2024屆河北省保定市九校高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2河北省保定市九校2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所?故選：A2.已知集合，，若中有2個元素，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，因?yàn)橹兄挥?個元素，則，所以.故選：B3.某學(xué)生通過計(jì)步儀器，記錄了自己最近30天每天走的步數(shù)，數(shù)據(jù)從小到大排序如下：5588605487999851990110111110291120712634129011300113092131271326813562136211376113801141011417214191142921442614468145621462115061156011590119972估計(jì)該學(xué)生最近30天每天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A.14292 B.14359 C.14426 D.14468〖答案〗C〖解析〗由，得樣本的第75百分位數(shù)為第23個數(shù)據(jù)，據(jù)此估計(jì)該學(xué)生最近30天每天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為14426.故選：C4.若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，即，即，所以.因?yàn)椋裕?故選：A5.有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現(xiàn)準(zhǔn)備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將4個盒子按順序拆開有種方法，若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球哪個盒子中，則前兩個盒子都是白球或都是黑球，有種情況，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為.故選：B.6.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的一個動點(diǎn)，且“”的最小值是，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗解法一：不妨設(shè)，，，且，則，所以，解得，，故雙曲線C的漸近線方程為.解法二：，所以，解得，，故雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.7.已知圓，過點(diǎn)的直線l與圓O交于B，C兩點(diǎn)，且，則（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，在中，，，，，，所以.故選：D8.如圖，圓和圓外切于點(diǎn)，，分別為圓和圓上的動點(diǎn)，已知圓和圓的半徑都為1，且，則的最大值為（）A.2 B.4 C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以，所以，即，解得..故選：D二、選擇題9.一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，無論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是角的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義：①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫作的正弦函數(shù)，記作，即；②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫作的余弦函數(shù)，記作，即；③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y的倒數(shù)叫作的余割，記作，即；④把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的倒數(shù)叫作的正割，記作，即.下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.函數(shù)的定義域?yàn)镈.〖答案〗ABD〖解析〗，A正確；，B正確；函數(shù)的定義域?yàn)?，C錯誤；，當(dāng)時，等號成立，D正確.故選：ABD.10.如圖1，在等腰梯形中，，，，，，將四邊形沿進(jìn)行折疊，使到達(dá)位置，且平面平面，連接，，如圖2，則（）A. B.平面平面C.多面體為三棱臺 D.直線與平面所成的角為〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?則，故A正確.因?yàn)?，平面，平面，則平面平面，又，平面，平面，則平面平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，B正確.因?yàn)椋?，則，所以多面體不是三棱臺，C錯誤.延長，相交于點(diǎn)G，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面，則為直線與平面所成的角.因?yàn)?，所以，解得，，則，則，D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，函數(shù)，且，定義運(yùn)算設(shè)函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.的最小值為B.若在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為C.若有4個不同的解，則m的取值范圍為D.若有3個不同的解，，則〖答案〗AC〖解析〗對A，令，解得.當(dāng)時，作出函數(shù)和的圖象，如圖1所示.此時，，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象，如圖2所示.，，所以最小值為，綜上的最小值為，A正確.對B，令，解得，.若在上單調(diào)遞增，則，解得.因?yàn)楫?dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以k的取值范圍為，B錯誤.對CD，若有3個不同解，，，則結(jié)合圖象可得或，D錯誤.若有4個不同的解，則，C正確.故選：AC.三、填空題12.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上C，直線與拋物線C的另一個交點(diǎn)為A，則______.〖答案〗2〖解析〗由題意可得，解得，則.又直線與x軸垂直，，.故〖答案〗為：213.