2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省揚(yáng)州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，則，所以在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.2.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可得：，所以，則，所以.故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所?故選：A.4.已知一組數(shù)據(jù)分別是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，則它們的75百分位數(shù)為（）A.2.75 B.2.80 C.2.81 D.2.82〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?0個(gè)樣本數(shù)據(jù)是從小到大排列的，且，所以第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)2.80．故選：B.5.已知非零向量與的夾角為，，，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榉橇阆蛄颗c的夾角為，，，所以，又，所以.故選：C.6.已知、m為兩條不同的直線(xiàn)，、為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，，則D.若，，，則〖答案〗A〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則垂直平面內(nèi)任意一條線(xiàn)，又，所以，所以，則有，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)，時(shí)，有或，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)，，，時(shí)，與可以相交，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若，，時(shí)，有或與異面，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.7.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，設(shè)“第一枚硬幣正面朝上”為事件A，“第二枚硬幣反面朝上”為事件B，則下述正確的是（）A.A與B對(duì)立 B.A與B互斥C. D.A與B相互獨(dú)立〖答案〗D〖解析〗由題意可得，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），則事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），顯然事件，事件都包含“（正，反）”這一結(jié)果，即事件，事件能同時(shí)發(fā)生，所以，事件，事件既不互斥也不對(duì)立，故AB錯(cuò)誤；又因?yàn)?，而，，所以，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.8.如圖，大運(yùn)塔是揚(yáng)州首座以鋼結(jié)構(gòu)為主體建設(shè)的直塔，為揚(yáng)州中國(guó)大運(yùn)河博物館的主體建筑之一.小強(qiáng)同學(xué)學(xué)以致用，欲測(cè)量大運(yùn)塔的高度.他選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)，測(cè)得，，在兩觀(guān)測(cè)點(diǎn)處測(cè)得大運(yùn)塔頂部的仰角分別為，則大運(yùn)塔的高為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，在直角中，，所以，在直角，，所以，即，在中，，，由余弦定理得，即，因?yàn)?，所以解得，即大運(yùn)塔的高為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.如圖，在平行四邊形中，分別是邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的有（）A.的最大值為B.的最小正周期是C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)〖答案〗AB〖解析〗由題意得，則的最大值為，故選項(xiàng)A正確；的最小正周期是，故選項(xiàng)B正確；由解得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，同理，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；令，解得或或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.11.從甲廠(chǎng)和乙廠(chǎng)生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取10件，對(duì)其使用壽命（單位：年）的檢測(cè)結(jié)果如下表：甲廠(chǎng)產(chǎn)品35677888910乙廠(chǎng)產(chǎn)品4667888888記甲工廠(chǎng)樣本使用壽命的眾數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為；乙工廠(chǎng)樣本使用壽命的眾數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為.則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由題意可得，，，，，，，，，則，，，.故選：BD.12.在中，已知，為的內(nèi)角平分線(xiàn)且，則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C. D.的面積最小值為〖答案〗ACD〖解析〗依題意，即，所以，所以，故A正確；，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以或（舍去），則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；又，，即，，所以，又，即，所以，所以，即，所以，故C正確；由余弦定理，即，所以，由于由已知條件無(wú)法得知的值，故無(wú)法確定的值，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則=______．〖答案〗5〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以.故〖答案〗為：514.已知非零向量與的夾角為45°，，向量在向量上投影向量為，則_____________.〖答案〗2〖解析〗由題意可知：.故〖答案〗為：2.15.求值：__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.16.已知正四棱柱中，，直線(xiàn)與平面所成角的正切值為2，則該正四棱柱的外接球的表面積為_(kāi)____________.〖答案〗〖解析〗連接，在正四棱柱中，平面，所以為直線(xiàn)與平面所成角，因?yàn)樵诘妊苯侨切沃?，，所以，在直角三角形中，，所以，，又正四棱柱的外接球的直徑為，則半徑，所以球的表面積為：.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，計(jì)70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量，，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)?，所以，解得?（2）因?yàn)?，所以，解得：?18.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為棱的中點(diǎn)，.（1）求證：//平面EAC；（2）求三棱錐的體積.解：（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以F為BD中點(diǎn)，因?yàn)镋為棱的中點(diǎn)，所以//，且平面，平面，所以//平面（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，底邊ABCD為正方形，則為直角三角形，且，所以三棱錐的體積.19.已知函數(shù)，.（1）求的最大值；（2）證明：函數(shù)有零點(diǎn).解：（1）因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞減，所以.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，且圖象在上不間斷，所以在區(qū)間上有零點(diǎn).20.某中學(xué)為了制定培養(yǎng)學(xué)生閱讀習(xí)慣，指導(dǎo)學(xué)生提高閱讀能力的方案，需了解全校學(xué)生的課外閱讀情況，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生本學(xué)期開(kāi)學(xué)以來(lái)（60天）的課外閱讀時(shí)間，把他們的閱讀時(shí)間分為5組：，，，，，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值及這100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù).（各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平）（2）為查找影響學(xué)生閱讀時(shí)間因素，學(xué)校團(tuán)委決定采用分層抽樣的方法，從閱讀時(shí)間為，的學(xué)生中抽取6名參加座談會(huì).再?gòu)倪@6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰好有一人讀書(shū)時(shí)間在的概率.解：（1）由題意得：，這100名學(xué)生閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：，所以這100名學(xué)生閱讀時(shí)間的平均數(shù)為26.