2023-2024學(xué)年甘肅省白銀市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3甘肅省白銀市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)．考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)．選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后．將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：湘教版選擇性必修第—冊（數(shù)列、〖解析〗幾何、計(jì)數(shù)原理）占30%．選擇性必修第二冊第—意（導(dǎo)數(shù)）、第二章（空間向量）占70%．1.已知向量，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樗运裕蔬x：D.2.雙曲線的離心率為（）A B.3 C. D.4〖答案〗C〖解析〗雙曲線中，，所以雙曲線離心率故選：C3.若平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗與所成角的余弦值為，又與所成角為，與所成角的大小為故選：B4.甲游客盤中有肉灌湯包、龍井肉包、蝦仁肉包、御膳肉包、胡蘿卜素包、韭菜素包各一個(gè)，甲游客每次吃一個(gè)，全部吃完，若要求甲游客吃兩個(gè)素包的順序不相鄰，則不同的吃法共有（）A.480種 B.360種 C.240種 D.600種〖答案〗A〖解析〗先排四個(gè)肉包的順序，再插入兩個(gè)素包，則不同的吃法共有種．故選：A5.若圓與軸相切且與圓外切，則圓的圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓心坐標(biāo)為，依題意可得，化簡得，即圓的圓心的軌跡方程為.故選：C6.在長方體中，四邊形的周長為，長方體的體積為．若則在處的瞬時(shí)變化率為（）A.18 B.20 C.24 D.26〖答案〗A〖解析〗因?yàn)樗倪呅蔚闹荛L為12，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，由得，，解得，，則，所以在在處的瞬時(shí)變化率為18，故選：A．7.設(shè)等比數(shù)列的前7項(xiàng)和、前14項(xiàng)和分別為2，8，則該等比數(shù)列的前28項(xiàng)和為（）A.64 B.72 C.76 D.80〖答案〗D〖解析〗設(shè)是該等比數(shù)列的前項(xiàng)和，依題意可知?jiǎng)t成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，則解得故選：D.8.已知定義在上的奇函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令則,因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增,又為奇函數(shù)，且圖象連續(xù)不斷，所以為偶函數(shù),由得解得或故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗在四棱錐中，為的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，A正確，B錯(cuò)誤；，D正確，C錯(cuò)誤.故選：AD10.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對A：令，得，故A錯(cuò)誤；對B：令，得則，故B正確．對C：由題可得，則，故C正確．對D：令，得則，故D正確．故選：BCD.11.設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則稱為上的凹函數(shù)；若在上單調(diào)遞減，則稱為上的凸函數(shù)．下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)為上的凹函數(shù) B.函數(shù)為上的凸函數(shù)C.函數(shù)為上的凸函數(shù) D.函數(shù)為上的凹函數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗對于選項(xiàng)A：因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以為上的凹函數(shù)，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，可知為上的減函數(shù)，即為上的減函數(shù)，所以為上的凸函數(shù)，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，設(shè)，則，注意到，可知在內(nèi)不是單調(diào)遞減函數(shù)，即在內(nèi)不是單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上不為凸函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，可知為上的單調(diào)遞增，所以為上的凹函數(shù)，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某城市今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)為54，力爭3年后使空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)達(dá)到128，則這個(gè)城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的年平均增長率為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)這個(gè)城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的年平均增長率為則解得：故〖答案〗為：.13.若函數(shù)存在極值，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗，則，解得．故〖答案〗為：.14.已知曲線恒過點(diǎn)，且在拋物線上．若是上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)到的焦點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和的最小值為______．〖答案〗7〖解析〗曲線可變形為令，解得，可知曲線恒過點(diǎn)，因?yàn)樵趻佄锞€上，則，解得，所以的方程為，可知的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，又因?yàn)?，可知點(diǎn)在拋物線內(nèi)，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)與的準(zhǔn)線垂直時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)到的焦點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和的最小值為7．故〖答案〗為：7.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)的公差為則，解得，所以．（2）由（1）知，則．16.如圖，在三棱錐中，平面平．（1）證明：．（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又，面，所以平面，因平面，所以；?）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令得．所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知3是函數(shù)的極小值點(diǎn)．（1）求的值；（2）若，且有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)樗粤畹没虍?dāng)則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?是的極小值點(diǎn)，所以即符合題意．當(dāng)則恒成立，在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?是的極小值點(diǎn)，所以即符合題意．綜上所述，或（2）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，解得故的取值范圍為.18.在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)．（1）求；（2）求；（3）若點(diǎn)在棱BC上，且平面，求的長．解：（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以；（2）設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，則，令得，依題意可得，解得，所以；（3）設(shè)，則，由（2）知，則，因?yàn)?