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的面積為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理可得：，即，又，所以，由，所以，故〖答案〗為?14.已知某種有蓋的圓柱形容器的底面圓半徑為，高為100，現(xiàn)有若干個半徑為的實(shí)心球，則該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入______個這種實(shí)心球.〖答案〗49〖解析〗如圖，將第1個實(shí)心球靠近該圓柱形容器側(cè)面放置，球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為；將第2個實(shí)心球也靠近該圓柱形容器側(cè)面放置，過點(diǎn)作垂直于該圓柱形容器的母線，垂足為，過點(diǎn)作垂直于該圓柱形容器下底面，垂足為，設(shè).，，，球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為.同理可得球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為.由此規(guī)律可得，每多放一個球，最上面的球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離加2.因?yàn)?，所以該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入49個這種實(shí)心球.故〖答案〗：49四、解答題15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，，當(dāng)時，也符合.綜上，.（2）由則，故的前項(xiàng)和.16.如圖，在四棱錐中，平面內(nèi)存在一條直線與平行，平面,直線與平面所成的角的正切值為，，.（1）證明：四邊形是直角梯形.（2）若點(diǎn)滿足，求二面角的正弦值.（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，連接，因?yàn)槠矫?，所以是與平面的夾角，則，解得.因?yàn)?，，所以，所?又，所以四邊形是直角梯形.（2）解：取的中點(diǎn)M，連接，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，由，得，則，設(shè)平面法向量為，則，取，得到，即，設(shè)平面的一個法向量為，則由，得到，到，得到，所以平面的一個法向量為設(shè)二面角的平面角為，則，所以，故二面角的正弦值為.17.某興趣小組調(diào)查并統(tǒng)計(jì)了某班級學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績和建立個性化錯題本的情況，用來研究這兩者是否有關(guān).若從該班級中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，設(shè)“抽取的學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績不及格”，“抽取的學(xué)生建立了個性化錯題本”，且，，.（1）求和.（2）若該班級共有36名學(xué)生，請完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績與建立個性化錯題本是否有關(guān)，個性化錯題本期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績合計(jì)及格不及格建立未建立合計(jì)（3）為進(jìn)一步驗(yàn)證（2）中的判斷，該興趣小組準(zhǔn)備在其他班級中抽取一個容量為的樣本（假設(shè)根據(jù)新樣本數(shù)據(jù)建立的列聯(lián)表中，所有的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為（2）中列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的倍，且新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)）.若要使得依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以肯定（2）中的判斷，試確定的最小值參考公式及數(shù)據(jù)：，.0.010.0050.0016.6357.87910.828解：（1）因?yàn)椋?，所以，，由于，解得，所?，解得.（2）個性化錯題本期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績合計(jì)及格不及格建立20424未建立4812合計(jì)241236零假設(shè)為期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績與建立個性化錯題本無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績與建立個性化錯題本有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.（3），解得.要使新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)，則需.又因?yàn)?，所以的最小值?，故的最小值是18.平面幾何中有一定理如下：三角形任意一個頂點(diǎn)到其垂心（三角形三條高所在直線的交點(diǎn)）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點(diǎn)對邊距離的2倍.已知的垂心為D，外心為E，D和E關(guān)于原點(diǎn)O對稱，.（1）若，點(diǎn)B在第二象限，直線軸，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若A，D，E三點(diǎn)共線，橢圓T：與內(nèi)切，證明：D，E為橢圓T的兩個焦點(diǎn).（1）解：因?yàn)椋?設(shè)與x軸的交點(diǎn)為，由題意可得，即，解得.設(shè)，因?yàn)?，所以，則，解得.所以.（2）證明：因?yàn)镈和E關(guān)于原點(diǎn)O對稱，且A，D，E三點(diǎn)共線，所以A，D，E，O四點(diǎn)共線，即點(diǎn)A，D，E，O都在x軸上.因?yàn)槭堑母?，所以，即軸.因?yàn)榈耐庑臑镋，所以，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱.設(shè)與x軸的交點(diǎn)為，，，，，由題意可得，即，化簡得.直線的斜率為，直線的斜率為，所以，化簡得①直線的方程為.橢圓與內(nèi)切，所以.聯(lián)立得.，即.因?yàn)?，所以，即，?結(jié)合①可得設(shè)橢圓T的焦距為，則，所以D，E為橢圓T的兩個焦點(diǎn).19.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，試討論的零點(diǎn)個數(shù).