，∴d．∴f（x）cosωx，∵在上單調(diào)∴，∴ω；又存在，所以f（x）在（0，）上存在零點，即，得到ω．故〖答案〗為故選D.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.某校高一年級共有男女學生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣本中男生有30人，則該校高一年級女生人數(shù)是200B.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C.線性回歸方程中，若線性相關系數(shù)越大，則兩個變量的線性相關性越強D.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05〖答案〗ABD〖解析〗對于A，該校高一年級女生人數(shù)是，A正確；對于B，由，得第75百分位數(shù)為，B正確；對于C，線性回歸方程中，線性相關系數(shù)絕對值越大，兩個變量的線性相關性越強，C錯誤；對于D，由，可判斷與有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)的零點為的零點為，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗依題意，，，則分別是直線與函數(shù)，圖象交點的橫坐標，而函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線對稱，又直線垂直于直線，則點與點關于直線對稱，則，于是，，，AC正確，B錯誤；，即，D錯誤.故選：AC11.在三棱錐中，平面，點是三角形內(nèi)動點（含邊界），，則下列結論正確的是（）A.與平面所成角的大小為B.三棱錐的體積最大值是2C.點的軌跡長度是D.異面直線與所成角的余弦值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗如圖，把三棱錐補形成正四棱柱并建立空間直角坐標系，對于A，由平面，得是與平面所成的角，，因此，A正確；對于C，由，得點的軌跡是以線段為直徑的球面與相交的一段圓弧及點，令的中點分別為，則平面，，于是，顯然點所在圓弧所對圓心角大小為，長度是，C正確；對于B，由選項C知，當時，點到平面距離最大，最大距離為1，因此三棱錐的體積，B錯誤；對于D，設，則點，而，于是，又，令異面直線與所成的角大小為，則，令，在上單調(diào)遞增，因此，D正確.故選：ACD三、填空題12.已知，則的單調(diào)增區(qū)間為_______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域為，求導得，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故〖答案〗為：13.根據(jù)國家“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”提出的“推動城鄉(xiāng)義務教育一體化發(fā)展，高度重視農(nóng)村義務教育”，某師范大學4名畢業(yè)生主動申請到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學工作，若將這4名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學，每所學校至少分配1人，則不同分配方案的種數(shù)為_______．〖答案〗36〖解析〗依題意，有2人去同一所學校，所以不同分配方案的種數(shù)為.故〖答案〗為：3614.已知雙曲線，過點的直線交雙曲線于兩點，交軸于點（點與雙曲線的頂點不重合），若，則當時，點坐標為_______．〖答案〗〖解析〗顯然直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，則，由消去y并整理得，，則且，設，于是，，由，得，則，，而，因此，解得，所以點坐標為.故〖答案〗為：四、解答題15.如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，是邊的中點．（1）求證：；（2）若，平面平面，求直線與平面所成角余弦值．（1）證明：在三棱錐中，是等邊三角形，是的中點，則，由，得≌，則，，而平面，因此平面，平面，所以.（2）解：由（1）知，，平面平面，平面平面，平面，則平面，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量，則，令，得，因此，所以直線與平面所成角的余弦值是.16.在中，角，，所對的邊分別為,,,滿足.（1）求角的大?。唬?）若，求的取值范圍.解：（1）由得：，∴∴所以，∴，∵，∴.（2）∵，，∴（當且僅時取等號）又，∴.17.現(xiàn)有甲、乙兩名運動員爭奪某項比賽的獎金，規(guī)定兩名運動員誰先贏局，誰便贏得全部獎金a元.假設每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立.在甲贏了局，乙贏了局時，比賽意外終止，獎金如何分配才合理？評委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.（1）若，求；（2）記事件A為“比賽繼續(xù)進行下去乙贏得全部獎金”，試求當時，比賽繼續(xù)進行下去甲贏得全部獎金概率，并判斷當時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機事件為小概率事件.解：（1）設比賽再繼續(xù)進行局甲贏得全部獎金，則最后一局必然是甲贏，依題意，最多再進行2局，當時，甲以贏，