，所以，所以是平面的一個(gè)法向量．因?yàn)槠矫?，所以，解得，所以的長為.19.已知函數(shù)（1）若求曲線在點(diǎn)處的切線方程．（2）若證明：在上單調(diào)遞增．（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)樗詣t又所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即（2）因?yàn)樗詣t令則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故．從而在上恒成立，則上單調(diào)遞增.（3）在上恒成立等價(jià)于在上恒成立．若則，則顯然恒成立．若則在上恒成立，令由（1）可知在上恒成立，故由得則即．令則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則則．綜上所述，的取值范圍為甘肅省白銀市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)．考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)．選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后．將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：湘教版選擇性必修第—冊（數(shù)列、〖解析〗幾何、計(jì)數(shù)原理）占30%．選擇性必修第二冊第—意（導(dǎo)數(shù)）、第二章（空間向量）占70%．1.已知向量，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樗运裕蔬x：D.2.雙曲線的離心率為（）A B.3 C. D.4〖答案〗C〖解析〗雙曲線中，，所以雙曲線離心率故選：C3.若平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗與所成角的余弦值為，又與所成角為，與所成角的大小為故選：B4.甲游客盤中有肉灌湯包、龍井肉包、蝦仁肉包、御膳肉包、胡蘿卜素包、韭菜素包各一個(gè)，甲游客每次吃一個(gè)，全部吃完，若要求甲游客吃兩個(gè)素包的順序不相鄰，則不同的吃法共有（）A.480種 B.360種 C.240種 D.600種〖答案〗A〖解析〗先排四個(gè)肉包的順序，再插入兩個(gè)素包，則不同的吃法共有種．故選：A5.若圓與軸相切且與圓外切，則圓的圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓心坐標(biāo)為，依題意可得，化簡得，即圓的圓心的軌跡方程為.故選：C6.在長方體中，四邊形的周長為，長方體的體積為．若則在處的瞬時(shí)變化率為（）A.18 B.20 C.24 D.26〖答案〗A〖解析〗因?yàn)樗倪呅蔚闹荛L為12，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，由得，，解得，，則，所以在在處的瞬時(shí)變化率為18，故選：A．7.設(shè)等比數(shù)列的前7項(xiàng)和、前14項(xiàng)和分別為2，8，則該等比數(shù)列的前28項(xiàng)和為（）A.64 B.72 C.76 D.80〖答案〗D〖解析〗設(shè)是該等比數(shù)列的前項(xiàng)和，依題意可知?jiǎng)t成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，則解得故選：D.8.已知定義在上的奇函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令則,因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增,又為奇函數(shù)，且圖象連續(xù)不斷，所以為偶函數(shù),由得解得或故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗在四棱錐中，為的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，A正確，B錯(cuò)誤；，D正確，C錯(cuò)誤.故選：AD10.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對A：令，得，故A錯(cuò)誤；對B：令，得則，故B正確．對C：由題可得，則，故C正確．對D：令，得則，故D正確．故選：BCD.11.設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則稱為上的凹函數(shù)；若在上單調(diào)遞減，則稱為上的凸函數(shù)．下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)為上的凹函數(shù) B.函數(shù)為上的凸函數(shù)C.函數(shù)為上的凸函數(shù) D.函數(shù)為上的凹函數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗對于選項(xiàng)A：因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以為上的凹函數(shù)，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，可知為上的減函數(shù)，即為上的減函數(shù)，所以為上的凸函數(shù)，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，設(shè)，則，注意到，可知在內(nèi)不是單調(diào)遞減函數(shù)，即在內(nèi)不是單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上不為凸函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，可知為上的單調(diào)遞增，所以為上的凹函數(shù)，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某城市今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)為54，力爭3年后使空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)達(dá)到128，則這個(gè)城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的年平均增長率為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)這個(gè)城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的年平均增長率為則解得：故〖答案〗為：.13.若函數(shù)存在極值，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗，則，解得．故〖答案〗為：.14.已知曲線恒過點(diǎn)，且在拋物線上．若是上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)到的焦點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和的最小值為______．〖答案〗7〖解析〗曲線可變形為令，解得，可知曲線恒過點(diǎn)，因?yàn)樵趻佄锞€上，則，解得，所以的方程為，可知的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，又因?yàn)?，可知點(diǎn)在拋物線內(nèi)，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，則，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)與的準(zhǔn)線垂直時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)到的焦點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和的最小值為7．故〖答案〗為：7.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)的公差為則，解得，所以．（2）由（1）知，則．16.如圖，在三棱錐中，平面平．（1）證明：．（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又，面，所以平面，因平面，所以；?）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令得．所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知3是函數(shù)的極小值點(diǎn)．（1）求