（2）由直方圖得：課外閱讀時(shí)間為與的學(xué)生數(shù)的比為1:2，所以，課外閱讀時(shí)間在有2名，閱讀時(shí)間在有4名，記從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，恰好有一人讀書(shū)時(shí)間在為事件M，課外閱讀時(shí)間在的2名學(xué)生分別記為a、b，閱讀時(shí)間在的4名學(xué)生分別記為A、B、C、D，所以從這6人中任意抽取2人，樣本空間，共15個(gè)樣本點(diǎn)，其中，共8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.21.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，.（1）求證：；（2）求二面角的大小.解：（1）平面平面，平面平面，又平面，由面面垂直的性質(zhì)定理得平面又平面（2）由（1）知平面平面平面就是二面角的平面角，，，，，又，所以，，，，二面角的大小為.22.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C的大小；（2）若D是邊AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A），.求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解：（1）由正弦定理可得：，∴，∴，又∵，∴.（2）設(shè)，，，則，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，又，由，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，∴，，，∴?江蘇省揚(yáng)州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋瑒t，所以在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.2.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可得：，所以，則，所以.故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所?故選：A.4.已知一組數(shù)據(jù)分別是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，則它們的75百分位數(shù)為（）A.2.75 B.2.80 C.2.81 D.2.82〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?0個(gè)樣本數(shù)據(jù)是從小到大排列的，且，所以第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)2.80．故選：B.5.已知非零向量與的夾角為，，，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榉橇阆蛄颗c的夾角為，，，所以，又，所以.故選：C.6.已知、m為兩條不同的直線(xiàn)，、為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，，則D.若，，，則〖答案〗A〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則垂直平面內(nèi)任意一條線(xiàn)，又，所以，所以，則有，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)，時(shí)，有或，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)，，，時(shí)，與可以相交，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若，，時(shí)，有或與異面，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.7.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，設(shè)“第一枚硬幣正面朝上”為事件A，“第二枚硬幣反面朝上”為事件B，則下述正確的是（）A.A與B對(duì)立 B.A與B互斥C. D.A與B相互獨(dú)立〖答案〗D〖解析〗由題意可得，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），則事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），顯然事件，事件都包含“（正，反）”這一結(jié)果，即事件，事件能同時(shí)發(fā)生，所以，事件，事件既不互斥也不對(duì)立，故AB錯(cuò)誤；又因?yàn)?，而，，所以，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.8.如圖，大運(yùn)塔是揚(yáng)州首座以鋼結(jié)構(gòu)為主體建設(shè)的直塔，為揚(yáng)州中國(guó)大運(yùn)河博物館的主體建筑之一.小強(qiáng)同學(xué)學(xué)以致用，欲測(cè)量大運(yùn)塔的高度.他選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)，測(cè)得，，在兩觀(guān)測(cè)點(diǎn)處測(cè)得大運(yùn)塔頂部的仰角分別為，則大運(yùn)塔的高為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，在直角中，，所以，在直角，，所以，即，在中，，，由余弦定理得，即，因?yàn)?，所以解得，即大運(yùn)塔的高為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.如圖，在平行四邊形中，分別是邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的有（）A.的最大值為B.的最小正周期是C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)〖答案〗AB〖解析〗由題意得，則的最大值為，故選項(xiàng)A正確；的最小正周期是，故選項(xiàng)B正確；由解得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，同理，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；令，解得或或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.11.從甲廠(chǎng)和乙廠(chǎng)生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取10件，對(duì)其使用壽命（單位：年）的檢測(cè)結(jié)果如下表：甲廠(chǎng)產(chǎn)品35677888910乙廠(chǎng)產(chǎn)品4667888888記甲工廠(chǎng)樣本使用壽命的眾數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為；乙工廠(chǎng)樣本使用壽命的眾數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為.則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由題意可得，，，，，，，，，則，，，.故選：BD.12.在中，已知，為的內(nèi)角平分線(xiàn)且，則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C. D.的面積最小值為〖答案〗ACD〖解析〗依題意，即，所以，所以，故A正確；，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以或（舍去），則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；又，，即，，所以，又，即，所以，所以，即，所以，故C正確；由余弦定理，即，所以，由于由已知條件無(wú)法得知的值，故無(wú)法確定的值，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則=______．〖答案〗5〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以.故〖答案〗為：514.已知非零向量與的夾角為45°，，向量在向量上投影向量為，則_____________.〖答案〗2〖解析〗由題意可知：.故〖答案〗為：2.15.求值：__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.16.已知正四棱柱中，，直線(xiàn)與平面所成角的正切值為2，則該正四棱柱的外接球的表面積為_(kāi)____________.〖答案〗〖解析〗連接，在正四棱柱中，平面，所以為直線(xiàn)與平面所成角，因?yàn)樵诘妊苯侨切沃?，，所以，在直角三角形中，，所以，，又正四棱柱的外接球的直徑為，則半徑，所以球的表面積為：.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，計(jì)70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量，，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)?，所以，解得?（2）因?yàn)?，所以，解得：?18.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為棱的中點(diǎn)，.（1）求證：//平面EAC；（2）求三棱錐的體積.解：（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以F為BD中點(diǎn)，因?yàn)镋為棱的中點(diǎn)，所以//，且平面，平面，所以//平面（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，底邊ABCD為正方形，則為直角三角形，且，所以三棱錐的體積.19.已知函數(shù)，.（1）求的最大值；（2）證明：函數(shù)有零點(diǎn).解：（1）因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以.（2）因?yàn)?，，因?yàn)椋?，且圖象在上不間斷，所以在區(qū)間上有零點(diǎn).20.某中學(xué)為了制定培養(yǎng)學(xué)生閱讀習(xí)慣，指導(dǎo)學(xué)生提高閱讀能力的方案，需了解全校學(xué)