2023-2024學(xué)年重慶市萬州二中教育集團(tuán)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2重慶市萬州二中教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（）A. B.1 C. D.i〖答案〗B〖解析〗由已知，得，所以z的虛部為1.故選：B.2.若，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所?故選：D.3.已知一個(gè)圓錐的母線長為2，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則，所以其側(cè)面積為，解得，所以圓錐的高為.故選：C.4.在中，，則（）A. B.或 C. D.或〖答案〗D〖解析〗在中，根據(jù)大邊對大角可得A>B，由正弦定理，得，所以，故或.故選：D.5.若，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，，則，而，即得，所以，又，所以.故選：A.6.如圖，在中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題圖，.故選：A.7.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因，所以，因?yàn)?，兩式相減，得，由正弦定理，得，即，因?yàn)椋?故選：A.8.已知向量滿足：為單位向量，且與相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗和相互垂直，則，則，設(shè)，則，因?yàn)楹愠闪?，則，即，則，，對稱軸時(shí)：，即.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法不正確的為（）A. B.C. D.在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限〖答案〗ACD〖解析〗，所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.在中，已知，下列結(jié)論中正確的是（）A.這個(gè)三角形被唯一確定 B.一定是鈍角三角形C. D.若，則的面積是〖答案〗BC〖解析〗依題意可設(shè)，對于A，當(dāng)取不同的值時(shí)，三角形顯然不同，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，，所以，則三角形為鈍角三角形，故B正確；對于C，由正弦定理可知，，故C正確；對于D，因?yàn)?，即，即，又因?yàn)?，所以，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.在中，角所對的邊分別是，下列命題正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則此三角形有兩解C.若，則為等腰三角形D.若，且，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，則，從而，即，即，故，從而為等腰三角形，A正確；對于B，若，則，而，即，解得或，故此三角形有兩解，B正確；對于C，注意到等價(jià)于，而這又等價(jià)于，所以或，也就是為等腰三角形或直角三角形，C錯(cuò)誤；對于D，已知條件為，且，而等價(jià)于，即，對該等式通分得到，即，即，這即為，由知該等式即為，從而條件等價(jià)于且，從而該三角形內(nèi)切圓半徑，又由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而，故該三角形的內(nèi)切圓面積，驗(yàn)證知當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以該三角形的內(nèi)切圓面積的最大值是，D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.三個(gè)平面最多可以將空間分為______部分．〖答案〗〖解析〗如圖所示，空間中三個(gè)平面最多可以將空間分為8部分.故〖答案〗為：.13.已知為平面向量，．若在方向上的投影向量為，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的夾角為，因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?，，所以，得，從而?故〖答案〗為：.14.一個(gè)棱長為2的正四面體盒子內(nèi)部放置了一個(gè)正方體，且該正方體在鐵盒內(nèi)能任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正方體棱長的最大值為_______.〖答案〗〖解析〗由題意可知，正方體在正四面體內(nèi)部任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)正方體的棱長取得最大值時(shí)，正方體的外接球即為正四面體的內(nèi)切球，將正四面體放到正方體中，作出圖形如圖，因?yàn)檎拿骟w的棱長為2，則圖中正方體的棱長為，所以正四面體的體積為，側(cè)面積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，設(shè)放置進(jìn)去的正方體的棱長最大值為，則，解得.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量.（1）若向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）法一：設(shè)，則，所以，解得，所以或.法二：設(shè)，因?yàn)?，，所以，因，所以，解得或，所以?（2）因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，即，而，，所以，因此，解得.16.在中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長．解：（1）因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.（2）由三角形的面積公式可得，解得，由余弦定理可得，，所以，的周長為.17.如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）設(shè)正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．解：（1）證明：因?yàn)樵谡襟w中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?（2）因?yàn)檎襟w的棱長是1，E是的中點(diǎn)，所以，三角形ABC的面積，三棱錐的體積.18.在中，角所對的邊分別是，若是邊上的一點(diǎn)，且.（1）若時(shí)，求面積的最大值；（2）若，①求角的大??；②當(dāng)取得最大值時(shí)，求的面積.解：（1）由題意可得，，根據(jù)余弦定理得，所以，所以的面積為，當(dāng)，即時(shí)，面積最大，最大值1.（2）①由，，則，由正弦定理得，化簡得，所以，又因?yàn)?，所?②因?yàn)?，由，可得，整理得，又因?yàn)?，所以，令為銳角，則，其中為銳角，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，解得，的面積為.19.1712年英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒提出了著名的泰勒公式，該公式利用了多項(xiàng)式函數(shù)曲線來逼近任意一個(gè)原函數(shù)曲線，該公式在近似計(jì)算，函數(shù)擬合，計(jì)算機(jī)科學(xué)上有著舉足輕重的作用.如下列常見函數(shù)的階泰勒展開式為：其中，讀作的階乘.1748年瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉在泰勒公式的靈感下創(chuàng)造了人類數(shù)學(xué)最美妙的公式，即歐拉公式，特別的歐拉恒等式被后世稱為“上帝公式”.歐拉公式建立了復(fù)數(shù)域中指數(shù)函數(shù)與圓函數(shù)（正余弦函數(shù)）的關(guān)系，利用歐拉公式還可以完成圓的等分，即棣莫弗定理的應(yīng)用.（1）請寫出復(fù)數(shù)的三角形式，并利用泰勒展開式估算出的3階近似值（精確到0.001）；（2）請根據(jù)上述材料證明歐拉公式，并計(jì)算與；（3）記，由棣莫弗定理得，從而得，復(fù)數(shù)，我們稱其為1在復(fù)數(shù)域內(nèi)的三次方根.