湖南省2024年數(shù)學(xué)中考第一輪復(fù)習(xí)第十五講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用課件

第十五講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用湖南2024年數(shù)學(xué)中考第一輪復(fù)習(xí)必備知識(shí)·夯根基高頻考點(diǎn)·釋疑難湘約中考·檢成效必備知識(shí)·夯根基【課標(biāo)要點(diǎn)】1.一次函數(shù)中的折線圖象應(yīng)用(1)先確定_________的坐標(biāo);

(2)求出對(duì)應(yīng)線段的___________________;

(3)根據(jù)表達(dá)式求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)(如交點(diǎn)坐標(biāo)).2.應(yīng)用一次函數(shù)求最值問(wèn)題(1)根據(jù)題中數(shù)量的等量關(guān)系來(lái)列_____________表達(dá)式;

(2)由一元一次不等式求出自變量的取值范圍;(3)由一次函數(shù)的___________確定最值.

拐點(diǎn)

一次函數(shù)表達(dá)式

一次函數(shù)

增減性

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.現(xiàn)代物流的高速發(fā)展,為鄉(xiāng)村振興提供了良好條件.某物流公司的汽車行駛30km后進(jìn)入高速路,在高速路上勻速行駛一段時(shí)間后,再在鄉(xiāng)村道路上行駛1h到達(dá)目的地.汽車行駛的時(shí)間x(單位:h)與行駛的路程y(單位:km)之間的關(guān)系如圖所示.請(qǐng)結(jié)合圖象,判斷以下說(shuō)法正確的是()A.汽車在高速路上行駛了2.5hB.汽車在高速路上行駛的路程是180kmC.汽車在高速路上行駛的平均速度是72km/hD.汽車在鄉(xiāng)村道路上行駛的平均速度是40km/hD【課標(biāo)要點(diǎn)】3.反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用根據(jù)圖象或表格確定___________函數(shù)表達(dá)式,再解決實(shí)際問(wèn)題.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.已知蓄電池的電壓為定值,使用蓄電池時(shí),電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)是反比例函數(shù)關(guān)系,它的圖象如圖所示.當(dāng)電阻為3Ω時(shí),電流是_______A.

反比例

12

【課標(biāo)要點(diǎn)】4.應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的方法(1)根據(jù)題意得出二次函數(shù)___________及自變量的取值范圍;

(2)根據(jù)表達(dá)式確定頂點(diǎn)坐標(biāo),確定最值;或根據(jù)對(duì)稱軸及增減性求取值范圍內(nèi)的最值.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】3.如圖,用一段長(zhǎng)為16m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形圍欄(墻足夠長(zhǎng)),則這個(gè)圍欄的最大面積為_(kāi)______m2.

表達(dá)式

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高頻考點(diǎn)·釋疑難考點(diǎn)1

一次函數(shù)在行程問(wèn)題中的應(yīng)用【例1】(2023·懷化新晃期末)已知A,B兩地之間有一條長(zhǎng)450km的公路,甲車從A地出發(fā)勻速開(kāi)往B地,甲車出發(fā)1小時(shí)后,乙車從A地出發(fā),沿同路線勻速追趕甲車,兩車相遇后,乙車原路原速返回A地.兩車之間的距離y(km)與甲車行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:(1)甲車的速度是

km/h,乙車的速度是

km/h,m=

;

(2)求相遇后,乙車返回過(guò)程中,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)當(dāng)甲、乙兩車相距100km時(shí),甲車的行駛路程.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù),可以先計(jì)算出甲車的速度,再根據(jù)2.5小時(shí)時(shí)兩車相遇可以計(jì)算出乙車的速度,然后根據(jù)乙車原路原速返回A地,可以寫(xiě)出m的值;(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果,可以寫(xiě)出當(dāng)x=m時(shí)對(duì)應(yīng)的y的值,從而可以求出乙車返回過(guò)程中,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)將y=100代入(2)中的函數(shù)表達(dá)式,求出相應(yīng)的x的值,再根據(jù)路程=速度×?xí)r間解答即可.

【方法技巧】一次函數(shù)求解行程問(wèn)題的關(guān)鍵關(guān)鍵1:弄清各個(gè)點(diǎn)的含義,求出相應(yīng)坐標(biāo);關(guān)鍵2:求出相關(guān)線段對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式,借助一次函數(shù)表達(dá)式求關(guān)鍵點(diǎn).【變式訓(xùn)練】1.(2023·永州模擬)永州作為湖南四大歷史文化名城之一,雅稱“瀟湘”,每年吸引著大量游客前來(lái)觀光.現(xiàn)有一批游客分別乘坐甲乙兩輛旅游大巴同時(shí)從旅行社前往某個(gè)旅游景點(diǎn).行駛過(guò)程中甲大巴停留一段時(shí)間后繼續(xù)駛向景點(diǎn),乙大巴全程勻速駛向景點(diǎn).兩輛大巴的行程s(km)隨時(shí)間t(h)變化的圖象(全程)如圖所示.依據(jù)圖中信息,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

()A.甲大巴比乙大巴先到達(dá)景點(diǎn)B.甲大巴中途停留了0.5hC.甲大巴停留后用1.5h追上乙大巴D.甲大巴停留前的平均速度是60km/hC2.(2023·懷化期末)甲、乙兩地相距300千米,一輛貨車和一輛轎車分別從甲地開(kāi)往乙地(轎車的平均速度大于貨車的平均速度),如圖,線段OA、折線BCD分別表示兩車離甲地的距離y(單位:千米)與時(shí)間x(單位:小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系.(1)求線段OA與折線BCD中,表示貨車離甲地的距離y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)求線段CD的函數(shù)表達(dá)式;(3)貨車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相遇?