解：（1）當(dāng)時，，.，.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)?，所以為奇函?shù).又因?yàn)?，所以只需要討論在上的零點(diǎn).，.令函數(shù)，①當(dāng)，即時，分段討論：當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以存在，使?當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，，所以在上?個零點(diǎn)，在上有3個零點(diǎn).②當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞減，所以在上沒有零點(diǎn)，在上有1個零點(diǎn).③當(dāng)，即時，分段討論：當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在，使?當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋栽谏蠜]有零點(diǎn)，在上有1個零點(diǎn).④當(dāng)，即時，分段討論：當(dāng)時，.當(dāng)時，令函數(shù)，.所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在，使?所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在，使?當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以在上沒有零點(diǎn)，在上有1個零點(diǎn).綜上，當(dāng)時，在上有3個零點(diǎn)；當(dāng)時，在上有1個零點(diǎn).河北省保定市九校2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?故選：A2.已知集合，，若中有2個元素，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，因?yàn)橹兄挥?個元素，則，所以.故選：B3.某學(xué)生通過計(jì)步儀器，記錄了自己最近30天每天走的步數(shù)，數(shù)據(jù)從小到大排序如下：5588605487999851990110111110291120712634129011300113092131271326813562136211376113801141011417214191142921442614468145621462115061156011590119972估計(jì)該學(xué)生最近30天每天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A.14292 B.14359 C.14426 D.14468〖答案〗C〖解析〗由，得樣本的第75百分位數(shù)為第23個數(shù)據(jù)，據(jù)此估計(jì)該學(xué)生最近30天每天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為14426.故選：C4.若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，即，即，所以.因?yàn)椋裕?故選：A5.有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現(xiàn)準(zhǔn)備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將4個盒子按順序拆開有種方法，若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球哪個盒子中，則前兩個盒子都是白球或都是黑球，有種情況，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為.故選：B.6.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的一個動點(diǎn)，且“”的最小值是，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗解法一：不妨設(shè)，，，且，則，所以，解得，，故雙曲線C的漸近線方程為.解法二：，所以，解得，，故雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.7.已知圓，過點(diǎn)的直線l與圓O交于B，C兩點(diǎn)，且，則（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，在中，，，，，，所以.故選：D8.如圖，圓和圓外切于點(diǎn)，，分別為圓和圓上的動點(diǎn)，已知圓和圓的半徑都為1，且，則的最大值為（）A.2 B.4 C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以，所以，即，解得..故選：D二、選擇題9.一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，無論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是角的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義：①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫作的正弦函數(shù)，記作，即；②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫作的余弦函數(shù)，記作，即；③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y的倒數(shù)叫作的余割，記作，即；④把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的倒數(shù)叫作的正割，記作，即.下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.函數(shù)的定義域?yàn)镈.〖答案〗ABD〖解析〗，A正確；，B正確；函數(shù)的定義域?yàn)椋珻錯誤；，當(dāng)時，等號成立，D正確.故選：ABD.10.如圖1，在等腰梯形中，，，，，，將四邊形沿進(jìn)行折疊，使到達(dá)位置，且平面平面，連接，，如圖2，則（）A. B.平面平面C.多面體為三棱臺 D.直線與平面所成的角為〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?則，故A正確.因?yàn)?，平面，平面，則平面平面，又，平面，平面，則平面平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，B正確.因?yàn)?，，則，所以多面體不是三棱臺，C錯誤.