若為64在復(fù)數(shù)域內(nèi)的6次方根.求取值構(gòu)成的集合，其中.解：（1）設(shè)的三角形式為，，，所以復(fù)數(shù)的三角形式為，由泰勒公式令可得，的3階近似值為.（2）由，令得到，，化簡得，所以，歐拉公式得證，因?yàn)?，所以，兩式相加得，兩式相減得，所以，.（3）記，由棣莫弗定理得，從而得，所以，所以64在復(fù)數(shù)域內(nèi)的6次方根為，，，設(shè)，其中，代入計(jì)算可得，.重慶市萬州二中教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（）A. B.1 C. D.i〖答案〗B〖解析〗由已知，得，所以z的虛部為1.故選：B.2.若，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所?故選：D.3.已知一個(gè)圓錐的母線長為2，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則，所以其側(cè)面積為，解得，所以圓錐的高為.故選：C.4.在中，，則（）A. B.或 C. D.或〖答案〗D〖解析〗在中，根據(jù)大邊對大角可得A>B，由正弦定理，得，所以，故或.故選：D.5.若，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，，則，而，即得，所以，又，所以.故選：A.6.如圖，在中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題圖，.故選：A.7.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因，所以，因?yàn)?，兩式相減，得，由正弦定理，得，即，因?yàn)?，所?故選：A.8.已知向量滿足：為單位向量，且與相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗和相互垂直，則，則，設(shè)，則，因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒t，即，則，，對稱軸時(shí)：，即.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法不正確的為（）A. B.C. D.在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限〖答案〗ACD〖解析〗，所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.在中，已知，下列結(jié)論中正確的是（）A.這個(gè)三角形被唯一確定 B.一定是鈍角三角形C. D.若，則的面積是〖答案〗BC〖解析〗依題意可設(shè)，對于A，當(dāng)取不同的值時(shí)，三角形顯然不同，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，，所以，則三角形為鈍角三角形，故B正確；對于C，由正弦定理可知，，故C正確；對于D，因?yàn)?，即，即，又因?yàn)?，所以，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.在中，角所對的邊分別是，下列命題正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則此三角形有兩解C.若，則為等腰三角形D.若，且，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，則，從而，即，即，故，從而為等腰三角形，A正確；對于B，若，則，而，即，解得或，故此三角形有兩解，B正確；對于C，注意到等價(jià)于，而這又等價(jià)于，所以或，也就是為等腰三角形或直角三角形，C錯(cuò)誤；對于D，已知條件為，且，而等價(jià)于，即，對該等式通分得到，即，即，這即為，由知該等式即為，從而條件等價(jià)于且，從而該三角形內(nèi)切圓半徑，又由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而，故該三角形的內(nèi)切圓面積，驗(yàn)證知當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以該三角形的內(nèi)切圓面積的最大值是，D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.三個(gè)平面最多可以將空間分為______部分．〖答案〗〖解析〗如圖所示，空間中三個(gè)平面最多可以將空間分為8部分.故〖答案〗為：.13.已知為平面向量，．若在方向上的投影向量為，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的夾角為，因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?，，所以，得，從而?故〖答案〗為：.14.一個(gè)棱長為2的正四面體盒子內(nèi)部放置了一個(gè)正方體，且該正方體在鐵盒內(nèi)能任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正方體棱長的最大值為_______.〖答案〗〖解析〗由題意可知，正方體在正四面體內(nèi)部任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)正方體的棱長取得最大值時(shí)，正方體的外接球即為正四面體的內(nèi)切球，將正四面體放到正方體中，作出圖形如圖，因?yàn)檎拿骟w的棱長為2，則圖中正方體的棱長為，所以正四面體的體積為，側(cè)面積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，設(shè)放置進(jìn)去的正方體的棱長最大值為，則，解得.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量.（1）若向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）法一：設(shè)，則，所以，解得，所以或.法二：設(shè)，因?yàn)椋?，所以，因，所以，解得或，所以?（2）因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，即，而，，所以，因此，解得.16.在中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長．解：（1）因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.（2）由三角形的面積公式可得，解得，由余弦定理可得，，所以，的周長為.17.如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）設(shè)正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．解：（1）證明：因?yàn)樵谡襟w中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)檎襟w的棱長是1，E是的中點(diǎn)，所以，三角形ABC的面積，三棱錐的體積.18.在中，角所對的邊分別是，若是邊上的一點(diǎn)，且.（1）若時(shí)，求面積的最大值；（2）若，①求角的大??；②當(dāng)取得最大值時(shí)，求的面積.解：（1）由題意可得，，根據(jù)余弦定理得，所以，所以的面積為，當(dāng)，即時(shí)，面積最大，最大值1.（2）①由，，則，由正弦定理得，化簡得，所以，又因?yàn)椋?②因?yàn)?，由，可得，整理得，又因?yàn)?，所以，令為銳角，則，其中為銳角，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，解得，的面積為.19.1712年英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒提出了著名的泰勒公式，該公式利用了多項(xiàng)式函數(shù)曲線來逼近任意一個(gè)原函數(shù)曲線，該公式在近似計(jì)算，函數(shù)擬合，計(jì)算機(jī)科學(xué)上有著舉足輕重的作用.如下列常見函數(shù)的階泰勒展開式為：其中，讀作的階乘.1748年瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉在泰勒公式的靈感下創(chuàng)造了人類數(shù)學(xué)最美妙的公式，即歐拉公式，特別的歐拉恒等式被后世稱為“上帝公式”.歐拉公式建立了復(fù)數(shù)域中指數(shù)函數(shù)與圓函數(shù)（正余弦函數(shù)）的關(guān)系，利用