考點(diǎn)2

應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)解最優(yōu)化問(wèn)題【例2】(2023·長(zhǎng)沙模擬)2022年4月16日,神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸,任務(wù)取得圓滿成功.航模店看準(zhǔn)商機(jī),推出了“神舟”和“天宮”模型.已知每個(gè)“天宮”模型的成本比“神舟”模型低20%,同樣花費(fèi)320元,購(gòu)進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多4個(gè).(1)“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元?(2)該航模店計(jì)劃購(gòu)買兩種模型共100個(gè),且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為34元,“天宮”模型的售價(jià)為26元.設(shè)購(gòu)買“神舟”模型a個(gè),銷售這批模型的利潤(rùn)為w元.①求w與a的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出a的取值范圍);②若購(gòu)進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過(guò)“天宮”模型數(shù)量的一半,則購(gòu)進(jìn)“神舟”模型多少個(gè)時(shí),銷售這批模型可以獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)“神舟”模型成本為每個(gè)x元,則“天宮”模型成本為每個(gè)(1-20%)x=0.8x(元),根據(jù)同樣花費(fèi)320元,購(gòu)進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多4個(gè).列出方程,解方程即可,注意驗(yàn)根;(2)①購(gòu)買“神舟”模型a個(gè),則購(gòu)買“天宮”模型(100-a)個(gè),根據(jù)總利潤(rùn)=兩種模型利潤(rùn)之和列出函數(shù)關(guān)系式即可;②根據(jù)購(gòu)進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過(guò)“天宮”模型數(shù)量的一半求出a的取值范圍,由函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【方法技巧】用一次函數(shù)的性質(zhì)解決方案問(wèn)題1.最優(yōu)化問(wèn)題就是利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決如何購(gòu)買費(fèi)用最少、如何出售利潤(rùn)最大等問(wèn)題.2.構(gòu)建一次函數(shù),并確定其增減變化,根據(jù)自變量的范圍,作出最優(yōu)化判斷.【變式訓(xùn)練】(2023·長(zhǎng)沙開(kāi)福區(qū)一模)某學(xué)校要購(gòu)買甲、乙兩種消毒液,用于預(yù)防流感.若購(gòu)買9桶甲消毒液和6桶乙消毒液,則一共需要615元;若購(gòu)買8桶甲消毒液和12桶乙消毒液,則一共需要780元.(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的價(jià)格分別是多少元?(2)若該校計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種消毒液共30桶,其中購(gòu)買甲消毒液a桶,且甲消毒液的數(shù)量至少比乙消毒液的數(shù)量多5桶,又不超過(guò)乙消毒液的數(shù)量的2倍.怎樣購(gòu)買,才能使總費(fèi)用W最少?并求出最少費(fèi)用.

考點(diǎn)3

反比例函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用【例3】(2023·長(zhǎng)沙岳麓區(qū)質(zhì)檢)為預(yù)防疫病,某校對(duì)教室進(jìn)行“藥熏消毒”.已知藥物燃燒階段,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與燃燒時(shí)間x(min)成正比例;燃燒后,y與x成反比例(如圖所示).現(xiàn)測(cè)得藥物10分鐘燃燒完,此時(shí)教室內(nèi)每立方米空氣含藥量為8mg.根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:(1)求藥物燃燒時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)求藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式;(3)當(dāng)每立方米空氣中含藥量低于1.6mg時(shí),對(duì)人體無(wú)毒害作用.那么從消毒開(kāi)始,經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間學(xué)生才可以返回教室?

【方法技巧】反比例函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的兩大特點(diǎn)1.已知一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),求表達(dá)式;2.應(yīng)用表達(dá)式求另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)解決問(wèn)題.

C2.(2022·永州祁陽(yáng)縣期末)某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí),用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜.如圖是試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開(kāi)啟到關(guān)閉后,大棚內(nèi)的溫度y(℃)與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系,其中線段AB,BC表示恒溫系統(tǒng)開(kāi)啟階段,雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段.請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題:(1)求這天的溫度y與時(shí)間x(0≤x≤24)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若大棚內(nèi)的溫度低于10℃時(shí),蔬菜會(huì)受到傷害.問(wèn)這天內(nèi),恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時(shí),才能使蔬菜避免受到傷害?

考點(diǎn)4

應(yīng)用二次函數(shù)解決面積最大問(wèn)題【例4】某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng),雞場(chǎng)的一邊靠墻,另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長(zhǎng)25m,木柵欄長(zhǎng)47m,在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口(另選材料建出入門(mén)).求雞場(chǎng)面積的最大值.