延長，相交于點(diǎn)G，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面，則為直線與平面所成的角.因?yàn)?，所以，解得，，則，則，D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，函數(shù)，且，定義運(yùn)算設(shè)函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.的最小值為B.若在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為C.若有4個不同的解，則m的取值范圍為D.若有3個不同的解，，則〖答案〗AC〖解析〗對A，令，解得.當(dāng)時，作出函數(shù)和的圖象，如圖1所示.此時，，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象，如圖2所示.，，所以最小值為，綜上的最小值為，A正確.對B，令，解得，.若在上單調(diào)遞增，則，解得.因?yàn)楫?dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以k的取值范圍為，B錯誤.對CD，若有3個不同解，，，則結(jié)合圖象可得或，D錯誤.若有4個不同的解，則，C正確.故選：AC.三、填空題12.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上C，直線與拋物線C的另一個交點(diǎn)為A，則______.〖答案〗2〖解析〗由題意可得，解得，則.又直線與x軸垂直，，.故〖答案〗為：213.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的面積為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理可得：，即，又，所以，由，所以，故〖答案〗為?14.已知某種有蓋的圓柱形容器的底面圓半徑為，高為100，現(xiàn)有若干個半徑為的實(shí)心球，則該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入______個這種實(shí)心球.〖答案〗49〖解析〗如圖，將第1個實(shí)心球靠近該圓柱形容器側(cè)面放置，球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為；將第2個實(shí)心球也靠近該圓柱形容器側(cè)面放置，過點(diǎn)作垂直于該圓柱形容器的母線，垂足為，過點(diǎn)作垂直于該圓柱形容器下底面，垂足為，設(shè).，，，球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為.同理可得球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為.由此規(guī)律可得，每多放一個球，最上面的球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離加2.因?yàn)椋栽搱A柱形容器內(nèi)最多可以放入49個這種實(shí)心球.故〖答案〗：49四、解答題15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，，當(dāng)時，也符合.綜上，.（2）由則，故的前項(xiàng)和.16.如圖，在四棱錐中，平面內(nèi)存在一條直線與平行，平面,直線與平面所成的角的正切值為，，.（1）證明：四邊形是直角梯形.（2）若點(diǎn)滿足，求二面角的正弦值.（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，連接，因?yàn)槠矫妫允桥c平面的夾角，則，解得.因?yàn)椋?，所以，所?又，所以四邊形是直角梯形.（2）解：取的中點(diǎn)M，連接，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，由，得，則，設(shè)平面法向量為，則，取，得到，即，設(shè)平面的一個法向量為，則由，得到，到，得到，所以平面的一個法向量為設(shè)二面角的平面角為，則，所以，故二面角的正弦值為.17.某興趣小組調(diào)查并統(tǒng)計(jì)了某班級學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績和建立個性化錯題本的情況，用來研究這兩者是否有關(guān).若從該班級中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，設(shè)“抽取的學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績不及格”，“抽取的學(xué)生建立了個性化錯題本”，且，，.（1）求和.（2）若該班級共有36名學(xué)生，請完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績與建立個性化錯題本是否有關(guān)，個性化錯題本期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績合計(jì)及格不及格建立未建立合計(jì)（3）為進(jìn)一步驗(yàn)證（2）中的判斷，該興趣小組準(zhǔn)備在其他班級中抽取一個容量為的樣本（假設(shè)根據(jù)新樣本數(shù)據(jù)建立的列聯(lián)表中，所有的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為（2）中列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的倍，且新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)）.若要使得依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以肯定（2）中的判斷，試確定的最小值參考公式及數(shù)據(jù)：，.0.010.0050.0016.6357.87910.828解：（1）因?yàn)椋?，所以，，由于，解得，所?，解得.（2）個性化錯題本期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績合計(jì)及格不及格建立20424未建立4812合計(jì)241236零假設(shè)為期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績與建立個性化錯題本無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績與建立個性化錯題本有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.（3），解得.要使新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)，則需.又因?yàn)?，所以的最小值?，故的最小值是18.平面幾何中有一定理如下：三角形任意一個頂點(diǎn)到其垂心（三