【方法技巧】應(yīng)用二次函數(shù)解決面積最大問(wèn)題的思路1.根據(jù)圖形面積公式,列出二次函數(shù)表達(dá)式.2.由配方法或頂點(diǎn)法,求得最大值.提醒:注意最大值不一定是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),需注意自變量的取值范圍.【變式訓(xùn)練】在美化校園的活動(dòng)中,某興趣小組想借助如圖所示的直角墻(兩邊足夠長(zhǎng)),用30米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD(籬笆只圍AB,BC兩邊),設(shè)AB=x米.(1)求花園的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)在P處有一棵樹(shù)與墻CD,AD的距離分別是16米和6米,要將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi):(含邊界,不考慮樹(shù)的粗細(xì))①若花園的面積為216平方米,求x的值;②求花園面積S的最大值.

考點(diǎn)5

應(yīng)用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題【例5】(教材原題·湘教版九年級(jí)下冊(cè)·P32T3)某工藝廠設(shè)計(jì)了一款成本為10元/件的產(chǎn)品,并投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷.經(jīng)過(guò)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)存在一次函數(shù)關(guān)系y=-10x+700.(1)銷售單價(jià)定為多少時(shí),該廠每天獲取的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少?(2)若物價(jià)部門(mén)規(guī)定,該產(chǎn)品的最高銷售單價(jià)不得超過(guò)35元,那么銷售單價(jià)如何定位才能獲取最大利潤(rùn)?【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意,可以寫(xiě)出利潤(rùn)與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),即可得到銷售單價(jià)定為多少時(shí),該廠每天獲取的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為多少;(2)根據(jù)(1)中利潤(rùn)與單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式和物價(jià)部門(mén)規(guī)定,該產(chǎn)品的最高銷售單價(jià)不得超過(guò)35元,可以得到當(dāng)單價(jià)為多少時(shí),才能獲得最大利潤(rùn).【自主解答】(1)設(shè)銷售利潤(rùn)為w元,w=(x-10)(-10x+700)=-10(x-40)2+9000,∴當(dāng)x=40時(shí),w取得最大值,此時(shí)w=9000,答:銷售單價(jià)定為40元時(shí),該廠每天獲取的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為9000元;(2)∵w=-10(x-40)2+9000,x≤35,∴當(dāng)x=35時(shí),w取得最大值,此時(shí)w=8750,答:銷售單價(jià)為35元時(shí),才能獲取最大利潤(rùn).【方法技巧】應(yīng)用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題1.列出此類二次函數(shù)的依據(jù):利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量或利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本.2.有時(shí)根據(jù)函數(shù)圖象所求的一次函數(shù)表達(dá)式就是銷售數(shù)量,而此類問(wèn)題也與一次函數(shù)有關(guān).【變式訓(xùn)練】1.(中考初級(jí)變)將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商品按零售價(jià)100元一個(gè)售出時(shí),每天能賣出20個(gè).若這種商品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元,其日銷售量就增加1個(gè),則能獲取的最大利潤(rùn)是()A.600元

B.625元

C.650元

D.675元B2.(中考升級(jí)變)某公司研發(fā)了一款成本為50元的新型玩具,投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷售.其銷售單價(jià)不低于成本,按照物價(jià)部門(mén)規(guī)定,銷售單價(jià)不低于成本不高于95元.市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),在一段時(shí)間內(nèi),每天銷售數(shù)量y(個(gè))與銷售單價(jià)x(元)符合一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示.(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)該公司要想每天獲得3000元的銷售利潤(rùn),銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?(3)銷售單價(jià)為多少元時(shí),每天獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?

常規(guī)題型組

精練湖南14地市、州必考題1.(2023·長(zhǎng)沙雨花區(qū)月考)如圖,一邊靠墻(墻有足夠長(zhǎng)),其他三邊用12m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形(ABCD)花園,這個(gè)花園的最大面積是

()A.16m2

B.12m2C.18m2

D.以上都不對(duì)湘約中考·檢成效C

R(Ω)100200220400I(A)2.21.110.55

4

3.(2022·衡陽(yáng)中考)冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(ShueyRhonRhon)分別是2022年北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)的吉祥物.冬奧會(huì)舉辦后,冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國(guó).小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶.決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售.第一次小雅用1400元購(gòu)進(jìn)了冰墩墩玩偶15個(gè)和雪容融玩偶5個(gè),已知購(gòu)進(jìn)1個(gè)冰墩墩玩偶和1個(gè)雪容融玩偶共需136元,銷售時(shí)每個(gè)冰墩墩玩偶可獲利28元,每個(gè)雪容融玩偶可獲利20元.(1)求兩種玩偶的進(jìn)貨價(jià)分別是多少;(2)第二次小雅進(jìn)貨時(shí),網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過(guò)雪容融玩偶進(jìn)貨數(shù)量的1.5倍.小雅計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種玩偶共40個(gè),應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少元?

創(chuàng)新題型組

感悟湖南14地市、州新考法4.(2022·湘潭中考)為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)》,某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻(墻長(zhǎng)